顧黃興 齊瑞云

（南京航空航天大學自動化學院，南京 210016）

引言

充液航天器是一類攜帶大量液體燃料、液體冷卻劑的剛-液耦合復雜非線性系統(tǒng)［1］，有國內(nèi)外航天試驗機構(gòu)研究表明，航天器在發(fā)射、變軌、發(fā)動機啟停等階段，自身會發(fā)生頻繁的振動［2］.這種結(jié)構(gòu)振動極易與貯箱內(nèi)液體燃料的晃動相交耦，交耦后自由液面的非線性運動會對剛體航天器產(chǎn)生顯著的干擾力、干擾力矩及沖擊壓力［3］，對航天器的姿態(tài)控制和穩(wěn)定性產(chǎn)生重大影響.因此，控制系統(tǒng)的設(shè)計需要綜合考慮液體晃動的影響，在控制航天器姿態(tài)及運動的同時，也要抑制液體燃料的晃動.由于航天器不能直接對液體燃料施加控制，只能通過剛體航天器與液體燃料之間的耦合作用來抑制液體的晃動，這樣系統(tǒng)的控制輸入個數(shù)小于系統(tǒng)的自由度，使得整個航天器系統(tǒng)表現(xiàn)為一個欠驅(qū)動系統(tǒng)，需要由較少的控制輸入控制較多的系統(tǒng)自由度［4］.作為一類特殊的非線性系統(tǒng)，對欠驅(qū)動系統(tǒng)的研究對于非線性控制研究和非線性動力學研究都具有重要的價值［5］.

目前，國內(nèi)外研究的充液航天器一般是一類零重力條件下，燃料貯箱一般為規(guī)則的幾何形狀，如球形或者橢球形的軸對稱剛體航天器.剛-液耦合動力學方程的求解方法有受力分析法［6］，及Lagrange-Euler方程解法兩種［7］，系統(tǒng)姿態(tài)控制方案有：非線性反饋控制［8-9］，基于無源性的方法［10］，自適應(yīng)極點配置控制［6-7］，分層滑模控制方法［12］，自適應(yīng)動態(tài)逆控制方法［13］等.由于滑模控制對非線性對象有著較強的控制作用，并且有著響應(yīng)迅速，對建模誤差，參數(shù)不確定和擾動不敏感，物理實現(xiàn)簡單等優(yōu)點，因此，本文考慮使用滑?？刂品椒▉韺崿F(xiàn)這一類充液航天器的控制.

文獻［12］提出的分層滑?？刂品桨?，首先將系統(tǒng)分成兩個子系統(tǒng)，分別設(shè)計滑模面，并由其構(gòu)成第二層滑模面，然后進行控制器的設(shè)計.不過這種方法要求兩個子系統(tǒng)的滑模面乘積符號為恒定值，在實際應(yīng)用或仿真中可能不能滿足這一條件.文獻［14］針對一類欠驅(qū)動系統(tǒng)提出了一種滑?？刂品桨福瑢崿F(xiàn)了對系統(tǒng)的穩(wěn)定控制，取得了較好的控制效果.本文參考這一種滑?？刂品桨?，首先將系統(tǒng)進行一定的轉(zhuǎn)換，將系統(tǒng)的一部分化成一定形式的標準型，另一部分經(jīng)過一定的假設(shè)和設(shè)計，可以用來作為標準型的外部輸入，最后針對這一標準型設(shè)計了一個滑模控制器，實現(xiàn)了對系統(tǒng)的穩(wěn)定控制.仿真結(jié)果表明了該滑模控制器的有效性和可行性.

1 系統(tǒng)模型

本節(jié)給出了帶單個液體燃料貯箱的航天器的動力學方程并將其做了一定的轉(zhuǎn)化.其中，航天器作為一個剛體，其內(nèi)部貯箱包含有液體燃料，液體燃料的晃動可以用單擺模型來等效.如圖1所示，考慮剛體航天器在固定平面OXZ上的作動.其中，vx和vz分別代表航天器在軸向和橫向的速度分量；θ表示航天器姿態(tài)角，即航天器體坐標系Oxz相對慣性坐標系OXZ轉(zhuǎn)過的角度；ψ是等效單擺相對于航天器軸向的擺角，表征液體燃料的晃動.航天器控制力及力矩有三個：推力F，作用于航天器末端并沿著航天器軸向經(jīng)過質(zhì)心；橫向推力f，作用于航天器側(cè)向并通過質(zhì)心；使航天器圍繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的控制力矩M.

圖1 充液航天器示意圖Fig.1 The sketch of the spacecraftwith fuel slosh

如圖1所示，剛體航天器的質(zhì)量為m，液體燃料質(zhì)量為mf，等效單擺擺長為a，相對于航天器質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量為If.坐標系原點到航天器質(zhì)心距離為b，液體晃動的阻尼系數(shù)為ε，在本文中，考慮這些參數(shù)為固定值的情況.

由文獻［9］可知，此剛體航天器的動力學方程為

考慮推力F為常值的情況，并且在航天器作動時，可以假設(shè)在航天器姿態(tài)角變化和液體晃動幅度較小時，航天器的軸向加速度變化不大，可以假定為常量，這在后面仿真中進行了驗證.因此，可以將方程（1）簡化為

并且，由（3）式可得

其中，ax，az分別為航天器的軸向和橫向加速度.將式（5），（6）代入方程（2），（4），可以得到

下面將系統(tǒng)模型轉(zhuǎn)化成一定形式的標準型，以方便后面滑模控制器的設(shè)計.

2 模型轉(zhuǎn)化及分析

2.1 模型標準型

考慮將系統(tǒng)（7），（8）作為一個子系統(tǒng)，其輸入為，輸出為θ和ψ，此系統(tǒng)為一個欠驅(qū)動系統(tǒng).文獻［15］介紹了一種系統(tǒng)的方法，可以將一些欠驅(qū)動系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為滿足某種結(jié)構(gòu)的標準型.

令代入方程（7），（8），則有

進一步可以將其整理為

其中

由此，系統(tǒng)（1）～（4）可以整理為：

其中

如果控制力矩M和橫向推力f為0，軸向推力F為恒定值，那么可以定義系統(tǒng)（1）～（4）的一個相對平衡點為：

其中和θ*為任意常量，vx（0）為航天器的初始軸向速度.不失一般性，可以選擇＝0，θ*＝0，即系統(tǒng)（10）的相對平衡點為

2.2 模型性質(zhì)分析

可以驗證，函數(shù)f1（x）滿足如下的一些性質(zhì).

（1）f1（0，0，0，0）＝0.

（2）?f1/?x4＝-

（3）f1（0，0，x3，x4）＝0是漸近穩(wěn)定流形，即在f1（0，0，x3，x4）＝0時，x3，x4會趨于0.

下面進行對驗證過程進行簡要陳述.

（1）由于并且＝x2-x4＝0，在后面設(shè)計中，當t→∞時，會設(shè)計使即有0.將其代入f1（x），則有f1（0，0，0，0）＝0.

（2）由于則cos x3∈［0，1］，則有

將代入，可得

將代入，整理得到，

求解此微分方程，當x3＝0時當x3≠0時，可得，

兩邊分別積分，可得

進一步可以寫成，

其中，c為常數(shù).根據(jù)對數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知，當t→∞時，｜sin x3｜mfavx-ε｜1-cos x3｜ε→0.在本文的航天器系統(tǒng)中，mfavx-ε＝0，因此，根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)可知當t→∞時，x3→0，即有x4→0，因此，f1（0，0，x3，x4）是漸近穩(wěn)定流形.在下面的設(shè)計及分析過程中將會用到f1（x）的這些性質(zhì).

3 滑?？刂破髟O(shè)計

本文采用文獻［14］的方法設(shè)計滑?？刂破鳎刂颇繕耸鞘购教炱鞯臋M向速度和姿態(tài)角達到平衡點，同時抑制液體燃料的晃動，使航天器達到漸近穩(wěn)定.

為了達到控制目標，設(shè)計控制輸入M為

將其代入式（6），可以得到 ˙vz＝-k1vz，顯然選擇合適的正常量k1可以使vz漸近穩(wěn)定.這樣在接下來的設(shè)計過程中，就可以將vx，vz看成外部變量來進行設(shè)計.

針對系統(tǒng)（9），接下來設(shè)計u，使得x→0，我們將采用滑?？刂频姆椒▉碓O(shè)計控制器.

定義誤差變量為

其中定義E1是為了后面方便研究和分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性.

由于?f1/?x4恒為負值，可以定義滑模面為s＝c1e1+c2e2+e3.其中參數(shù)c1，c2滿足如下的條件：

A1＝是Hurwitz矩陣.

令＝0，可以設(shè)計等效控制量為：

其中，

設(shè)計切換控制量使得s→0，

其中ρ，λ為選定的正常量，并且當｜s｜≤0.1時，sat（s），｜s｜＞0.1時，sat（s）＝0.1sign（s），其中，

因此，設(shè)計的滑?？刂破鳛椋?/p>

4 穩(wěn)定性分析

選擇Lyapunov函數(shù)為對其求導，并將式（12）～（14）代入，可以得到

當且僅當s＝0時因此，在滑模控制器的作用下，滑模面s將在有限時間內(nèi)將達到0.在s＝0或e3＝-c1e1-c2e2時，系統(tǒng)（9）退化為

由于A1為Hurwitz矩陣，系統(tǒng)（15）漸近穩(wěn)定.因此，e1＝x1，e2＝x2將漸近收斂到0.即可以有s＝0，e3＝f1＝0.由之前驗證過的f1（x）的性質(zhì)（3）可知，x3，x4也將能夠收斂到平衡點0，即 ψ＝x3＝0，θ＝x1-x3＝0.

由此，可以證明設(shè)計的滑模控制器可以在有限時間內(nèi)，使航天器的姿態(tài)角，橫向速度及等效擺角都達到平衡點，達到了設(shè)計目的.

5 仿真

針對本文使用的滑?？刂破鳎竟?jié)采用數(shù)字仿真來驗證其對這類充液航天器的控制效果.

仿真中采用的航天器及燃料的物理參數(shù)為［9］：

設(shè)計的控制器參數(shù)為：

系統(tǒng)狀態(tài)的初始值為：

仿真結(jié)果如圖（2）-（4）.

圖2 vx，vz的響應(yīng)曲線Fig.2 Time responses of vx and vz

圖3 s，ψ及θ的響應(yīng)曲線Fig.3 Time responses of s，ψ，andθ

從仿真結(jié)果可以看到，控制器可以使系統(tǒng)漸近穩(wěn)定.從圖2中可以看出，航天器的軸向速度保持恒定的加速度，符合前文中的假設(shè).圖2和3中，航天器的各個狀態(tài)量和滑模面都能夠很快達到平衡點.從圖4中也可以看出，系統(tǒng)的控制量，即橫向推力和控制力矩變化曲線比較平滑.因此，在設(shè)計的滑?？刂破髯饔孟?，航天器的橫向速度，姿態(tài)角以及等效單擺的擺角都能夠達到平衡點，實現(xiàn)了航天器系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定，達到了預期的控制目標.

圖4 控制輸入f，MFig.4 Control inputs f and M

6 結(jié)論

針對一類帶液體燃料晃動的航天器，本文采用了一種滑?？刂频姆椒ㄔO(shè)計了控制器.首先將系統(tǒng)模型轉(zhuǎn)化為一定形式的標準型，并驗證其系統(tǒng)函數(shù)滿足某些關(guān)鍵的設(shè)計條件，在此基礎(chǔ)上進行控制器的設(shè)計.由于系統(tǒng)本身表現(xiàn)為一個欠驅(qū)動系統(tǒng)，設(shè)計的控制器可以使系統(tǒng)的一些狀態(tài)量達到平衡點時，而剩下的狀態(tài)量在系統(tǒng)自身的作用下也能達到平衡點，從而使整個航天器系統(tǒng)漸近穩(wěn)定.仿真結(jié)果表明，采用這種方法設(shè)計的滑?？刂破髂軌?qū)崿F(xiàn)控制目標，證明了所設(shè)計的控制器的有效性及可行性.

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