雍鑫

（四川大學華西醫(yī)院，四川 成都 610041）

有限時間內(nèi)需求是時間函數(shù)的信用期和現(xiàn)金折扣選擇情況下的變質(zhì)品庫存模型

雍鑫

（四川大學華西醫(yī)院，四川 成都 610041）

研究了需求是時間函數(shù)、計劃期有限的情況下，供應商給購買商與訂貨量的大小相關(guān)的信用期或者現(xiàn)金折扣選擇的變質(zhì)品庫存策略，建立了相應的庫存模型，并給出了該模型的求解方法和數(shù)值算例。

需求；時間；變質(zhì)品；信用期；現(xiàn)金折扣；庫存模型

1 引言

科學的庫存管理不但能有效的降低庫存成本、加速資金周轉(zhuǎn)，更能有效避免超儲或缺貨等現(xiàn)象的發(fā)生，及時和準確地滿足顧客需求，提高顧客滿意度，提升企業(yè)競爭力。在庫存策略的研究中發(fā)現(xiàn)：供應商為了吸引購買商往往會給購買商一個延期付款的優(yōu)惠，即通常說的信用期。購買商能在信用期內(nèi)利用收益賺取利息，這給購買商帶來了收益，也影響了購買商的訂貨策略。Goyal[1]首次研究了允許延期付款的單一物品的經(jīng)濟訂貨批量（EOQ）模型，其后眾多學者對該模型進行了補充和發(fā)展。Aggarwal和Jaggi[2]提出了延期付款的易變質(zhì)商品的最優(yōu)補貨策略；Chang[3]采用貼現(xiàn)現(xiàn)金流的方法分析了與不同訂貨量相關(guān)的信用期和現(xiàn)金折扣策略選擇的變質(zhì)商品庫存模型。

這些庫存模型都是假設庫存系統(tǒng)的時間是無限的，這與實際情況存在差異。同時上述模型都分析的是給購買時信用期或者現(xiàn)金折扣，沒有考慮給購買商信用期的同時給購買商現(xiàn)金折扣選擇，讓購買商可以根據(jù)自己的訂貨量進行選擇。本文正是基于這種需求，研究了有限時間內(nèi)，需求是時間函數(shù)的情況下，供應商給購買商與訂貨量大小相關(guān)的信用期或者現(xiàn)金折扣選擇的變質(zhì)品庫存策略。

2 模型記號及假設

本文記號如下：

K：一次訂貨的費用；

c：單位商品購買成本；

s：單位商品銷售價格；

Q(i)：購買商周期i的訂貨量；

D(t)：需求函數(shù)；

Ie：單位貨幣的利息收入；

Ip：庫存商品單位貨幣利息支出；

d：價格折扣率，0＜d＜1；

H：計劃期的時間長度；

h：倉庫中單位商品的庫存成本；

X：允許以M2為信用期的最小訂貨量；

Y：允許以d為現(xiàn)金折扣的最小訂貨量；

M1：訂貨量小于X或Y時得到的信用期；

M2：訂貨量大于或等于X時得到的信用期，M1＜M2；

Ii(t)：當Q≤W時，周期i的庫存水平，i=1,2,...,n；

TCi(n)：周期i的總費用，i=1,2,...,n；

TC(n)：計劃期H內(nèi)的訂貨次數(shù)為n時購買商的總費用。

本文的假設如下：

（1）需求為依賴時間的函數(shù)D(t)；

（2）不允許缺貨；

（3）訂貨提前期忽略不計；

（5）庫存容量不限；

（6）供應商給購買商兩種與訂貨量相關(guān)的選擇：

①信用期選擇：如果訂貨量大于或等于之前設定的數(shù)量X，則購買商可有一個M2的信用期延期付款。否則購買商只能以M1（M2＞M1）為信用期延期付款。

②價格折扣選擇：如果訂貨量大于或等于之前設定的數(shù)量Y，則購買商享有以d為折扣率的價格折扣，同時以M1為信用期延期付款。否則購買商沒有價格折扣，同時也以M1為信用期延期付款；

為了問題簡化，購買商在[0,H]內(nèi)各周期都作同一選擇。

（7）在信用期內(nèi)，購買商可將銷售收入以Ie為利率賺取利息收入，當信用期結(jié)束時，購買商將對庫存的商品以Ip為利率支付利息。

3 模型建立

基于以上假設，該庫存模型的運行如下：假設在[0,H]內(nèi)的訂貨次數(shù)為n，對周期i而言，其訂貨的時間為(i-1)T，訂購量為Qi。在需求和變質(zhì)的影響下，在[(i-1)T,iT]內(nèi)商品庫存量逐漸減少，最終為零。以下如無特別說明，i=1,2,...,n。

此時周期i的庫存函數(shù)滿足如下微分方程：

解上述微分方程組可得：

故周期i的訂貨量為：

綜上所述，購買商在周期i的各項費用為：

（1）訂貨費用：K。

（2）購貨費用：

①購買商做出信用期選擇，此時無價格折扣，購買費用為：Gi=cQi。

②購買商做出價格折扣選擇：

A.若Qi＜Y，此時無價格折扣，故購買費用為：Gi=cQi；

B.若 Qi≥Y，此時有價格折扣，故購買費用為：Gi=c(1-d)Qi。

綜上可得周期i的購買費：

（4）庫存商品支付的貸款利息，周期與信用期存在以下幾種關(guān)系：

①當周期i獲得信用期M1且iT≤(I-1)T+M1，此時信用期M1大于補貨周期，故此時不需支付庫存商品的貸款利息：利息支付=0；

②當周期i獲得信用期M1且iT＞(i-1)T+M1時，此時信用期M1小于補貨周期，故此時需支付庫存商品的貸款利息：

③當周期i獲得信用期M2且iT≤(I-1)T+M2時，此時信用期M2大于補貨周期，故不需支付庫存商品的貸款利息，利息支付=0；

④當周期i獲得信用期M2且iT＞(i-1)T+M2時，此時周期i獲得信用期M2，信用期M2小于補貨周期，故此時需支付庫存商品的貸款利息：

所以周期i的庫存商品支付的貸款利息為：

（5）利用銷售收入賺取的利息收入：

①當周期i獲得信用期M1且iT≤(I-1)T+M1，此時的利息收入為：

②當周期i獲得信用期M1且iT＞(i-1)T+M1，此時的利息收入為：

③當周期i獲得信用期M2且iT≤(i-1)T+M2，此時的利息收入為：

④當周期i獲得信用期M2且iT＞(i-1)T+M2，此時的利息收入為：

由此可得周期i的利用銷售收入賺取利息收入為：

綜合上面的各項費用，周期i的總費用為：

所以在[0,H]內(nèi)，購買商的總費用為：

4 模型求解及數(shù)值算例

為了求解TCI(n)和TCⅡ(n)的最優(yōu)解，有下面定理：

由定理1可得推論1和推論2。

由推論1和推論2可知，TCI(n)和TCⅡ(n)一定存在最優(yōu)解，通過編程進行一維搜索能找到TCI(n)和TCⅡ(n)的最優(yōu)解nI*和

下面給出兩個數(shù)值算例：

算例1：假設某企業(yè)的訂貨條件滿足上述模型，并滿足如下條件:K=20 000，c=60，s=80，u=50，v=400，α=0.15， β=0.2，d=0.2，hO=2，X=900，Y=800，M1=60/365，M2=240/365，Ie=0.1，Ip=0.15，H=4。并設D(t)=ut+v，由編 程 計 算 可 知 ：（1）當 選 擇 信 用 期 時（2）當 選 擇 現(xiàn) 金 折 扣 時此時故當選擇現(xiàn)金折扣時是最優(yōu)選擇，且n*=2，TC(n*)=174 431。

算例2：假設某企業(yè)的訂貨條件滿足上述模型，并滿足如下條件:K=1 000，c=60，s=80，u=50，v=400，α=0.15，β=0.2，d=0.01，hO=2，X=200，Y=800，M1=60/365，M2=240/365，Ie=0.1，Ip=0.15，H=4。并設D(t)=ut+v，由編 程 計 算 可 知 ：（1）當 選 擇 信 用 期 時（2）當 選 擇 現(xiàn) 金 折 扣 時此時故當選擇信用期時是最優(yōu)選擇，且n*=7，TC(n*)=134 030。

5 結(jié)論

本文基于現(xiàn)有的研究成果，研究了需求是時間函數(shù)、計劃期有限、供應商據(jù)購買商訂貨量的大小給購買商信用期或者現(xiàn)金折扣選擇的兩種變質(zhì)品庫存策略，建立了相應的庫存模型，并對模型進行分析和求解，證明了最優(yōu)解的存在，最后給出了模型的數(shù)值算例。

通過本文的研究，讓購買商的管理者在類似條件下進行訂貨策略決策時，參考選擇信用期還是選擇現(xiàn)金折扣是最優(yōu)決策，降低購買費用。

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[2]S P Aggarwal,C K Jaggi.Ordering policies of deteriorating items under permissible delay in payments[J].Journal of the Operational Research Society,1995,46,658-662.

[3]Chun-Tao Chang,Liang-Yuh Ouyang,Jinn-Tsair Teng,Mei-Chuan Cheng.Optimal ordering policies for deteriorating items using a discounted cash-flow analysis when a trade credit is linked to order quantity[J].Computers&Industrial Engineering,2010,59:770-777.

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Study on Deteriorating Product Inventory Model with Credit Period and Cash Discount Options Whose Demand is a Time Function and Planning Time Finite

Yong Xin
(Huaxi Hospital ofSichuan University,Chengdu 610041,China)

In this paper,we studied the deteriorating product inventory strategy of a supplier who offered its buyers credit period or cash discount options in relation to the size of their orders upon the condition that their demand was a time function and the planning period was finite,then built the corresponding inventory model and at the end presented the solution to the model in connection with a numerical example.

demand;time;deteriorating product;credit period;cash discount;inventory model

F715.6；O141.4

A

1005-152X(2015)11-0080-03

10.3969/j.issn.1005-152X.2015.11.023

2015-09-06

雍鑫（1988-），男，四川渠縣人，就職于四川大學華西醫(yī)院設備物資部，主要研究方向：供應鏈管理。