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        幾何尺規(guī)作圖

        2015-03-01 11:54:12段貴軍
        關(guān)鍵詞:邊形弧長同心圓

        段貴軍

        (吉林省蛟河市白石山鎮(zhèn)林業(yè)局 吉林蛟河 132503)

        幾何尺規(guī)作圖

        段貴軍

        (吉林省蛟河市白石山鎮(zhèn)林業(yè)局 吉林蛟河 132503)

        依據(jù)同心圓弧長計算公式和幾何圖形模型的動態(tài)作圖原理來求解幾何尺規(guī)作圖問題。

        無刻度直尺 圓規(guī) 圓周長和圓弧長計算公式 幾何動態(tài)作圖。

        背景:幾何尺規(guī)作圖問題是古希臘人傳下來的幾個未解決的數(shù)學(xué)幾何問題。本文只講三等分任意角、正十七邊形和畫任意度數(shù)角(我在研究中提出一個新的問題,可以視為第五問題)。

        一、基本原理

        1.圓周長和圓弧長倍數(shù)原理

        圓周長=2×r×π。r為半徑,則圓弧長= 2×r×π×x/360°,其中x為圓弧長所對的圓心角度數(shù)。當(dāng)r1取值為1時,圓弧長=2×π×x/360°。設(shè)x值一定,畫同心圓弧,當(dāng)rn≠1時的圓弧長與當(dāng)r1=1時的圓弧長的比值k= rn。如當(dāng)rn取值為2時,圓弧長=2×2×π×x/360°即k=2,表明r2為2時的圓弧長是r1為1時的圓弧長的2倍。當(dāng)rn為3時,則圓弧長=2×3×π×x/360°,即k=3,表明r3為3時的圓弧長是當(dāng)r1為1時的圓弧長的3倍……我們把這種分布結(jié)構(gòu)也叫作任意角自然數(shù)等分結(jié)構(gòu)。

        2.幾何圖形模型的動態(tài)作圖原理

        復(fù)制制作和圖上完全相同的幾何曲線圖形模型,讓這種幾何圖形模型始終相接觸(相切)象車輪子一樣自始至終滾動一次,這樣一個幾何圖形模型就會在另一個幾何圖形模型上留下軌跡記錄,通過這種軌跡記錄就可以測定線段(曲線和直線)長度、測量曲面面積大小、繪制點或面的運動軌跡和確定交點的位置等等的幾何作圖方法。理論上,由于滾動時兩個幾何圖形模型始終相切,則兩個幾何圖形模型體在滾動運動區(qū)間內(nèi)的所有點的集合數(shù)始終一一對應(yīng)且相等,也就是滾動區(qū)間內(nèi)的相切接觸的各弧線長或直線段長都是相等的,然后把模型測量結(jié)果復(fù)制標(biāo)注到圖上即可進行下一步作圖,以此實現(xiàn)圖上無法測量和確定的目的。模型中必有一個是圓或橢圓等等曲線型模型,另一個可以是曲線模型,也可以是直線模型。相切分內(nèi)切和外切兩種。本原理方法也適用于了解復(fù)雜幾何圖形的運動規(guī)律,就是讓幾何圖形做出各種變化,從中更易于了解規(guī)律從而更加有效的解決問題。根據(jù)以上原理,如果用圓模型在直線模型上滾動一周,根據(jù)兩個切點之間的線段長度(圓周長)和圓半徑,可以求圓周率??傊瑤缀螆D形的動態(tài)作圖法可以解決作圖上遇到的許多難題。

        為了方便,可以特制一套不同直徑的系列圓模型,其中必有一個半徑或直徑為1的圓模型,以備常用。如果沒有這種模型,可以自制圓規(guī)刀,即在圓規(guī)上放鋒利小刀片,就可以隨時制造這種紙圓模型。

        二、應(yīng)用解決實際問題

        1.等分任意角

        (1)三等分任意角

        第一步:畫任意角α,頂點為O,以O(shè)為圓心畫半徑為1和3的同心圓弧,半徑為1的圓弧交α兩邊線于A、B兩點,A為始點,B為終點,AB弧長為L;半徑為3的圓弧交α兩邊線于A3和B3,A3為始點, B3為終點,A3B3弧長為L3。第二步:復(fù)制AB弧長和A3B3弧長模型。第三步:讓AB弧長模型的A點在A3B3弧長模型上某一點相切,然后自始至終滾動到B點,在A3B3弧長模型上形成A′B′弧,把A′B′弧長復(fù)制標(biāo)注到圖上。A′B′弧長=AB弧長=A3B3弧長÷3,用圓規(guī)把A′B′弧長從A3B3弧的始點A3開始,一直量到終點B3為止,共計三次,中間有兩個交點,將這兩個交點與O點相連,就把該任意角α等分3份。

        (2)五等分任意角

        第一步:畫任意角α,頂點為O,以O(shè)為圓心畫半徑為1和5的同心圓弧,半徑為1的圓弧交α兩邊線于A、B兩點,A為始點,B為終點,AB弧長為L;半徑為5的圓弧交α兩邊線于A5和B5,A5為始點,B5為終點,A5B5弧長為L5。第二步:復(fù)制AB弧長和A5B5弧長模型。第三步:讓AB弧模型的A點在A5B5弧長模型上某一點相切,然后自始至終滾動到B點,在A5B5弧長模型上形成A′B′弧,把A′B′弧長復(fù)制標(biāo)注到圖上。A′B′弧長=AB弧長=A5B5弧長÷5,用圓規(guī)把A′B′弧長從A5B5弧長的始點A5開始,一直量到終點B5為止,共計五次,中間有四個交點,將這四個交點與O點相連,就把該任意角α等分5份。

        (3)n等分任意角

        當(dāng)n為其它整數(shù)時,都可以用上述方法去繪制。

        (4)2n等分任意角(n為整數(shù))

        除上述方法外,也可以用課本上講的方法直接畫,在這里我就不說了。

        (5)當(dāng)n不是整數(shù)時的畫法

        根據(jù)前面理論原理,也可以畫等分角。如畫2.3分角(把任意角分成2.3份)、21/2分角(把任意角分成21/2份)……做法是先畫完整數(shù)角,剩下的就是不完整的角。如2.3分角,以r2=2.3為半徑,量取完兩個完整角之后,剩下的部分是0.3分的角;再如21/2分角,以r2=21/2為半徑,量取完一個完整角之后,剩下的部分是21/2-1分的角等等。

        2.畫正十七邊形和正n邊形

        就是對360°角進行十七等分,然后在同一圓周線上畫閉合弦,由這些閉合弦圍成了正十七邊形。具體畫法如下;

        第一步:畫360°角,頂點為O,以O(shè)為圓心畫半徑為1和17的同心圓弧,半徑為1的圓周長為L;半徑為17的圓周長L17。第二步:復(fù)制半徑為1和17的圓模型。第三步:讓半徑為1的圓模型在半徑為17的圓模型上滾動一周,在半徑為17的圓模型上形成A′A′弧,把A′A′弧長復(fù)制標(biāo)注到圖上。A′A′弧長=AA弧長(r為1的圓周長)=A17A17弧長(r為17的圓周長)÷17,用圓規(guī)把A′A′弧長從半徑為17的圓周上某一點開始,測量17次,正好回到這個點上,共有十七個交點,將這十七個交點與O點相連,就把360°角等分17份,然后把相鄰交點相連,即成正十七邊形。

        這只是一種畫法,也可以在坐標(biāo)系的一個象限內(nèi)畫,這里就不一一論述。畫其他的正n邊形與此相同。

        3.畫任意度數(shù)角

        這是由我提出并自行解決的問題。

        首先要等分任意特殊角的過程。這些特殊角如15°、30°、45°、60°、75°、90°……360°等等。如15°角可以等分出15個1°角;1°角可以等分出60個 1′角;1′角可以等分出60個 1″角等等。畫圖做法和前面的等分任意角做法是一樣的。現(xiàn)舉例說明:例一,畫32°15′33″的角。做法:第一步,先直接畫45°角(90°角的二等分角),然后把45°角等分成45份取其33份;第二步,把33份靠邊的一份(1°角)等分成60份取其16份;第三步,把16份中靠邊的一份(1′角)等分成60份取其33份,這樣就把32°15′33″角給準(zhǔn)確無誤畫出來。例二,畫(1/3)°角,就是把1°等分成三等分角取其一份即可。例三,畫(21/2)°角。第一步:先畫半徑等于1的圓和角度為1°半徑為21/2(通過畫邊長為1的等腰直角三角形便可以得到21/2長的斜邊)的圓弧。第二步:復(fù)制半徑等于1的圓形模型和角度為1°半徑為21/2的圓弧模型。第三步:用角度為1°半徑為21/2的圓弧模型在半徑為1的圓形模型上自始至終滾動一次,則在半徑為1的圓形模型上形成一個A′B′弧,此A′B′弧弧長=21/2弧弧長。第四步:連接A′O和B′O,形成∠A′OB′= (21/2)°角。例四,畫【(31/2-21/2)/51/2】°的角。將此式變形可以得到【(151/2-101/2)/5】°,根據(jù)勾股定理,151/2和101/2長可以確定,則(151/2-101/2)/5長的半徑可以確定,剩下的作法同上相同。凡半徑長能確定的任意角都可以這樣繪制,如果半徑畫不出來,則這樣的角就畫不出來。

        段貴軍 出生日期:1966.11.30 工作單位:林業(yè)局 職稱:營林工程師 學(xué)歷:中專 住址:吉林省蛟河市白石山鎮(zhèn)

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