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用泰勒級數(shù)計算連續(xù)隨機變量的均值和方差

宋 志 平

(包頭師范學院 數(shù)學科學學院，內(nèi)蒙古 包頭014030)

摘要：本文給出了利用泰勒級數(shù)計算連續(xù)型隨機變量函數(shù)的均值和方差近似解的方法。

關(guān)鍵詞：泰勒級數(shù)；隨機變量；均值；方差

1引言與預備知識

隨機變量的均值反應的是隨機變量取值的平均水平，而方差則是反應隨機變量取值在其平均值附近的離散程度?，F(xiàn)代實際生活中，越來越多的決策需要應用均值與方差的思想來對事件發(fā)生大小的可能性進行評估，通過計算和分析可以比較科學地得出各個方案的預期效果及出現(xiàn)偏差的大小，從而為我們決定要選擇的最佳方案。對于隨機變量函數(shù)的均值和方差在實際中的應用就更為廣泛。

一般“概率統(tǒng)計”教材中關(guān)于連續(xù)型隨機變量連續(xù)函數(shù)的均值和方差的計算都是以積分形式給出的，計算非常復雜。泰勒級數(shù)是數(shù)學分析中常用的簡化函數(shù)關(guān)系的工具，應用非常廣泛。本文將借助泰勒級數(shù)給出計算連續(xù)型隨機變量函數(shù)的均值和方差近似解的方法。

2隨機變量函數(shù)的均值和方差

2.1隨機變量的均值與方差

2.2隨機變量函數(shù)的均值、方差

一般情況下，隨機變量函數(shù)的均值和方差的計算應用如下定理，

可知Y=g(x)的概率密度為

其中(α，β)是g的值域，h(y)是g(x)的反函數(shù)。于是，

同樣，可計算隨機變量函數(shù)Y的方差

證明略。

此定理可推廣到多維隨機變量函數(shù)的情況。例如：設Z=g(x,y)是隨機變量X、Y的連續(xù)函數(shù)，若二維連續(xù)型隨機變量(X,Y)的概率密度為 f(x,y)，則

這里要求右邊的積分絕對收斂。

3問題的產(chǎn)生

從該定理可知，計算函數(shù)的均值和方差需要事先已知自變量X的概率密度函數(shù)，而此時如果隨機變量的函數(shù)比較復雜，往往不能簡單地把函數(shù)代入積分式而得出答案。在客觀實際中，經(jīng)常遇到自變量X 的概率密度函數(shù)未知而其均值及方差已知的情形，如果再利用上述定理計算隨機變量函數(shù)的均值和方差就相當?shù)睦щy。而在數(shù)理統(tǒng)計中，總體的分布往往是未知的或者是含有未知參數(shù)的，但我們可以根據(jù)抽取的樣本觀測值來估計其均值和方差。如下：

設E(X)=μ，D(X)=σ2，樣本觀測值為X1,X2,…,Xn，則有：

這樣，自然會提出問題：在已知自變量的均值及方差的條件下，能否求出函數(shù)的均值和方差呢？

4利用泰勒級數(shù)計算函數(shù)的均值和方差

4.1泰勒級數(shù)

如果函數(shù)f(x)在點x=x0處存在直至n+1階的連續(xù)導數(shù)，則

如果在(*)中抹去余項Rn(x)，那么f在x0附近可用(*)式右邊的多項式來近似代替，如果函數(shù)f在x=x0處存在任意階的導數(shù)，我們稱形式為：

的級數(shù)為函數(shù) f 在點x0的泰勒級數(shù)。

4.2一維隨機變量函數(shù)的均值和方差

設一維隨機變量X的均值E(X)=μ，方差D(X)=σ2。Y=f(X)是連續(xù)函數(shù)。

將函數(shù)Y=f(X)在x=μ 處展開為二階泰勒級數(shù)：

其中R2(x)為二階泰勒級數(shù)的余項。兩端取均值，并結(jié)合均值的性質(zhì)，

在這里忽略E(R2)，則得：

(1)

得：E(Y)≈f(μ)

同理：將函數(shù)Y=f(X)在x=μ 處展開為一階泰勒級數(shù)：

其中R1(x)為一階泰勒級數(shù)的余項。兩端取方差，并結(jié)合方差的性質(zhì)，則：

(2)

在實際問題中應用公式(1)、(2)，可以快速地計算出隨機變量函數(shù)的均值和方差的近似解。

例1：已知：X~N(0,1) ， Y=f(X)=sin2x ，求隨機變量函數(shù)Y的E(Y)和D(Y)。

E(Y)≈1，D(Y)≈0。

此公式在實際中應用更為方便。

例2：已知某零件斷面半徑 r 的均值為μr=10mm，標準差為σr=0.5mm。求斷面面積A的均值及標準差。

根據(jù)(1)式，可知：

且根據(jù)(2)式，可知：

得：σA=√D(A)=31.4 (mm2)。

所以，斷面面積A的均值為314.79mm2，標準差為31.4mm2。

4.3多維隨機變量函數(shù)的均值和方差

設n維隨機變量X1,X2,…,Xn的均值E(Xi)=μi，方差D(Xi)=σi2(i=1,2,…,n)。Y=f(X1,X2,…,Xn)是連續(xù)函數(shù)且具有二階連續(xù)偏導數(shù)。 將函數(shù)Y=f(X1,X2,…,Xn)在X1=μ1,X2=μ2,…,Xn=μn，處展開為n元函數(shù)的二階泰勒級數(shù)：

其中R2(X1,X2,…,Xn)是二階泰勒級數(shù)的余項。

如果X1,X2,…,Xn兩兩相互獨立，忽略余項R2，兩邊取均值，得Y的均值

(3)

若各D(Xi)的值很小，則

E(Y)≈f(μ1,μ2,…,μn)

(4)

同樣，將函數(shù)Y=f(X1,X2,…,Xn)在X1=μ1,X2=μ2,…,Xn=μn，處展開為n元函數(shù)的一階泰勒級數(shù)：

Y=f(X1,X2,…,Xn)

其中R1(X1,X2,…,Xn)是一階泰勒級數(shù)的余項。

如果X1,X2,…,Xn兩兩相互獨立，忽略余項R1，兩邊取方差，得Y的方差

(5)

例3、 設隨機變量X和Y都服從正態(tài)分布，Z=XeY是X和Y的連續(xù)函數(shù)。已知μX=5.420，μY=-0.254，且σX=0.06，σY=0.01。求Z的均值E(Z)和方差D(Z)。

分析：如果直接利用隨機變量函數(shù)的均值和方差公式來計算E(Z)和D(Z)，將要計算以下兩個復雜積分：

由(3)式得：

=e2yσX2+x2e2y·σY2=e2μY·σX2+μX2e2μY·σY2= 0.0039。

則得D(Y)=σY2

則標準差為：

所以，應力的均值為20MPa，標準差為2.561MPa。

5結(jié)論

通過以上的論述和實例論證，可以看出：將隨機變量的函數(shù)在其均值處用泰勒級數(shù)展開，略去高次項后，可以計算出隨機變量函數(shù)的均值和方差。這種計算方法將隨機變量函數(shù)的均值和方差的復雜積分運算巧妙地轉(zhuǎn)化為求導運算，給出了均值和方差的近似計算公式，使均值和方差的計算變得簡單易行，給實際中更好地應用均值和方差帶來很大方便。

該近似計算的方法，有一定的誤差。其誤差大小要由隨機變量函數(shù)的函數(shù)關(guān)系而定。對于函數(shù)關(guān)系為線性函數(shù)和二次函數(shù)的，由于其二階以上各階導數(shù)都為0，故沒有舍入誤差，近似計算公式與嚴密計算公式是等價的。對于二次以上的高階函數(shù)，會存在舍入誤差，且誤差的大小由函數(shù)的非線性的強度而定。

〔參考文獻〕

[1]沈恒范.概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程[M].第4版.北京：高等教育出版社.2003.

[2]茆詩松.概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程[M].北京：高等教育出版社.2005.

[3]浙江大學.盛驟.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].北京：高等教育出版社.2005.

[4]金星.系統(tǒng)可靠性與可用性分析方法[M].北京：國防工業(yè)出版社.2007.

[5]同濟大學應用數(shù)學系.高等數(shù)學[M].第5版.下冊.北京：高等教育出版社.2006.

[6]華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析[M].第3版.下冊.北京：高等教育出版社.2001.

Calculate the Mean and the Variance of Continuous Random Variable by Using Taylor`s Series

SONG Zhi-ping

(Faculty of Mathematics,Baotou Teachers College,Baotou 014030)

Abstract:In this article,approximate solutions for the mean and the variance of continuous random variable and complex functions are obtained by using Taylorsseries.

Key words:Taylorsseries;random variable;the mean;the variance

中圖分類號：O173

文獻標識碼：A

文章編號：1004-1869(2015)01-0011-04

作者簡介：宋志平(1972-),女，內(nèi)蒙古包頭人，碩士，副教授，研究方向：應用數(shù)學。

收稿日期：2014-09-14