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關(guān)于遞推數(shù)列的研究

王 建 莉

(包頭師范學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古 包頭 014030)

摘要：數(shù)列問題是各種數(shù)學(xué)問題中的難點(diǎn)之一，而求遞推數(shù)列通項(xiàng)的問題更是倍受青睞。這類問題一般都是利用“化歸”的思想來解決，其技巧性強(qiáng)，學(xué)生很難掌握解決此類問題的通性通法。本文總結(jié)歸納各種遞推數(shù)列的類型加以研究，運(yùn)用特征根法、待定系數(shù)法、倒數(shù)法、累加法、累乘法、構(gòu)造等差等比法、迭代法、對數(shù)法等一般研究方法求解遞推數(shù)列通項(xiàng)。

關(guān)鍵詞：數(shù)列類型；遞推數(shù)列；通項(xiàng)；遞推式

1一階線性

1.1類型一：an+1=an+f(n)

1.1.1累加法

an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+…+(a2-a1)+a1

=f(n-1)+f(n-2)+f(n-3)+…+f(1)+a1

將上式相加得：

2二階線性

2.1類型一：an+1=an*f(n)

2.1.1累乘法

an=an-1·f(n-1)，an-1=an-2·f(n-2)，an-2=an-3·f(n-3)

…

a3=a2·f(2)

a2=a1·f(1)

以上各式子相乘得：

=f(n-1)·f(n-2)·f(n-3)·…·f(1)·a1

解：由已知得當(dāng)n≥2時(shí)，有

又a1=2

∴an=2n(n∈N*).

2.2類型二：an+1=can+d(c≠0,c≠1,c,d為常數(shù))

2.2.1待定系數(shù)法

已知an=can-1+d(c≠0,c≠1,c,d為常數(shù))，設(shè)an-r=c(an-1-r),則an=can-1+r(1-c)

2.2.2下坐標(biāo)變換法

解：方法1：待定系數(shù)法

由題設(shè)得：an+1+1=2(an-1+1)

故bn=2·2n-1=2n，

∴an=bn-1=2n-1(n∈N*)

方法2：下坐標(biāo)變換法

2.3.1對數(shù)變換法

lgan+1=lgp+qlgan

令xn=lgan則轉(zhuǎn)化為類型三.

∴l(xiāng)gan=2n-1·lg3

∴an=32n-1

3一階分式

3.1.1構(gòu)造法

3.1.2不動(dòng)點(diǎn)法

3.2.1倒數(shù)法

∴bn+1=2·3n-1,

遞推數(shù)列是指數(shù)列的任意連續(xù)若干項(xiàng)所滿足的關(guān)系式(比較常見的通常是給出數(shù)列中的相鄰兩項(xiàng)間的關(guān)系)，由遞推公式和相應(yīng)的前若干項(xiàng)可以確定一個(gè)數(shù)列。本文總結(jié)歸納各種遞推數(shù)列的類型加以研究。對遞推數(shù)列的深入研究，有助于錘煉思維、提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，同時(shí)也能培養(yǎng)我們分析問題、解決問題的能力以及創(chuàng)新意識(shí)。本文尚不夠完善，在具體應(yīng)用上不能很好的體現(xiàn)出來，如利用數(shù)列解決生活中實(shí)際的問題以及如何應(yīng)用等問題亟待研究，敬請讀者提出寶貴意見。

〔參考文獻(xiàn)〕

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Study on Recurrence Sequence

WANG Jian-li

(Faculty of Mathematics,Baotou Teachers College,Baotou 014030)

Abstract:Series of mathematical problems in question is one of the difficulties, the series has been seeking general term recurrence formula is the acclaimed issue. Such problems are generally using the "return of" thinking to solve, their skills strong students to solve such problems is difficult to grasp the connection of common law. This article summarizes the various types of recurrence sequences to study. Using eigenvalue method of undetermined coefficients method, inverse method, cumulative method, tired, multiplication, arithmetic geometric construction method, iterative method, the number of law on the general methods for solving linear recurrence sequence and non-homogeneous line of recurrence sequence entry.

Key words:sequence type; homogeneous or non-linear recursive sequence; general term; recursive

中圖分類號(hào)：O173

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1004-1869(2015)01-0015-05

作者簡介：王建莉(1974-)，女，內(nèi)蒙古包頭人，實(shí)驗(yàn)師，研究方向：數(shù)學(xué)分析。

收稿日期：2014-10-24