如何確定帶電粒子在磁場中運動軌跡的圓心

翟雪雅

(江蘇省泰州中學，江蘇泰州225300)

對近幾年高考題目的分析，不難看出，帶電粒子在磁場中的運動一直是高考考查熱點，不但占有的分值較大，而且難度也較大，讓很多學生感到非常棘手.怎樣畫出帶電粒子在磁場中的運動軌跡呢？關鍵是確定帶電粒子在磁場中運動的圓心.下面結合例題談一談確定圓心的幾種方法.

例1在真空條件下，勻強磁場限定在一個圓形區(qū)域內，該圓的半徑為r，磁感應強度大小為B，方向如圖1所示.一個初速大小為v0的帶電粒子(m，q)沿磁場區(qū)域的直徑方向從P點射入磁場，粒子在洛倫茲力的作用下，在磁場中以半徑R繞O′點做勻速圓周運動，從Q點射出磁場時，速度大小仍是v0，但速度方向已發(fā)生了偏轉，設粒子射出磁場時的速度方向與射入磁場時相比偏轉了θ角度，請畫出帶電粒子的運動軌跡并找出圓心O′.

圖1

解析：此題是研究帶電粒子在磁場中的運動的經典題，對于已知條件的處理我們可以有多種方法，因此解決問題的途徑也就有多種.比如我們可以找出確定圓心的三種方法：

方法1：如圖1所示，過入射點P和出射點Q作圓O的兩條切線，兩條切線的交點就是圓心O′.以O′為圓心，以︱PO′︱為半徑畫弧PQ，即為帶電粒子在磁場中運動的軌跡.然后利用相關的幾何知識進行相應的求解.

方法2：先過P點作圓O的一條切線，連接PQ并作PQ的中垂線，兩條線的交點也是圓心O′，即入射速度方向的垂線和一條弦的中垂線的交點必是圓心.

方法3：入射速度方向的垂線和圓心角∠POQ的角平分線的交點必過圓心O′.

另外，根據(jù)已畫出的軌跡我們還可以看出帶電粒子在有界勻強磁場中的運動軌跡具有對稱性，因此我們還可以利用對稱性畫出帶電粒子在磁場中的運動軌跡.如圖2所示，帶電粒子在單邊界磁場中的運動軌跡.從圖中可以看出相同帶電粒子(不計重力)從同一位置進入磁場區(qū)域內經歷一段圓弧后離開磁場區(qū)域，由于帶電粒子進入時的速度方向不同，造成它在磁場中運動的圓弧軌道各有不同，從磁場區(qū)域邊界射出的方向也不同.

圖2

但是軌跡圓心都在速度方向垂線上，從而入射方向和出射方向與邊界的夾角相同，即入射角和出射角具有對稱性.

圖3

例2如圖3所示，垂直于紙面向里的有界勻強磁場，MN是磁場的上邊界，磁場寬度足夠大，磁感應強度B0=1×10-4T.現(xiàn)有一比荷為q/m=2×1011C/kg的正離子以某一速度從P點水平向右射入磁場，已知P點到邊界MN的垂直距離d=20cm，不計離子的重力，試求：

(1) 若離子以速度v1=3×106m/s水平射入磁場，求該離子從MN邊界射出時的位置到P點的水平距離s.

(2) 若要使離子不從MN邊界射出磁場，求離子從P點水平射入的最大速度vm.

圖4

解析：該題主要考查了帶電粒子在磁場中的運動，要求能正確畫出帶電粒子的運動軌跡，并根據(jù)幾何關系求出半徑，能用向心力公式和周期公式進行計算.

(1) 離子在磁場中做勻速圓周運動，由向心力公式可求得軌道半徑大小，已知過P點的速度方向和半徑大小，圓心的位置可確定，自然可以畫出如圖4所示的運動軌跡.利用幾何關系求解水平位移s.

(2) 由題意，離子剛好不從邊界射出的最大半徑為r=d/2(如圖4)，根據(jù)向心力公式可求得最大速度.

例3如圖5所示，在第一象限的矩形區(qū)域內，有方向垂直于紙面向里的勻強磁場B1，磁場的左邊界與y軸重合，第二象限內有互相垂直正交的勻強電場與勻強磁場，其磁感應強度B2=0.5T.一質量m=1×10-14kg，電荷量q=1×10-10C的帶正電的粒子以速度v=1×103m/s從x軸上的N點沿與x軸負方向成60°角方向射入第一象限，經P點進入第二象限內沿直線運動，一段時間后，粒子經x軸上的M點并與x軸負方向成60°角的方向飛出，M點坐標為(-0.1，0),N點坐標(0.3，0)，不計粒子重力.求：

(1) 勻強電場的電場強度E的大小與方向；

(2) 勻強磁場的磁感應強度B1的大??；

(3) 勻強磁場B1矩形區(qū)域的最小面積.

解析：本題是速度選擇器與勻速圓周運動的綜合，分析受力情況、確定運動情況是解題的基礎,畫出軌跡，根據(jù)幾何知識確定磁場最小區(qū)域是解題的關鍵.

(1) 由已知條件知帶電粒子在第二象限內僅受電場力和洛倫茲力，微粒必做勻速直線運動，根據(jù)平衡條件，電場力和洛倫茲力大小相等，方向相反，可求出勻強電場的電場強度E的大小與方向.

圖6

(2) 由已知條件知第一象限內帶電粒子僅受洛倫茲力運動軌跡為一段圓弧，根據(jù)對稱性可判斷，圓弧過P點但不過N點.過N點和P點分別作入射方向和出射方向的延長線相交與一點，作夾角的角平分線，角平分線一定過運動軌跡的圓心，在過P點作出射方向的垂線，兩條線相交于一點即是帶電粒子運動軌跡的圓心O1(如圖6).利用幾何知識可求得運動軌跡的半徑，從而解得B1的大小.

(3) 由圖6可知，磁場B1的最小區(qū)域應該分布在圖示的矩形PACD內由幾何關系易得所求磁場的最小面積.

事實上,關于帶電粒子(不計重力)在磁場中的運動的題目，解題步驟可概括為“定圓心,畫軌跡,根據(jù)幾何知識求解”.不管考題多么新穎、多么巧妙，關鍵還是要能夠正確地畫出帶電粒子在勻強磁場中的運動軌跡，而畫出運動軌跡,關鍵在于能確定粒子做圓周運動的圓心.