尤麗君

(江蘇省無(wú)錫市北高級(jí)中學(xué)，江蘇　無(wú)錫　214000)

從平均速度到瞬時(shí)速度

尤麗君

(江蘇省無(wú)錫市北高級(jí)中學(xué)，江蘇無(wú)錫214000)

摘要：平均速度是我們能夠測(cè)量的物理量，而瞬時(shí)速度是人類的抽象思考和推理演繹的結(jié)果.本文從數(shù)學(xué)角度對(duì)平均速度和瞬時(shí)速度兩個(gè)概念做了區(qū)分，從原理上分析了光電計(jì)時(shí)器測(cè)平均速度近似替代瞬時(shí)速度的系統(tǒng)誤差，介紹了極限法測(cè)瞬時(shí)速度的理論依據(jù)，分析了v與Δt、Δx之間滿足的函數(shù)關(guān)系，最后探討了瞬時(shí)速度教學(xué)的重要意義.

關(guān)鍵詞：平均速度；瞬時(shí)速度；光電門(mén)；極限法測(cè)速

關(guān)于速度，人教版教材上是這樣描述的：“一般說(shuō)來(lái)，物體在某一時(shí)間間隔內(nèi)，運(yùn)動(dòng)的快慢不一定是時(shí)時(shí)一樣的，所以由v=Δx/Δt求得的速度,表示的只是物體在時(shí)間間隔Δt內(nèi)的平均快慢程度，稱為平均速度(average velocity).顯然，平均速度只能粗略描述運(yùn)動(dòng)的快慢.為了使描述精確些，可以把Δt取得小一些，物體從t到t+Δt這樣一個(gè)較小的時(shí)間間隔內(nèi)，運(yùn)動(dòng)快慢的差異也就小一些.Δt越小，運(yùn)動(dòng)的描述就越精確.當(dāng)Δt非常非常小時(shí)，我們把Δx/Δt稱作物體在時(shí)刻t的瞬時(shí)速度(instantaneous velocity).”這是高中物理教材中第一次對(duì)極限思想的教學(xué)滲透.

1從數(shù)學(xué)角度理解平均速度和瞬時(shí)速度區(qū)別

比較上面兩式可得：只要Δt不等于0，瞬時(shí)速度和平均速度就不相等(中間時(shí)刻瞬時(shí)速度計(jì)算為特例).只有Δt→0，平均速度的極限值為at，這才是t時(shí)刻對(duì)應(yīng)的瞬時(shí)速度.所以，當(dāng)Δt→0時(shí)，平均速度的極限值就是t時(shí)刻的瞬時(shí)速度.而這個(gè)極限值的物理意義已經(jīng)和通常意義上的平均速度不一樣，所以想要從普通意義上的平均速度角度來(lái)精確闡明瞬時(shí)速度是行不通的.

2實(shí)驗(yàn)測(cè)定平均速度近似替代瞬時(shí)速度

在力學(xué)實(shí)驗(yàn)中，測(cè)量瞬時(shí)速度的常用方法有：打點(diǎn)計(jì)時(shí)器測(cè)速和光電門(mén)計(jì)時(shí)測(cè)速.

打點(diǎn)計(jì)時(shí)器和光電門(mén)是中學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中常見(jiàn)的兩種測(cè)量瞬時(shí)速度的儀器.打點(diǎn)計(jì)時(shí)器測(cè)量速度的實(shí)驗(yàn)原理是：用某一段時(shí)間內(nèi)的平均速度來(lái)近似代替某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度.而光電門(mén)計(jì)時(shí)測(cè)速的實(shí)驗(yàn)原理是：用某一段時(shí)間內(nèi)的平均速度來(lái)近似代替某一點(diǎn)(光電門(mén)透光孔)處的瞬時(shí)速度.在研究勻變速直線運(yùn)動(dòng)中，打點(diǎn)計(jì)時(shí)器的這種近似代替在實(shí)驗(yàn)原理上并沒(méi)有帶來(lái)誤差，但其可靠性相對(duì)較差，現(xiàn)代物理實(shí)驗(yàn)中經(jīng)常使用光電門(mén)計(jì)時(shí)器采集數(shù)據(jù)來(lái)測(cè)量速度.

2.1光電門(mén)計(jì)時(shí)測(cè)速

光電門(mén)是精度比較高的光敏器件，當(dāng)它的透光孔沒(méi)有被擋光時(shí)，計(jì)時(shí)器不計(jì)時(shí).當(dāng)帶有擋光片的物體經(jīng)過(guò)它的透光孔時(shí)，計(jì)時(shí)器開(kāi)始計(jì)時(shí).當(dāng)擋光物體離開(kāi)透光孔時(shí)，擋光結(jié)束，計(jì)時(shí)器停止計(jì)時(shí).利用光電門(mén)的這種功能，已知運(yùn)動(dòng)物體的擋光片長(zhǎng)度Δx，通過(guò)計(jì)時(shí)器記錄下該物體遮擋光的時(shí)間Δt，可以得出物體在擋光過(guò)程中運(yùn)動(dòng)的平均速度v=Δx/Δt，在Δx或Δt較小的情況下，即可將此速度近似為物體通過(guò)光電門(mén)時(shí)的瞬時(shí)速度.以勻變速直線運(yùn)動(dòng)為例，光電計(jì)時(shí)測(cè)速的這種近似代替在原理上存在一定的系統(tǒng)誤差.

如圖1所示，將導(dǎo)軌調(diào)傾斜，小車(chē)以加速度a在導(dǎo)軌上做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng).小車(chē)由導(dǎo)軌上某一固定位置滑下，測(cè)量擋光片滑至光電門(mén)所在位置處的瞬時(shí)速度.

圖1

設(shè)擋光片的寬度為Δx，A和B為擋光片前后沿上2個(gè)點(diǎn)，當(dāng)擋光片的前邊沿A剛好接近光電門(mén)透光孔開(kāi)始擋光時(shí)，計(jì)時(shí)器開(kāi)始計(jì)時(shí)，直到擋光片的后邊沿B剛好離開(kāi)透光孔擋光結(jié)束時(shí)，計(jì)時(shí)器停止計(jì)時(shí).記錄下這段時(shí)間Δt，可得v實(shí)驗(yàn)=Δx/Δt，即光電門(mén)測(cè)得的瞬時(shí)速度v實(shí)驗(yàn)，實(shí)際上是圖1中擋光片從位置1(擋光開(kāi)始位置)到位置2(擋光結(jié)束位置)之間的一段平均速度；而擋光片在通過(guò)光電門(mén)位置時(shí)的實(shí)際速度v實(shí)際應(yīng)該是擋光片的中心位置剛好在光電門(mén)的透光孔處時(shí)的瞬時(shí)速度[2]，即在Δx的中點(diǎn)位置處的速度，因此v實(shí)際=v中位.

上述結(jié)論還可通過(guò)分析勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律和運(yùn)動(dòng)圖像同樣得出：v實(shí)驗(yàn)=v中時(shí)，v實(shí)際=v中位，而v中時(shí)

2.2極限法測(cè)速

為了讓學(xué)生能更深刻的理解瞬時(shí)速度是平均速度的極限，同時(shí)也為了能更好的測(cè)量瞬時(shí)速度，利用光電門(mén)計(jì)時(shí)器還能做極限法測(cè)速處理.

表1　(擋光片前沿位置固定)

圖-Δt圖(擋光片前沿固定)

圖-Δx圖(擋光片前沿固定)

實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，如果將擋光片的后沿位置固定，讓擋光片前沿逐漸趨近來(lái)改變?chǔ)，同樣可以通過(guò)圖像得到一個(gè)極限值，兩種不同的趨近方式得到的圖像斜率符號(hào)相反(如表2及圖4、圖5).

表2　(擋光片后沿位置固定)

圖-Δt圖(擋光片后沿固定)

圖-Δx圖(擋光片后沿固定)

3結(jié)束語(yǔ)

事實(shí)上，我們能夠測(cè)量到的永遠(yuǎn)只是平均速度，無(wú)論時(shí)間Δt取多小，我們用v=Δx/Δt測(cè)出的也只是在那個(gè)短暫瞬間的平均速度.人們無(wú)法測(cè)量瞬時(shí)速度，因?yàn)槿藗儫o(wú)法測(cè)量一個(gè)無(wú)限小的時(shí)間間隔，而且，多小的時(shí)間間隔才算無(wú)限??？人們?cè)诂F(xiàn)實(shí)世界中無(wú)法測(cè)得瞬時(shí)速度，卻可以用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出瞬時(shí)速度，這就是數(shù)學(xué)所獨(dú)具的偉大力量.它可以憑借科學(xué)家的猜想和推理，超越普通人眼中的世界，測(cè)算出人們?cè)诂F(xiàn)實(shí)中根本看不見(jiàn)也測(cè)不到的東西.也就是說(shuō)，平均速度是我們能夠測(cè)量的真實(shí)世界，而瞬時(shí)速度是人類的抽象思考和推理演繹的數(shù)學(xué)結(jié)果.無(wú)數(shù)的科學(xué)家用無(wú)窮的想象力，推動(dòng)著知識(shí)不斷的向前發(fā)展，等待后人的檢驗(yàn)和證實(shí).在教育過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生透過(guò)知識(shí)本身，體會(huì)科學(xué)發(fā)現(xiàn)的偉大過(guò)程，感受科學(xué)家絕妙的科學(xué)猜想和數(shù)學(xué)推理，才是真正震撼心靈的學(xué)習(xí).

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