楊杰，趙保偉，劉林，孫義陽

（華陰兵器試驗中心，陜西華陰714200）

小子樣下火炮連發(fā)密集度的分析與評估

楊杰，趙保偉，劉林，孫義陽

（華陰兵器試驗中心，陜西華陰714200）

針對火炮連發(fā)模式下射彈散布不完全服從正態(tài)分布，而缺乏有效密集度估計方法的問題，提出了基于二維云模型和蒙特卡羅方法相結(jié)合的火炮連發(fā)密集度估計新方法。首先應(yīng)用蒙特卡羅抽樣解決火炮射擊樣本量少的問題，然后應(yīng)用二維逆向云算法對火炮射擊結(jié)果進行密集度估計，最后用二維正向云發(fā)生器模擬生成新的射彈散布數(shù)據(jù)，進而直觀地看出彈點分布情況。實例分析表明，該方法更符合火炮連發(fā)射彈散布真實情形，分析結(jié)果更準確可靠，從而為基地火炮連發(fā)密集度試驗數(shù)據(jù)分析與評估提供了一種有效的方法。

連發(fā)密集度，小子樣，二維云模型，蒙特卡羅方法

0 引言

立靶密集度是武器直射精度的重要表征量，是火炮射擊精度試驗評估的一個重要指標。國軍標中規(guī)定的立靶密集度估計方法是在假定彈著點呈正態(tài)分布的前提下進行的［1］，當火炮采用單發(fā)射擊模式時，同種彈一組中每發(fā)彈符合獨立同分布的特性，故其密集度可按正態(tài)分布處理；但在連發(fā)射擊模式下，由于火炮射速高，后發(fā)彈是在前發(fā)彈炮口運動尚未恢復射前狀態(tài)時即射出，其散布特性不再嚴格服從正態(tài)分布，而且已有試驗數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明，火炮連發(fā)立靶數(shù)據(jù)未通過正態(tài)性檢驗的現(xiàn)象在已定型航炮中普遍存在，它反映了試驗數(shù)據(jù)不滿足獨立同分布正態(tài)模型的條件，如果再用正態(tài)分布來處理就會帶來較大誤差。

因此，需要建立新的、能反映火炮連發(fā)射擊射彈散布特征的分布模型。李德毅教授1995年提出的云模型［2］是一種定性定量轉(zhuǎn)換模型，其中正態(tài)云分布（又稱泛正態(tài)分布）是最具普適性的一種云模型，泛正態(tài)分布的產(chǎn)生條件比正態(tài)分布更寬松，又比概率理論中一般意義的聯(lián)合分布直觀、簡便、可行?；鹋诰仍囼炓淮稳M，根據(jù)火炮口徑大小的不同每組試驗發(fā)數(shù)不盡相同，最多不超過10發(fā)，從數(shù)理統(tǒng)計的角度屬小樣本。為此，本文將正態(tài)云模型和蒙特卡羅（Monte-carlo）方法相結(jié)合，提出了一種小子樣下火炮連發(fā)密集度的分析與評估的新方法。

1 火炮單發(fā)立靶密集度估計

火炮立靶密集度測量就是通過射擊試驗，獲取彈丸散布坐標，采用數(shù)理統(tǒng)計方法，得到射彈散布概率誤差和散布中心。設(shè)有一組射彈，其立靶散布坐標隨機數(shù)為（Yi，Zi），i=1，2，…，n，n為一組射彈總數(shù)，Yi表示高低散布坐標，Zi表示方位散布坐標。

根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計知識，小樣本量時立靶射彈散布坐標的均方差為：

Y、Z表示每組試驗的平均彈著點坐標。立靶射彈散布坐標的概率誤差與均方差之間的關(guān)系為［3］：

該數(shù)據(jù)處理方法按彈著點符合正態(tài)分布的特性進行計算。很明顯，單發(fā)射擊時，每發(fā)彈相互獨立，采用正態(tài)分布很容易得到公認；但連發(fā)射擊時，由于武器射速高，在前發(fā)射擊引起的身管振動狀態(tài)下，次發(fā)彈即射出，在此情況下，彈著點是否仍然符合正態(tài)分布，需要進行正態(tài)性檢驗驗證。

此外，由上述計算方法可以看出，對火炮密集度的評定分別從高低和方向上進行統(tǒng)計分析，即在一維論域上進行處理，而實際上火炮彈著點位于二維平面上，這種做法人為地割裂了彈著點在高低和方向上的關(guān)聯(lián)性，從而不能全面反映火炮的射擊水平。

2 云模型方法

2.1 基本概念

李德毅院士提出云模型目的是同時處理自然語言中的隨機性和模糊性，云用期望Ex、熵En和超熵He 3個數(shù)字特征來整體表征一個概念。

定義1:設(shè)U是一個普通集合U={x}，稱為論域，T為U上的一個概念，CT（x）是U到閉區(qū)間［0，1］的映射，對于任意元素x∈U，都存在一個有穩(wěn)定傾向的隨機數(shù)CT（x），則稱CT（x）在U上的分布為云模型，即：

每一個x稱為一個云滴。

2.2 正態(tài)云模型

正態(tài)云是云模型中最具普適性的一種，正態(tài)云模型是在正態(tài)分布和鐘形隸屬函數(shù)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的全新模型。正態(tài)分布廣泛存在于自然現(xiàn)象、人類社會、科學技術(shù)及生產(chǎn)等領(lǐng)域之中，正態(tài)分布的前提條件是：如果某一現(xiàn)象決定于若干獨立的、微小的隨機因素的總和，并且各個因素的單獨作用相對均勻地小，那么這一現(xiàn)象一般近似于正態(tài)分布。但是，在很多情況下，影響結(jié)果的諸多因素中，常常可能某一種或幾種因素的作用比較突出，也未必相互獨立，此時如果簡單地用正態(tài)分布來分析問題，就不能真實地反映客觀情況。對此，正態(tài)云提供了一個弱化形成正態(tài)分布條件的參數(shù)He。

在火炮連發(fā)密集度試驗中，He可以用來反映炮口振動因素對射擊結(jié)果的影響。如果炮口振動因素影響小，He就較小，En2+He2和En2差距就小，連發(fā)射彈散布接近于正態(tài)分布；而如果炮口振動因素影響大，He就較大，En2+He2和En2差距也大，連發(fā)射彈散布不再服從正態(tài)分布。當He=0時，正態(tài)云退化為正態(tài)分布。正態(tài)云如圖1所示。

圖1 正態(tài)云圖

定性概念到定量表示的轉(zhuǎn)換過程稱為正向云發(fā)生器，由定量表示到定性概念的轉(zhuǎn)換過程稱為逆向云發(fā)生器。正向云發(fā)生器是由云的3個數(shù)字特征產(chǎn)生滿足條件的云滴drop（x，μ），逆向云發(fā)生器則是通過已知一定數(shù)量的云滴drop（x，μ）來得到描述定性知識的云的3個數(shù)字特征（Ex，En，He）的過程。

3 火炮連發(fā)密集度估計新方法

3.1 射彈散布正態(tài)性檢驗

國際標準化組織統(tǒng)計分委會對比各種檢驗方法后，認為W檢驗和EP檢驗是最好的，原因是它們犯第二類錯誤的概率最小?；鹋诹忻芗仍囼灒凑諊姌艘?guī)定，每種條件下射擊3組，每組最多10發(fā)，從統(tǒng)計的角度屬小樣本，故本文選用W檢驗作為火炮連發(fā)立靶彈著點是否符合正態(tài)分布的檢驗方法。W檢驗的操作步驟是：

假設(shè)H0：總體為正態(tài)分布。

（1）樣本排序x（1）≤x（2）≤…≤x（n）

（2）計算檢驗統(tǒng)計量W=s2/nm2

其中，m2為樣本的二階中心距，

當n為偶數(shù)時，d=n/2；n為奇數(shù)時，d=（n-1）/2。系數(shù)ak根據(jù)n大小查表獲得。

（3）確定顯著性水平α，根據(jù)α和樣本量n查表得統(tǒng)計量W的α分位數(shù)Wα。

（4）判斷：若W≤Wα，則拒絕原假設(shè)，否則保留原假設(shè)。

3.2 蒙特卡羅抽樣

火炮密集度試驗中，在分布未知的情況下，如何確定其分布，用高低或方向僅有的10個數(shù)據(jù)，顯然是很難保證推斷或檢驗的精度的。為解決試驗樣本量少不能準確估計分布的問題，本文引入蒙特卡羅方法進行重抽樣。

蒙特卡羅方法［4］以隨機模擬和統(tǒng)計試驗為手段，從隨機變量的概率分布中，通過隨機選擇數(shù)字的方法產(chǎn)生一種符合該隨機變量概率分布特性的隨機數(shù)值序列，作為輸入變量序列進行特定的模擬試驗、求解。

記x=（x1，x2，…，xn）為試驗獲得的樣本值，依據(jù)樣本值作抽樣分布Fn，即：

式中，x（1）≤x（2）≤…≤x（n）為x1，x2，…，xn按從小到大排序后所得的統(tǒng)計量，從抽樣分布Fn中重新抽樣的方法如下：

（1）產(chǎn)生［0，1］區(qū)間內(nèi)均勻隨機數(shù)r。

（2）求出p=（n-1）r，確定正整數(shù)I，這里I=［p］+1，其中［p］是取p的整數(shù)部分。

（3）令x=x（I）+（p-I+1）（x（I+1）-x（I）），則x～Fn，即為所求的隨機數(shù)。這種方法不需要求出經(jīng)驗分布函數(shù)Fn，產(chǎn)生的隨機數(shù)取值區(qū)間為［x（1），x（n）］。

對于二維分布來說，分別生成每個維度的隨機數(shù)分量，然后組合成二維隨機數(shù)向量即可得到服從聯(lián)合分布的隨機數(shù)。

3.3 基于二維逆向云的連發(fā)密集度估計

二維云算法是在一維云的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，本文引入二維逆向云算法對火炮射擊密集度進行分析，在云模型中，火炮每次射擊的彈著點可以看作是一個云滴，射擊若干次后形成的云團的整體特征反映了火炮射擊的總體水平。二維逆向云用{Ex1，Ex2；En1，En2；He1，He2}這6個數(shù)字特征來表示，其中，期望值（Ex1，Ex2）表示射彈散布中心，（En1，En2）表示彈著點相對于平均點的離散度，超熵（He1，He2）表示熵的離散程度，反映了射擊穩(wěn)定性。

二維逆向云模型對應(yīng)算法如下［5］：

圖2 二維逆向云發(fā)生器

算法1：二維逆向云發(fā)生器的實現(xiàn)

輸入：樣本點（x1i，x2i），其中i=1，2，…，N

輸出：二維云的數(shù)字特征（Ex1，Ex2；En1，En2；He1，He2）

（1）由云滴的平均值，估算出Ex1，Ex2，求標準差估算出En1，En2；

（2）在（Ex1-5%En1）＜X＜（Ex1+5%En1）內(nèi)截得云滴映射到Y(jié)Z平面上；

（3）在YZ平面上由曲線擬合法，得到Ex2；

（5）求En2的標準差得He2；

（6）同理可得Ex1，En1，He1。

由于立靶密集度試驗是分組進行的，最后要綜合三組試驗結(jié)果才是最終結(jié)果，記第i組試驗結(jié)果的云數(shù)字特征為（Exi1，Exi2；Eni1，Eni2；Hei1，Hei2），設(shè)En11＜En21，引入如下云運算：

首先進行第一組和第二組的計算，再將計算結(jié)果和第三組進行計算，得三組數(shù)據(jù)的融合結(jié)果（Ex1，Ex2；En1，En2；He1，He2），最后，由云模型的數(shù)字特征計算中間誤差的公式為：

式中：EY、EZ分別為射彈的方向和高低中間誤差。

3.4 基于二維正向云的連發(fā)密集度還原

通過二維逆向云發(fā)生器獲得了彈點散布特征后，即可用二維正向云發(fā)生器模擬生成新的彈點散布數(shù)據(jù)，進而直觀地看出彈點分布情況。二維云的實現(xiàn)算法如下［6］：

圖3 二維正向云發(fā)生器

算法2：二維正向云發(fā)生器算法

輸入：（Ex1，Ex2；En1，En2；He1，He2，n）。

輸出：drop（x1i，x2i，μi），i=1，2，…，n。

（1）產(chǎn)生一個期望值為（En1，En2），方差為（He1，He2）的二維正態(tài)隨機數(shù)（En1i'，En2i'）；

（2）產(chǎn)生一個期望值為（Ex1，Ex2），方差為（En1i'，En2i'）的二維正態(tài)隨機數(shù)（x1i，x2i）；

（4）令（x1i，x2i，μi）為一個云滴；

（5）重復步驟（1）到（4），直到產(chǎn)生n個云滴為止。

4 實例

某航炮立靶密集度指標為連發(fā)Ey、Ez不大于2.6 mrad，采用本文提出的火炮連發(fā)密集度分析方法對其立靶密集度試驗測試數(shù)據(jù)進行分析。榴彈和穿甲彈的立靶密集度測試數(shù)據(jù)如表1所示。

正態(tài)性檢驗結(jié)果表明，每種彈均有未通過正態(tài)性的情況出現(xiàn)，如果仍然采用正態(tài)方法處理數(shù)據(jù)，并作為評價產(chǎn)品立靶密集度的依據(jù)，必將影響試驗結(jié)論的可信性。下面應(yīng)用本文方法對測試數(shù)據(jù)進行分析。

表1 航炮立靶密集度測試數(shù)據(jù)

以試驗測試所得數(shù)據(jù)作為原始樣本，首先進行蒙特卡羅抽樣，然后利用二維逆向云算法得到反映火炮射擊水平的數(shù)字特征{Ex1，Ex2；En1，En2；He1，He2}，再根據(jù){En1，En2；He1，He2}計算出高低和方向中間誤差，表2給出了分析結(jié)果。其中，期望值{Ex1，Ex2}是所有云滴（彈著點）在靶上的平均點的坐標，熵{En1，En2}體現(xiàn)了射中的程度，也反映彈著點相對于平均點的離散度，超熵反映了熵的離散程度，體現(xiàn)了火炮射擊的穩(wěn)定性。由中間誤差的結(jié)果可以看出，該炮兩種彈射擊結(jié)果均小于規(guī)定指標，立靶密集度滿足指標要求。

表2 立靶密集度分析結(jié)果

根據(jù)云模型的數(shù)字特征進一步應(yīng)用二維正向云算法得出火炮榴彈和穿甲彈射彈散布的還原結(jié)果如圖4、圖5所示，左列為彈點散布二維云模型，右列為二維正向云還原的彈著點，可以直觀地看出彈點的分布情況。與文字性、概念性方式相比較，視覺感受無疑更普遍、更直接、更形象、更富整體性。

圖4 榴彈散布還原

5 結(jié)論

本文提出的基于二維云模型和蒙特卡羅方法的立靶密集度分析方法和國軍標中規(guī)定的立靶密集度數(shù)據(jù)處理方法相比有以下優(yōu)點：

1）原方法是在假設(shè)彈著點呈正態(tài)分布的前提下進行的，而云模型是用來分析泛正態(tài)分布數(shù)據(jù)的，因此，云方法較原方法更符合火炮連發(fā)射擊彈著點的實際分布特征；

2）火炮射擊的彈著點是在二維平面上，二維云分析比一維概率統(tǒng)計分析更全面、更符合火炮實際作戰(zhàn)評估；

3）二維逆向云的數(shù)字特征不僅提供評估精度所需的射擊的離散度，其中的超熵更體現(xiàn)了射擊的穩(wěn)定性，較原方法具有更豐富的評估信息；

4）二維正向云還原彈著點散布特征的方法，為小樣本試驗客觀評估武器精度提供了直觀可信的理論依據(jù)。

圖5 穿甲彈散布還原

［1］GJB 2974-1997.火炮外彈道試驗方法［S］.北京：總裝備部，2006.

［2］李德毅，孟海軍，史雪梅.隸屬云和隸屬云發(fā)生器［J］.計算機研究和發(fā)展，1995，32（6）16-21.

［3］王寶元，衡剛，周發(fā)明，等.火炮立靶密集度測量方法［J］.測試技術(shù)學報，2011，25（6）：529-535.

［4］鄭小兵，董景新，張志國，等.基于蒙特卡羅法的彈道導彈落點密集度驗前估計［J］.中國慣性技術(shù)學報，2011，19（1）：116-121.

［5］楊朝暉，李德毅.二維云模型及其在預測中的應(yīng)用［J］.計算機學報，1998，21（11）：961-969.

［6］呂輝軍，王曄，李德毅，等.逆向云在定性評價中的應(yīng)用.計算機學報，2003，26（8）：1009-1014.

Density Analysis and Prediction of Automatic Gun under Small Sample Conditions

YANG Jie，ZHAO Bao-wei，LIU Lin，SUN Yi-yang
（Huayin Ordnance Test Center，Huayin 714200，China）

In order to solve the problem that there is no effective dispersion investigating method to analyze automatic gun distribution which is not normal，a new method based on 2D cloud model and Monte-calo method is proposed.First the Monte-calo resample method is used to increase the sample quantity，then 2D backward cloud model is used to analyze the gun shooting distribution，at last 2D forward cloud model is used to produce new shooting distribution data which show the shooting result intuitively.Example shows that，this method is consistent with the automatic gun shooting distribution，the analysis result is more precise which provides an effective method for the base to analyze the test data of automatic gun dispersion.

automatic gun dispersion，small sample，2D cloud model，Monte-calo method

TJ31

A

1002-0640（2015）02-0165-05

2014-01-25

2014-02-06

楊杰（1983-），女，河北棗強人，工學博士。研究方向：火炮試驗與鑒定。