劉祥, 孫秦

(西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院, 陜西 西安　710072)

一種彈性機(jī)翼的顫振主動抑制與陣風(fēng)減緩方法

劉祥, 孫秦

(西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院, 陜西 西安710072)

摘要：由于航空器的彈性性質(zhì),飛行過程中飛行參數(shù)的不斷變化會引發(fā)運(yùn)動穩(wěn)定性和陣風(fēng)響應(yīng)特性的改變。在設(shè)計顫振主動抑制或陣風(fēng)減緩控制器的過程中,以某一飛行狀態(tài)為基礎(chǔ)設(shè)計出的控制律往往不能保證在一定飛行參數(shù)范圍內(nèi)的性能。針對此問題,首先通過非定常氣動力有理擬合方法建立時域連續(xù)陣風(fēng)響應(yīng)狀態(tài)空間方程,再考慮模型隨馬赫數(shù)和動壓的變化特性建立線性參數(shù)變化(LPV)模型。最后以線性參數(shù)變化模型為基礎(chǔ)構(gòu)造了包含動壓和馬赫數(shù)參數(shù)不確定性的線性分式變換模型,并設(shè)計了機(jī)翼顫振主動抑制與陣風(fēng)減緩魯棒控制器。結(jié)果表明,對于算例機(jī)翼,其在馬赫數(shù)0.5～0.7范圍內(nèi)的顫振動壓平均增大10%,且在飛行參數(shù)不斷變化的時域仿真中,翼尖過載的均方根值降低51.4%。

關(guān)鍵詞：非定常氣動力;線性參數(shù)變化模型;魯棒控制;顫振主動抑制;陣風(fēng)減緩

作為隨控布局飛機(jī)設(shè)計中的一項關(guān)鍵技術(shù),顫振主動抑制方法一直受到眾多研究者的強(qiáng)烈關(guān)注。隨著控制理論的發(fā)展,顫振主動抑制的控制律設(shè)計方法也逐漸從最優(yōu)控制過渡到魯棒控制。魯棒控制通過描繪對象的不確定性,并在不確定性允許的攝動范圍內(nèi)綜合設(shè)計控制律以使系統(tǒng)保持穩(wěn)定性和性能魯棒,其中的結(jié)構(gòu)奇異值方法則是在H∞理論上發(fā)展起來的一種重要技術(shù),且已經(jīng)成為顫振主動抑制的一個有效工具[1-3]。因飛行器的顫振邊界依賴于動壓和馬赫數(shù)等飛行參數(shù),一種應(yīng)用于顫振主動控制律設(shè)計的簡單方法便是在μ框架中引入對飛行參數(shù)的擾動并確定使系統(tǒng)不穩(wěn)定的最小參數(shù)變化。為進(jìn)行氣動伺服彈性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,Lind等[4]建立了包含動壓不確定性的線性分式變換模型。Moulin[5]在氣動伺服彈性系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型基礎(chǔ)上,引入空速和空氣密度擾動并建立線性分式變換模型,以此為基礎(chǔ)設(shè)計了顫振抑制的μ控制器。為便于設(shè)計魯棒控制器,Qian等[6]在Moulin的方法的基礎(chǔ)上通過模型變換有效降低了不確定塊的維數(shù),并設(shè)計了顫振抑制效果更好的魯棒控制器。但前述的模型均以剛性機(jī)翼或低速機(jī)翼為研究對象,很少以亞聲速范圍內(nèi)的機(jī)翼為研究對象。其中一個重要原因是在亞聲速范圍內(nèi)馬赫數(shù)對廣義非定常氣動力系數(shù)的影響無法解析表達(dá),難于構(gòu)造相應(yīng)的線性分式變換模型。除魯棒控制方法外,變增益控制[7]、非線性控制[8]、自適應(yīng)控制[9]等方法也在逐漸獲得深入研究并應(yīng)用于顫振主動抑制。

Blue等[10]對一個二元翼段建立了隨馬赫數(shù)和動壓變化的近似線性參數(shù)變化模型,在較大的飛行范圍內(nèi)都取得了足夠的精度,但沒有考慮廣義氣動力系數(shù)的變化特征和彈性模態(tài)的影響。本文克服了上述缺點(diǎn)并以線性參數(shù)變化模型為基礎(chǔ)構(gòu)造了包含動壓和馬赫數(shù)參數(shù)不確定性的線性分式變換模型,隨后結(jié)合魯棒控制理論設(shè)計了用于顫振抑制和陣風(fēng)減緩的μ控制器,并對結(jié)果進(jìn)行了時域仿真驗證。

1氣動伺服彈性系統(tǒng)模型

開環(huán)氣動伺服彈性系統(tǒng)模型是控制器設(shè)計的出發(fā)點(diǎn)。在構(gòu)造系統(tǒng)的開環(huán)運(yùn)動方程之前,需要先將頻域的廣義氣動力系數(shù)從頻域有理延拓為拉氏變量s的有理函數(shù),這可以通過最小狀態(tài)法[11]來實現(xiàn),其擬合公式為

基于控制面和陣風(fēng)激勵的彈性體狀態(tài)空間方程為

可簡寫為

(3)

式中

(4)

式中，ξ為機(jī)翼彈性模態(tài)對應(yīng)的n維廣義坐標(biāo),xa為na維氣動力狀態(tài)擴(kuò)充項,Mξξ廣義質(zhì)量矩陣,Kξξ為廣義剛度矩陣,Cξξ為廣義阻尼矩陣,Mξδ為結(jié)構(gòu)模態(tài)和控制面的耦合質(zhì)量陣,δ為控制面偏轉(zhuǎn)模態(tài)坐標(biāo),wg為垂直陣風(fēng)速度。

以翼尖加速度為輸出時,輸出方程為

(5)

式中Φ為翼尖節(jié)點(diǎn)的模態(tài)向量。

舵機(jī)的傳遞函數(shù)可表示為

(6)

式中，Aac、Bac和Cac分別表示系統(tǒng)矩陣、輸入矩陣和輸出矩陣,xac為舵機(jī)狀態(tài)向量,uc為舵機(jī)輸入信號。

連續(xù)陣風(fēng)的狀態(tài)空間方程形式為

(7)

式中各矩陣可由Dryden陣風(fēng)模型[12]或VonKarman陣風(fēng)模型[12]得到。其中Ag、Bg、Cg和Dg分別表示系統(tǒng)矩陣、輸入矩陣、輸出矩陣和直接轉(zhuǎn)換矩陣,xg為陣風(fēng)狀態(tài)向量,η為白噪聲輸入信號。

引入舵機(jī)和陣風(fēng)環(huán)節(jié),可得到彈性機(jī)翼的開環(huán)狀態(tài)空間方程

(8)

可簡寫為

(9)

式中

(10)

2隨馬赫數(shù)和動壓變化的線性參數(shù)變化模型

由(2)式、(3)式和(8)式可知,矩陣A和B中部分元素受馬赫數(shù)Ma、空速V和空氣密度ρ的影響,其中馬赫數(shù)通過廣義氣動力系數(shù)矩陣間接影響系數(shù)矩陣的取值。但在標(biāo)準(zhǔn)大氣情況下,Ma、V和ρ三者的取值可通過2個獨(dú)立變量Ma和q得到,因此(9)式可描述為

(11)

式中

(12)

式中，Δq和ΔMa分別表示馬赫數(shù)和動壓的最大變化量,δ1和δ2分別表示動壓和馬赫數(shù)的歸一化不確定性,取值范圍為[-1,1]。

(11)式中飛行參數(shù)對系數(shù)矩陣的影響可通過(13)式來近似[10]以構(gòu)造線性參數(shù)變化模型

(13)

在給定Ma和q的取值范圍后,(13)式右端的各未知系數(shù)矩陣可通過最小二乘法求解得到。

(14)

3線性分式變換模型

為便于魯棒控制器的設(shè)計,需要將上節(jié)得到的線性參數(shù)變化模型轉(zhuǎn)換為線性分式變換模型。首先將(14)式重組如下

(15)

再定義如下的輸入和輸出變量z和v

顯然有

v=Δ·z

(17)

(18)

現(xiàn)將(16)式代入(15)式可得

(i=1,2,…n+na)

(19)

再將(19)式代入(9)式并結(jié)合(16)式可得

(20)

(20)式中各矩陣可簡單推得,此處恕不詳述。

y=Cyx+Dyuu+Dyvv

(21)

此處省略(21)式右端各矩陣的詳細(xì)描述。

組合(20)式與(21)式可得

(22)

令P(s)為S的拉氏變換,則有

(23)

組合(23)式和(17)式可得

y=Fl(P,Δ)u

(24)

式中，F(xiàn)l(P,Δ)表示P(s)與Δ構(gòu)成的下線性分式變換,其表達(dá)式見下式,可用圖1表示。

Fl(P,Δ)=P11+P12Δ(I-P22Δ)-1M12

(25)

圖1　線性分式變換模型

為便于控制器設(shè)計,需要將不確定塊Δ歸一化以使其所有元素絕對值不大于1,這可在(12)式的基礎(chǔ)上通過線性分式變換將Fl(P,Δ)轉(zhuǎn)換為Fl(P1,Δ1),其中為Δ1為歸一化的不確定塊。

至此已構(gòu)造出能夠計及飛行參數(shù)變化的統(tǒng)一模型,下面將通過算例構(gòu)造模型并設(shè)計用于顫振主動抑制和陣風(fēng)減緩的魯棒控制器。

4算例

4.1開環(huán)顫振分析

算例機(jī)翼的有限元模型如圖2所示,機(jī)翼根部固支。采用MSC/Nastran軟件計算得到前9階結(jié)構(gòu)模態(tài),其中前4階模態(tài)特征如表1所示。采用ZAERO軟件計算各馬赫數(shù)下的非定常氣動力系數(shù),圖3給出了機(jī)翼氣動力模型及控制面的位置。機(jī)翼在馬赫數(shù)0.5～0.7范圍內(nèi)由P-K法計算得到的顫振邊界如表2所示。

表1　機(jī)翼模態(tài)特征

表2　機(jī)翼顫振邊界

在構(gòu)造隨動壓和馬赫數(shù)變化的線性參數(shù)變化模型時,需要在給定的飛行范圍內(nèi)選取部分飛行狀態(tài)并用最小二乘法求解(13)式右端的各系數(shù)矩陣。本文選取的飛行狀態(tài)點(diǎn)如表3所示。從表3可以看出,開環(huán)顫振點(diǎn)附近的動壓增量被適當(dāng)縮小以改善精度。在構(gòu)造各飛行狀態(tài)點(diǎn)的狀態(tài)空間模型時,對非定常氣動力系數(shù)的有理擬合均采用4個滯后根,采用Dryden連續(xù)陣風(fēng)模型,陣風(fēng)強(qiáng)度為1.5m/s,陣風(fēng)尺度為760m,輸出為翼尖前緣點(diǎn)的過載,并將其作為反饋控制器的輸入信號。舵機(jī)傳遞函數(shù)見(26)式

(26)

為驗證擬合結(jié)果的精度,本文比較了線性參數(shù)變化模型和原狀態(tài)空間模型在各馬赫數(shù)下的顫振點(diǎn)特征。結(jié)果表明顫振動壓誤差均小于1%,這說明線性參數(shù)變化模型的精度是足夠的。圖4比較了部分飛行條件下,原狀態(tài)空間模型與線性參數(shù)變化模型中翼尖前緣的陣風(fēng)頻響特性曲線。從圖中可以看出兩者幾乎一致,這從另一個側(cè)面驗證了模型的精度。

表3 飛行狀態(tài)點(diǎn)Ma動壓/kPa0.51001251341441650.551001251331431650.61001251301401650.651001261361411650.7100120131140165

4.2μ控制器設(shè)計

對于當(dāng)前模型,反饋控制的主要目標(biāo)是抑制開環(huán)氣動彈性系統(tǒng)的顫振及減緩陣風(fēng)響應(yīng)。在設(shè)計魯棒控制律之前,需要構(gòu)造完整的系統(tǒng)模型。圖5給出了閉環(huán)魯棒控制模型的結(jié)構(gòu),其中K即為待設(shè)計的魯棒控制器。圖中P1即為名義系統(tǒng)模型,Δ1為代表動壓和馬赫數(shù)不確定性的且維數(shù)為39×39的對角不確定塊,Wy為翼尖過載的輸出加權(quán)函數(shù),表達(dá)式為

(27)

因連續(xù)陣風(fēng)頻譜主要集中于低頻范圍,因此在低頻范圍施加較高的權(quán)重能夠充分發(fā)揮控制器陣風(fēng)減緩的能力。本文將低頻范圍取為0～70rad/s,計算可得突風(fēng)到翼尖過載的傳遞函數(shù)在穩(wěn)定飛行范圍內(nèi)的峰值為0.04,則為了將對應(yīng)飛行狀態(tài)下的翼尖過載降低至少50%,需將Wy的系數(shù)取為2/0.04。

圖5中wn代表傳感器的量測白噪聲信號,添加輸出噪聲有2個方面的作用:①提高魯棒控制器的抗噪聲能力;②完整化模型結(jié)構(gòu)以避免控制器設(shè)計過程中的可能出現(xiàn)的數(shù)值問題[13]。ε為對量測噪聲的加權(quán)小量,取值為0.001。

Wu為舵面控制信號的輸出加權(quán)函數(shù)。為抑制翼尖的高頻振蕩部分和量測噪聲中的高頻信號引起的舵面偏轉(zhuǎn)信號,需要對舵面控制信號的高頻部分施加較高的權(quán)重,本文取為

(28)式中，Wu的系數(shù)為突風(fēng)白噪聲輸入到舵面控制信號閉環(huán)傳遞函數(shù)最大允許增益的倒數(shù)。

圖5中的模型可通過Matlab魯棒控制工具箱[14]中的sysic命令轉(zhuǎn)換成適于魯棒控制器設(shè)計的結(jié)構(gòu)。取Ma0=0.5,ΔMa=0.1,通過多次調(diào)整,在q0=115 kPa且Δq=15 kPa時控制器效果達(dá)到最佳。最終的魯棒控制器通過平衡截斷法[14]被降至11階,且閉環(huán)系統(tǒng)的最大μ值為0.977,達(dá)到魯棒穩(wěn)定性和魯棒性能要求。下節(jié)將通過閉環(huán)顫振及陣風(fēng)響應(yīng)分析進(jìn)一步檢驗μ控制器的性能。

圖5　閉環(huán)魯棒控制模型結(jié)構(gòu)

4.3閉環(huán)顫振及陣風(fēng)響應(yīng)分析

圖6給出了機(jī)翼在馬赫數(shù)在0.5～0.7范圍內(nèi)開環(huán)系統(tǒng)和閉環(huán)系統(tǒng)的顫振邊界,從圖中可以看出,魯棒控制器將顫振動壓在給定范圍內(nèi)平均提高了約10%。

為驗證μ控制器的陣風(fēng)減緩效果,令飛行馬赫數(shù)在20s內(nèi)從0.7線性變化到0.5,同時動壓從100kPa線性變化到130kPa,易知在此過程中開環(huán)和閉環(huán)系統(tǒng)都是穩(wěn)定的。圖7給出了開環(huán)和閉環(huán)系統(tǒng)的翼尖過載時域響應(yīng)。從圖7中可以看出控制器有明顯的陣風(fēng)減緩效果,開環(huán)系統(tǒng)的翼尖過載均方根為1.07g,而閉環(huán)系統(tǒng)為0.52g,減小了51.4%。

圖6　開環(huán)及閉環(huán)顫振邊界

圖8給出了閉環(huán)系統(tǒng)的舵面轉(zhuǎn)角和速度響應(yīng),從圖中可以看出,控制面的轉(zhuǎn)角和速度均在合理范圍內(nèi),這也可以為舵機(jī)的選擇提供參考。

圖7　飛行參數(shù)變化過程中的翼尖過載時域響應(yīng)

圖8　飛行參數(shù)變化過程中的控制面響應(yīng)

5結(jié)論

提出了一種亞聲速下彈性機(jī)翼的顫振主動抑制與陣風(fēng)減緩方法。因機(jī)翼的非定常氣動力同時受馬赫數(shù)和動壓的影響,本文以線性參數(shù)變化模型為基礎(chǔ)構(gòu)造了含馬赫數(shù)和動壓不確定性的線性分式變換模型。最終設(shè)計出的魯棒控制器,不僅將馬赫數(shù)0.5～0.7范圍內(nèi)的顫振動壓平均提高10%,還有效減緩了機(jī)翼的陣風(fēng)響應(yīng)。

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A Robust Active Flutter Suppression and Gust

Alleviation Method for Flexible Wing

Liu Xiang, Sun Qin

(College of Aeronautics, Northwestern Polytechnical University, Xi′an 710072, China)

Abstract:The stability characteristics and dynamic responses of a flexible wing vary with flight conditions. During the design process of a controller for active flutter suppression or gust alleviation, the controller’s performance cannot be sustained when flight conditions change if it is designed on the basis of a single flight condition. To solve this problem, the time domain state-space model is firstly built up with rational function approximation of the unsteady aerodynamics, then the model’s dependence on Mach number and dynamic pressure is taken into account by constructing a linear parameter-varying (LPV) model. A linear fractional transformation model is finally built up on the basis of the LPV model; after which a robust controller is designed for active flutter suppression and gust alleviation. The results on a test wing show that the flutter dynamic pressure increases about 10% when the Mach number varies between 0.5 and 0.7. As can be seen from the simulation results, when the flight parameters keep varying, the root-mean-square of the wing tip overloads decreases by 51.4%.

Key words:acceleration, closed loop control systems, computer software, controllers, damping, design, dynamic response, finite element method, flexible wings, flow velocity, flutter, Laplace transforms, least squares approximations, Mach number, matrix algebra, mean square error, pressure, robust control, stability, transfer functions, wind effects; active flutter suppression, gust alleviation, linear parameter-varying (LPV) model, unsteady aerodynamics

中圖分類號：V215.3

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號:1000-2758(2015)05-0804-07

作者簡介：劉祥(1991—)，西北工業(yè)大學(xué)博士研究生，主要從事飛行器氣動伺服彈性系統(tǒng)研究。

基金項目：中航工業(yè)產(chǎn)學(xué)研創(chuàng)新項目(Cxy2010xG18)資助

收稿日期：2015-04-22