潘昌忠　徐城濤　周少武

摘要：針對(duì)欠驅(qū)動(dòng)機(jī)器人Acrobot，提出一種基于線性矩陣不等式的魯棒鎮(zhèn)定控制方法。通過將Acrobot在垂直向上不穩(wěn)定平衡點(diǎn)附近的第一桿角速度看作一種不確定性，得到Acrobot的不確定模型，在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)一種基于線性矩陣不等式的魯棒鎮(zhèn)定狀態(tài)反饋控制律，實(shí)現(xiàn)Acrobot較大范圍的平衡控制。仿真和對(duì)比結(jié)果驗(yàn)證了方法的有效性和優(yōu)越性。

關(guān)鍵詞：Acrobot；平衡控制；魯棒控制；線性矩陣不等式

中圖分類號(hào)：TP24文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

Abstract：A robust stabilization control approach was proposed for an underactuated robot called acrobot based on linear matrix inequality （LMI）. An uncertain model of acrobot was first obtained by treating the velocity of the first link around the upright equilibrium as an uncertainty. And then a robust stabilizing state feedback control law was designed based on LMI technique， which achieves a large balancing region. Simulation and comparison results demonstrate the effectiveness and advantages of the proposed approach.

Key words：acrobot；balancing control；robust control； LMI

1引言

Acrobot是一種在垂直平面上運(yùn)動(dòng)的欠驅(qū)動(dòng)兩連桿機(jī)器人[1]。這種機(jī)器人由于在肘部關(guān)節(jié)減少了驅(qū)動(dòng)裝置，使得系統(tǒng)在重量、成本及能耗等方面具有很大的優(yōu)勢(shì)；同時(shí)驅(qū)動(dòng)裝置的減少也使得機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型受到二階的非完整條件約束，因此要對(duì)其進(jìn)行控制設(shè)計(jì)具有很大的難度[2，3]。

近十年來，為實(shí)現(xiàn)Acrobot在垂直向上平衡點(diǎn)處的穩(wěn)定控制目標(biāo)，學(xué)者們進(jìn)行了深入研究，提出了多種控制方法。文獻(xiàn)[4]提出了一種基于IDA-PBC方法；文獻(xiàn)[5]提出了一種基于倒轉(zhuǎn)思想的控制設(shè)計(jì)方法；文獻(xiàn)[6]通過模型變換提出了一種基于等價(jià)輸入干擾的控制方法；文獻(xiàn)[7]也利用模型變換提出了一種反步控制設(shè)計(jì)方法；文獻(xiàn)[8]考慮外部干擾，提出了一種滑?？刂品椒?。這些方法雖然都采用單一的控制器實(shí)現(xiàn)了Acrobot的穩(wěn)定控制，但是動(dòng)態(tài)控制性能并不理想，所需控制力矩非常大，難以用于工程實(shí)際。

分區(qū)的控制策略可以提高Acrobot的控制效果，并在理論上保證控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性[9]。它將機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)空間劃分為搖起區(qū)和平衡區(qū)，然后針對(duì)這兩個(gè)區(qū)間分別設(shè)計(jì)不同的控制器，中間通過切換策略來實(shí)現(xiàn)控制器的轉(zhuǎn)換?；谶@種思想，文獻(xiàn)[9]考慮系統(tǒng)能量和機(jī)器人的姿態(tài)設(shè)計(jì)了搖起控制器；并在平衡區(qū)，利用Acrobot在平衡點(diǎn)處的線性化模型設(shè)計(jì)了線性二次調(diào)節(jié)控制器（LQR），獲得了較為滿意的控制效果。然而LQR依賴于機(jī)器人在平衡點(diǎn)處的線性化模型，而且為了保證其魯棒性，切換策略的設(shè)計(jì)須使機(jī)器人的狀態(tài)嚴(yán)格地滿足線性化的要求，因此LQR平衡控制范圍非常小，難以保證每次捕獲都能將其穩(wěn)定住。

本文在文獻(xiàn)[9]的基礎(chǔ)上提出一種基于線性矩陣不等式（Linear Matrix Inequality， LMI）的魯棒鎮(zhèn)定控制設(shè)計(jì)方法，旨在提高Acrobot的控制性能，實(shí)現(xiàn)較大范圍的平衡控制。首先將Acrobot在垂直向上平衡點(diǎn)附近的第一連桿角速度看一種不確定性，得到Acrobot的不確定線性化模型；然后基于LMI推導(dǎo)使系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)二次鎮(zhèn)定的魯棒狀態(tài)反饋控制律存在性條件，通過求解該條件得到魯棒鎮(zhèn)定平衡控制器。最后通過仿真實(shí)例來驗(yàn)證方法的有效性和優(yōu)越性。

2Acrobot的控制問題

Acrobot的模型結(jié)構(gòu)如圖1所示。其中，mi（i=1，2）表示第i桿的質(zhì)量，li是第i桿的長度，lci代表從i關(guān)節(jié)到i桿質(zhì)心的距離，Ii表示為第i桿相對(duì)于質(zhì)心的慣性，q1表示第一桿相對(duì)于垂直向上y軸的角度，q2表示第二桿相對(duì)第一桿的角度，τ2是作用在第二連桿上的控制力，g為重力加速度。

將控制器（5）和（15）作用于Acrobot的控制中，并在切換策略中定義平衡區(qū)范圍為π/3，仿真結(jié)果如圖3所示。其中，圖3（a）是第一桿的角度變化曲線，圖3（b）是第二桿的角度變化曲線，圖3（c）是控制力矩，圖3（d）是能量變化曲線。從圖中可以看到，控制器在t=5.77 s時(shí)發(fā)生切換，相比于文獻(xiàn)[9]的t=7.66 s提前了1.89 s。雖然平衡控制較早地進(jìn)行了切換，但是平衡控制器仍在8 s左右將Acrobot穩(wěn)定住，說明魯棒平衡控制器較大范圍地實(shí)現(xiàn)了Acrobot的穩(wěn)定控制。為了說明方法的優(yōu)越性，現(xiàn)采用文獻(xiàn)[9]的LQR平衡控制器重復(fù)上述試驗(yàn)，結(jié)果如圖4所示，其中（a）是第一桿的角度變化曲線，（b）是第二桿的角度變化曲線。從圖中可以看到，控制器并不能在15 s內(nèi)實(shí)現(xiàn)Acrobot的穩(wěn)定控制。

為了進(jìn)一步驗(yàn)證文獻(xiàn)[9]的LQR的平衡控制范圍，現(xiàn)縮小平衡區(qū)范圍為π/4，得到了如圖5所示的仿真結(jié)果，其中（a），（b），（c）和（d）分別是第一桿角度，第二桿角度，控制力矩和能量變化曲線。從這四個(gè)結(jié)果圖中可以看到，當(dāng)t=5.95 s時(shí)，控制器發(fā)生了第一次切換，但是并沒有將Acrobot穩(wěn)定??；當(dāng)t=9.35 s時(shí)，控制器發(fā)生了第二次切換，并經(jīng)過大約12 s的時(shí)間將Acrobot穩(wěn)定住。

通過上述仿真對(duì)比可知，相比于LQR控制器，本文提出的魯棒控制器實(shí)現(xiàn)了Acrobot更大范圍的平衡控制，獲得了更短的控制時(shí)間。

5結(jié)論

本文描述了Acrobot的一種基于LMI的魯棒鎮(zhèn)定控制方法。該方法將Acrobot在垂直向上平衡點(diǎn)附近的第一桿角速度看作一種不確定性，得到了Acrobot的不確定模型；并針對(duì)該模型設(shè)計(jì)了基于LMI的魯棒鎮(zhèn)定狀態(tài)反饋控制律，實(shí)現(xiàn)了Acrobot在較大范圍內(nèi)的平衡控制目標(biāo)，提高了平衡控制的成功率。方法的有效性和優(yōu)越性通過仿真實(shí)例得到了驗(yàn)證。

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