邢 月, 徐 堯, 胡靖三, 潘永華, 髙惠濱

(南京大學(xué) 物理學(xué)院，江蘇 南京 210093)

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旋轉(zhuǎn)水體模型的溫度場(chǎng)探究

邢 月, 徐 堯, 胡靖三, 潘永華, 髙惠濱

(南京大學(xué) 物理學(xué)院，江蘇 南京 210093)

建立了旋轉(zhuǎn)水體模型，并搭建了實(shí)物實(shí)驗(yàn)平臺(tái)。將裝置放在冰箱中，隨著時(shí)間推移，冰箱溫度呈一定規(guī)律下降，同時(shí)旋轉(zhuǎn)水體溫度不斷下降。以此為基礎(chǔ)，測(cè)量了體系不同位置溫度以及體系隨時(shí)間演化溫度的變化。此外，將靜止水體置于相同實(shí)驗(yàn)條件下測(cè)量相同的物理量作對(duì)比，探究了旋轉(zhuǎn)條件下水體的熱傳導(dǎo)，給出熱傳導(dǎo)方程，分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果及實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)的一系列現(xiàn)象，對(duì)這些現(xiàn)象給出合理解釋。對(duì)體系模擬計(jì)算，根據(jù)實(shí)際實(shí)驗(yàn)條件調(diào)節(jié)參數(shù)和邊界值，給出理論結(jié)果并與實(shí)驗(yàn)作對(duì)比，結(jié)果證明理論和實(shí)驗(yàn)符合基本一致。

旋轉(zhuǎn)； 熱傳導(dǎo)； 溫度場(chǎng)

0 引 言

早在上世紀(jì)，對(duì)旋轉(zhuǎn)柱狀流體的研究就層出不窮[1-3]。從最初提出的沿圓柱中心軸旋轉(zhuǎn)模型開始，探究重力作用下或排除重力影響的溫度場(chǎng)、速度場(chǎng)以及不同雷諾數(shù)下的流體性質(zhì)[4-7]。考慮到實(shí)際情況，旋轉(zhuǎn)流體模型的研究常常為換熱器等工業(yè)器件的理論依據(jù)帶來(lái)價(jià)值[8-11]。時(shí)至今日，完善模型理論，實(shí)驗(yàn)結(jié)合數(shù)值模擬，對(duì)實(shí)踐提供指導(dǎo)意義的研究仍源源不斷[12-13]。本文討論了繞中心軸旋轉(zhuǎn)的圓柱形容器中水體溫度場(chǎng)，給出熱導(dǎo)模型，探究瞬間溫度場(chǎng)和溫度場(chǎng)隨時(shí)間演變的情況[14]。

1 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容

1.1 實(shí)驗(yàn)裝置及模型建立

實(shí)驗(yàn)裝置如圖1所示，上方的圓柱形容器可以在有少量水時(shí)勻速旋轉(zhuǎn)。圓柱形容器材質(zhì)為聚乙烯塑料，半徑0.05 m，高0.12 m，轉(zhuǎn)速0～1 500 rad/min，工作電壓220 V。實(shí)驗(yàn)時(shí)，將儀器置于冰箱中，隨著冰箱不斷降溫，容器中的水也開始降溫。根據(jù)實(shí)際情況，考慮到轉(zhuǎn)速太大時(shí)由于離心力使水向外飛濺，故選擇轉(zhuǎn)速在300～400 rad/min,水量控制在50 mL以內(nèi)。實(shí)驗(yàn)內(nèi)容分為測(cè)量瞬時(shí)溫度場(chǎng)和固定點(diǎn)的溫度隨時(shí)間的變化情況。

圖1 實(shí)驗(yàn)裝置圖

根據(jù)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象主視圖建立坐標(biāo)系,如圖2(a)所示，水貼著容器壁旋轉(zhuǎn)，a為容器內(nèi)徑，水體高度0.1 m。由于圓柱體的對(duì)稱性，可將模型簡(jiǎn)化為矩形的熱傳導(dǎo)問(wèn)題,簡(jiǎn)化后的模型如圖2(b)所示。

(a) 實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象主視圖 (b) 簡(jiǎn)化模型圖

圖2 旋轉(zhuǎn)水體主視圖

1.2 瞬時(shí)溫度場(chǎng)

(1) 模型方程。根據(jù)建立的模型，考慮到對(duì)稱性，只要給出第一象限水體的方程即可。由于垂直方向的水層很薄，實(shí)際只能到某一y值下的溫度，所以給出瞬時(shí)熱傳導(dǎo)方程為[15]:

(1)

(2)

(3)

根據(jù)該模型的對(duì)稱性，解得

k=0,1,2…

(2) 實(shí)驗(yàn)及結(jié)果。由于實(shí)驗(yàn)的冰箱空間有限，可旋轉(zhuǎn)容器的尺寸大小受到限制，因此實(shí)驗(yàn)測(cè)量點(diǎn)的選取數(shù)量較少，而且水銀溫度計(jì)存在測(cè)量誤差，實(shí)驗(yàn)過(guò)程中冰箱的溫度又是逐漸下降的，選取不同點(diǎn)測(cè)量時(shí)同點(diǎn)無(wú)法做到同步進(jìn)行，這些都使得實(shí)驗(yàn)結(jié)果存在一定誤差。但是考慮到溫度場(chǎng)隨時(shí)間變化較慢(由下一個(gè)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容可以看出)，測(cè)量結(jié)果還是可以大致反映出溫度變化的。

實(shí)驗(yàn)中，固定測(cè)量高度y=5 cm，在r方向上選取3個(gè)點(diǎn)A、B、C，測(cè)量這3點(diǎn)的溫度隨時(shí)間的變化。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖3所示，其中每一條曲線上標(biāo)注的3個(gè)點(diǎn)從右到左依次為A、B、C。由于隨著時(shí)間的演化，D、E溫度也在變化，而D、E又是邊界點(diǎn)，所以實(shí)驗(yàn)中同時(shí)要對(duì)D、E溫度進(jìn)行測(cè)量。圖3中，曲線1～3的D、E溫度依次為291.2 、287.2 K；290.0、 288.4 K； 278.8、 276.8 K，用Comsol模擬，選擇與實(shí)驗(yàn)條件相同的材料，將實(shí)驗(yàn)中測(cè)得的3組D、E溫度作為邊界值，模擬出與實(shí)驗(yàn)相對(duì)應(yīng)的A、B、C3點(diǎn)的溫度，如圖4所示, 從右到左為A、B、C的溫度。

圖3 y=5 cm時(shí)3點(diǎn)的溫度實(shí)驗(yàn)圖

圖4 y=5 cm時(shí)3點(diǎn)的溫度模擬圖

實(shí)驗(yàn)和模擬結(jié)果見(jiàn)表1，對(duì)比數(shù)據(jù)，表明體系的溫度場(chǎng)呈一定規(guī)律分布,表現(xiàn)在中心溫度低于邊緣溫度，同時(shí)隨著水體溫度的不斷降低，它們的溫度差越來(lái)越小，而且容器中上層溫度(D點(diǎn))高于下層溫度(E點(diǎn))。不難看出，整體實(shí)驗(yàn)?zāi)M結(jié)果符合較好，尤其是邊界(A,C點(diǎn))結(jié)果比較理想。

表1 實(shí)驗(yàn)溫度與模擬溫度數(shù)據(jù)對(duì)比

(3) 三維溫度場(chǎng)模擬。根據(jù)實(shí)際情況簡(jiǎn)化模型，用Comsol Multiphysics3.5a模擬，給出體系的3維溫度場(chǎng)分布。迭代計(jì)算方程[15]:

(5)

(6)

圖5 三維溫度場(chǎng)分布模擬圖

(4) 結(jié)果解釋。模擬結(jié)果更清晰地反映了實(shí)驗(yàn)結(jié)果。由于測(cè)量時(shí)要不斷打開冰箱，體系上層空氣與室溫空氣交換熱量較多，因此上層溫度(D點(diǎn))高于下層溫度(E點(diǎn))。實(shí)驗(yàn)中，裝置整體置于冰箱中，容器外空氣溫度較低，外界環(huán)境與容器內(nèi)的空氣和水進(jìn)行熱交換。由于水的比熱容大于空氣的比熱容，因此水的溫度比容器內(nèi)空氣的溫度下降較慢，故實(shí)驗(yàn)中看到容器內(nèi)的空氣溫度(中心點(diǎn))要低于水體溫度(邊緣點(diǎn))。此外，隨水體溫度逐漸降低，中心和器壁附近的溫差逐漸變小。裝置最開始放入冰箱后，體系和外界環(huán)境的溫差最大，隨著時(shí)間推移，最終體系將相變結(jié)冰，容器與外界可不再有溫度差。通過(guò)測(cè)量瞬時(shí)溫場(chǎng)，可探究外界熱源分布對(duì)體系內(nèi)部溫度分布的影響。

2.3 隨時(shí)間變化的溫度場(chǎng)

(1) 模型方程及擬合。由于溫度的函數(shù)中變量較多不利于計(jì)算，實(shí)際情況是水層在離心力和重力作用下很薄，且水量本來(lái)就比較少，使得沿豎直方向的水層可以近似看作是厚度均勻的薄層(即圖2(b)中的模型)，所以可以將變量簡(jiǎn)化為時(shí)間t和水體高度y。實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，除了測(cè)量D、E點(diǎn)溫度隨時(shí)間的變化以外，對(duì)容器外的空氣溫度也同時(shí)進(jìn)行了測(cè)量，發(fā)現(xiàn)同一時(shí)刻，上下層空氣的溫度是有差別的，但是差別很小，因此解方程時(shí)，可以認(rèn)為冰箱環(huán)境中的空氣溫度只隨時(shí)間變化而與變量y無(wú)關(guān)，外界向體系內(nèi)傳入的熱量可被視為時(shí)間的函數(shù)。根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)溫度隨時(shí)間變化幾乎是呈線性的。給出含時(shí)的熱傳導(dǎo)方程：

(7)

其中:k為熱導(dǎo)率;c為定壓比熱容;ρ為密度，具體取值可根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果調(diào)節(jié)選取[15]。

根據(jù)對(duì)外界空氣溫度測(cè)量，外界對(duì)體系熱量輸入取為U0=250-0.000 6t。邊界條件U1=279+10y,U2=279-0.000 8t,U3=280-0.000 9t,代入式(7)～(10)，計(jì)算結(jié)果如圖6所示。

圖6 擬合結(jié)果

(2) 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論計(jì)算對(duì)比。實(shí)驗(yàn)測(cè)量溫度隨時(shí)間變化，結(jié)果如圖7所示。圖中:Tup是容器壁上方(D點(diǎn))的溫度變化;Tdown是容器底端(E點(diǎn))的溫度，T0為靜止對(duì)照(即容器置于冰箱內(nèi)，無(wú)旋轉(zhuǎn)，容器內(nèi)部放入等量水)溫度。對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行線性擬合，其中R是線性相關(guān)系數(shù)，結(jié)果:Tup=-0.000 9t+279.73,R2=0.984 1;Tdown=-0.000 8t+278.99,R2=0.966 7;T0=-0.000 7t+276.88,R2=0.874 2。

圖7 實(shí)驗(yàn)測(cè)量溫度隨時(shí)間的變化

(3) 結(jié)果解釋。實(shí)驗(yàn)中，裝置置于冰箱里，從圖7可以看到,水體的Tup高于Tdown，這個(gè)現(xiàn)象出現(xiàn)的原因可能是由于測(cè)量溫度時(shí)要打開冰箱蓋子，與處在室溫下的空氣接觸，則上層溫度要略高于下層溫度。多次重復(fù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果還表明，與室溫空氣接觸時(shí)間越長(zhǎng)，上下層溫差越大，而剛打開冰箱蓋時(shí)，溫差是最小的。

實(shí)驗(yàn)過(guò)程中冰箱溫度隨時(shí)間變化是線性下降的，旋轉(zhuǎn)水體的溫度隨時(shí)間也幾乎成線性下降，如圖7所示。曲線的斜率表明溫度變化的速率很慢, 這是因?yàn)榭諝馀c水的比熱容不同，且本身水體溫度就高于外界空氣，加上用溫度計(jì)測(cè)量時(shí)對(duì)水體的干擾，使得溫度下降要慢一些。

結(jié)合靜止對(duì)照組溫度變化(T0)，從3條曲線的R2可以看出，靜止自然冷卻的水體溫度變化與環(huán)境溫度變化趨勢(shì)整體符合不好，而旋轉(zhuǎn)水體符合較好。原因是在旋轉(zhuǎn)的條件下，水接觸熱源的表面積更大，且旋轉(zhuǎn)也加快了水體自身內(nèi)部熱傳導(dǎo)，故與環(huán)境溫度變化趨勢(shì)相近。

值得注意的是，實(shí)驗(yàn)還發(fā)現(xiàn)當(dāng)水體溫度接近相變溫度時(shí)，靜止水體更容易結(jié)冰，旋轉(zhuǎn)水體則不然，容易形成過(guò)冷水。出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因是，當(dāng)水體旋轉(zhuǎn)起來(lái)時(shí)，較大的擾動(dòng)使得小冰晶難以形成，或形成后難以聚集，從而導(dǎo)致不容易結(jié)冰，但隨著時(shí)間的推移，旋轉(zhuǎn)水體最終還是可以結(jié)冰的。

3 結(jié) 語(yǔ)

本文著眼于旋轉(zhuǎn)水體的瞬時(shí)溫度場(chǎng)和溫度場(chǎng)隨時(shí)間演化的問(wèn)題，理論與實(shí)際符合較好。通過(guò)實(shí)驗(yàn)以及建立模型方程計(jì)算和模擬可以看出，當(dāng)置于容器中水體旋轉(zhuǎn)起來(lái)后，容器中的溫度場(chǎng)在同一時(shí)刻、同一高度上，中心溫度低于邊緣溫度，而且溫度差會(huì)隨著水體溫度降低不斷減??；隨著時(shí)間的演化，同一點(diǎn)的溫度下降的線性相關(guān)性要比自然冷卻的好，這種伴有旋轉(zhuǎn)的冷卻方式對(duì)工業(yè)應(yīng)用有一定的幫助。

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Experimental Investigation on Rotating Water

XINGYue,XUYao,HUJing-san,PANYong-hua,GAOHui-bin

(Department of Physics, Nanjing University, Nanjing 210093, China)

The article designed a water model in axially rotating cylinder and built up an experimental platform. The equipment was put into a refrigerator, and as time went by, the temperature of environment changed regularly and the same is the rotating water. Based on this, different temperatures in different positions and the change of temperature were measured. Besides, comparing with the general water, heat conduction equation was obtained, and the reason of such phenomenon was analyzed. Simulating based on practical condition, the results by theoretic analysis were good matched with experiment. At last, it gave some reference values both on theoretical and experimental aspect for industry application.

rotating cylinder; heat conductive; thermal field

2014-03-07

邢 月(1992-)，女，山西大同人，本科生。

Tel.:18252021252；E-mail：xingyue1992nju@gmail.com

潘永華(1971-)，女，浙江義烏人，高級(jí)工程師，現(xiàn)主要從事大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)和演示實(shí)驗(yàn)教學(xué)研究。

Tel.: 025-89680302；E-mail：pan_yong_hua@sina.com

TK 124

A

1006-7167(2015)01-0052-04