張中華，付景超

(東北電力大學(xué)理學(xué)院，吉林吉林132012)

自1963年，美國著名氣象學(xué)家E.N.Lorenz在刻畫熱對流不穩(wěn)定性時(shí)發(fā)現(xiàn)了第一個(gè)混沌系統(tǒng)以來，許多新的三維混沌系統(tǒng)被發(fā)現(xiàn)，像 Chen系統(tǒng)［1］、Lü系統(tǒng)［2］、Chu系統(tǒng)［3］等等，對這方面的研究也很多［4－7］。此外，電力系統(tǒng)中也存在Hopt分岔。文獻(xiàn)［8］給出了求解電力系統(tǒng)動(dòng)態(tài)電壓穩(wěn)定Hopt分岔點(diǎn)的新型混合方法。文獻(xiàn)［9］基于中心流形理論對一類小水電并網(wǎng)系統(tǒng)的Hopt分岔進(jìn)行了分析。文獻(xiàn)［10］在Lü系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，通過設(shè)計(jì)一個(gè)非線性反饋控制器建立了一個(gè)新的四維非線性系統(tǒng)，通過Lyapunov指數(shù)研究了系統(tǒng)的超混沌行為，并設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制器控制這種混沌現(xiàn)象。文獻(xiàn)［11］在文獻(xiàn)［7］的基礎(chǔ)上，研究了一個(gè)四維超混沌系統(tǒng)的分岔行為，并進(jìn)一步判定系統(tǒng)分岔的方向和周期解問題。但以上文獻(xiàn)沒有對超混沌系統(tǒng)的分岔行為進(jìn)行控制。

本文在文獻(xiàn)［10］和文獻(xiàn)［11］的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究四維超混沌系統(tǒng)的分岔控制問題。利用中心流形理論將四維系統(tǒng)降到二維系統(tǒng)，通過研究二維系統(tǒng)的Hopf分岔類型來判定原系統(tǒng)的分岔特性;接著對系統(tǒng)產(chǎn)生的Hopf分岔行為進(jìn)行極限環(huán)幅值(周期解振幅)控制，找出控制參數(shù)與幅值之間的關(guān)系式，進(jìn)而判定控制參數(shù)對系統(tǒng)極限環(huán)幅值的影響。

圖1 系統(tǒng)(1)的混沌相圖

1 系統(tǒng)模型穩(wěn)定性分析

系統(tǒng)模型如下［11］

其中，a，b，c，m 是實(shí)參數(shù)，當(dāng) a=36，b=3，c=20，m=7時(shí)，系統(tǒng)(1)存在超混沌吸引子，如圖1所示。

當(dāng)b＞0時(shí)，系統(tǒng)(1)有唯一平衡點(diǎn)O(0，0，0，0)，下面討論平衡點(diǎn)O的穩(wěn)定性問題。系統(tǒng)(1)在平衡點(diǎn)O的線性化矩陣為

相應(yīng)的特征方程為

式(2)有一個(gè)負(fù)根λ3=-b＜0，由Routh－Hurwitz矩陣知:

圖2 系統(tǒng)(1)在O處的分岔圖

圖3 m=5系統(tǒng)(1)在分岔點(diǎn)O處的相圖

2 系統(tǒng)Hopf分岔類型判定

當(dāng)b=3，a=2，c=-1，m=6時(shí)，系統(tǒng)(1)在平衡點(diǎn)O處的線性化矩陣為

對應(yīng)的特征值為

其中ω0=2.828 4。下面討論系統(tǒng)(1)在平衡點(diǎn)O的Hopf分岔類型。

對系統(tǒng)(1)兩端作線性變換(x，y，z，w)T=Ty，其中 y=［y1，y2，y3，y4］T，T 為分岔點(diǎn) O 處導(dǎo)算子的特征值對應(yīng)的特征向量的實(shí)部和虛部所組成的變換矩陣。

變換后可得系統(tǒng)(1)的Poincare規(guī)范形

其中:hi(y)(i=1，2，3，4)為包含 y1，y2，y3，y4，m1的非線性部分，m=m1+6。根據(jù)中心流形定理，可設(shè)式(3)的中心流形為如下形式:

其中:U(y2，y3)和V(y2，y3)為含y2，y3的更高階項(xiàng)。(0，0)是式(5)唯一有意義的平衡點(diǎn)，由文獻(xiàn)［12］知，式(5)與系統(tǒng)(1)有相同的非線性特性，研究式(5)在(0，0)的穩(wěn)定性及分岔類型相當(dāng)于研究系統(tǒng)(1)在相應(yīng)平衡點(diǎn)O處的穩(wěn)定性及分岔類型。計(jì)算式(5)的Hopf分岔穩(wěn)定性指標(biāo)

計(jì)算得 β2=-0.014 1 ＜ 0。所以，式(5)在(0，0)處發(fā)生超臨界Hopf分岔，由此可判定系統(tǒng)(1)在分岔點(diǎn)O處發(fā)生超臨界Hopf分岔，系統(tǒng)O產(chǎn)生等幅振蕩，出現(xiàn)穩(wěn)定極限環(huán)，如圖4所示，仿真初值為(x0，y0，z0，w0)=(0.5，0.1，0.1，0.1)。

3 分岔控制

不改變原系統(tǒng)的Hopf分岔點(diǎn)，對系統(tǒng)(1)施加基于Washout濾波器輔助的非線性控制器得:

圖4 m=6.2時(shí)，系統(tǒng)(1)在平衡點(diǎn)O處和相圖

其中 u=k(x1-ξv)3，非線性控制器沒有改變原系統(tǒng)的平衡點(diǎn) O，系統(tǒng)(6)有平衡點(diǎn)~O(0，0，0，0，0)。取b=3，a=2，c=-1，ξ=0.5，m=6，則系統(tǒng)(6)在平衡點(diǎn) ~O 處的線性化矩陣為

對應(yīng)的特征值為

變換后可得系統(tǒng)(6)的Poincare規(guī)范形

其中 hi(y)(i=1，2，3，4，5)是包含 y1，y2，y3，y4，y5，k 的非線性部分。

根據(jù)Hopf分岔理論計(jì)算系統(tǒng)(6)的Hopf分岔穩(wěn)定性指標(biāo)β［13］2

其中

根據(jù)式(7)及文獻(xiàn)［13］，分別計(jì)算各個(gè)特征量得

將以上結(jié)果代入式(8)和式(9)得

當(dāng)k＜0.3時(shí)，β2＜0，系統(tǒng)(6)發(fā)生超臨界Hopf分岔，在平衡點(diǎn)附近系統(tǒng)產(chǎn)生等幅振蕩，出現(xiàn)穩(wěn)定極限環(huán)，如圖5所示。當(dāng)k=0時(shí)，β2＜0，即在施加控制器前系統(tǒng)的分岔類型為超臨界，這與2中所分析的結(jié)果相符合。另外，極限環(huán)幅值(振動(dòng)幅值)會隨著控制參數(shù)k的減小而減小，見圖5～圖6。當(dāng)k＞0.3時(shí)，β2＞0，系統(tǒng)(6)發(fā)生亞臨界Hopf分岔，在平衡點(diǎn)附近系統(tǒng)產(chǎn)生增幅振蕩，出現(xiàn)不穩(wěn)定極限環(huán)，如圖7所示。其中，仿真初值為(x0，y0，z0，w0，v0)=(0.5，0.1，0.1，0.1，0)。

圖5 k=0.2時(shí)，系統(tǒng)(6)在分岔點(diǎn)~O處的相圖

圖6 k=－2.5時(shí)，系統(tǒng)(6)在分岔點(diǎn)~O處的相圖

由以上分析知，當(dāng)非線性控制參數(shù)滿足一定條件時(shí)，可以改變原系統(tǒng)的Hopf分岔類型和極限環(huán)幅值大小，從而實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的極限環(huán)幅值控制。

圖7 k=0.9時(shí)，系統(tǒng)(6)在分岔點(diǎn)~O處的相圖

4 結(jié) 論

本文主要研究了一個(gè)新的四維非線性系統(tǒng)的Hopf分岔行為和極限環(huán)幅值控制問題。通過中心流形理論判定系統(tǒng)的Hopf分岔類型，然后對系統(tǒng)施加基于Washout濾波器輔助的非線性控制器，討論了控制器對Hopf分岔類型及極限環(huán)幅值的影響。通過討論得出結(jié)論，當(dāng)非線性控制參數(shù)滿足一定條件時(shí)，可改變原系統(tǒng)的Hopf類型，并能控制極限環(huán)幅值的大小。文中用Matlab軟件對理論結(jié)論進(jìn)行數(shù)值仿真，仿真結(jié)果與理論分析結(jié)果一致。

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