吳鵬，李雯霖,宋文龍

(東北林業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院， 黑龍江 哈爾濱 150040)

基于C-V模型無(wú)關(guān)曲率方向的快速分割算法

吳鵬，李雯霖,宋文龍

(東北林業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院， 黑龍江 哈爾濱 150040)

摘要：為提高圖像分割的精度獲取邊緣更佳的分割圖，提出結(jié)合無(wú)關(guān)曲率方向的邊緣函數(shù)與無(wú)需重新初始化符號(hào)距離函數(shù)的基于C-V(Chan-Vese)模型的快速分割算法。針對(duì)在圖像的同質(zhì)區(qū)域中基于水平集的C-V模型不能正確分割出目標(biāo)輪廓的缺陷提出優(yōu)化方法。改進(jìn)算法不依賴于水平集梯度信息進(jìn)行活動(dòng)輪廓曲線的演變，引入無(wú)關(guān)曲率的邊緣函數(shù)并結(jié)合平均曲率運(yùn)動(dòng)方程以最小化長(zhǎng)度能量項(xiàng)；并且在能量函數(shù)中增加了內(nèi)能泛函項(xiàng)，以簡(jiǎn)化模型在局部需要重新初始化符號(hào)函數(shù)的步驟，提高運(yùn)算速度。實(shí)驗(yàn)表明新算法能夠演化出目標(biāo)邊緣曲線，準(zhǔn)確分割圖像，且運(yùn)行耗時(shí)顯著減少,收斂速度近似為幾何活動(dòng)輪廓C-V模型的1.2倍。

關(guān)鍵詞：圖像分割；Chan-Vese模型；水平集方法；邊緣函數(shù)；能量泛函；幾何活動(dòng)輪廓模型

網(wǎng)絡(luò)出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1390.u.20151106.1047.008.html

宋文龍(1973-)，男，教授，博士生導(dǎo)師.

圖像進(jìn)行有意義地劃分，提取感興趣的目標(biāo)，是目標(biāo)表達(dá)的基礎(chǔ)；進(jìn)一步將原圖像轉(zhuǎn)化成冗余小且緊湊性高的形式，在聯(lián)系底層和高層計(jì)算機(jī)視覺(jué)有重要意義。經(jīng)典的圖像分割算法主要包括基于閾值、區(qū)域、特征、邊緣的分割[1-2]，新為圖像分割開(kāi)發(fā)的算法有基于區(qū)域分裂與歸并、活動(dòng)輪廓、水平集等分割算法[3-4]，相比之下，基于水平集方法[5]的區(qū)域分割幾何活動(dòng)輪廓模型[6]——C-V模型[7]由能量函數(shù)定義，具有較易改變拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)且具有基于區(qū)域的統(tǒng)計(jì)特性，在搜尋目標(biāo)幾何拓?fù)渥兓⑻崛D像細(xì)節(jié)方面有杰出表現(xiàn)，受到不少學(xué)者研究的青睞。李俊等提出了利用源點(diǎn)映射掃描的快速步進(jìn)法得到符號(hào)距離函數(shù)(SDF)的C-V模型[8]。吳永飛等結(jié)合了全局?jǐn)M合的C-V模型和局部擬合的LBF模型的優(yōu)勢(shì)，但耗時(shí)較長(zhǎng)[9]。Lee等在一定程度上解決了C-V模型在弱目標(biāo)邊界易漏分割的缺點(diǎn)[10-11]。為獲取更好地捕捉目標(biāo)邊緣，且分割速度更快的算法，仍然需要進(jìn)一步研究更適于提取圖像細(xì)節(jié)的方法。本文基于C-V模型在目標(biāo)輪廓內(nèi)外處于同質(zhì)區(qū)域時(shí)存在分割效果不佳以及重新初始化SDF上耗時(shí)較大的缺點(diǎn)考慮，將邊緣函數(shù)和內(nèi)能泛函引進(jìn)以改善能量函數(shù)，從而準(zhǔn)確提取目標(biāo)邊緣圖像并且加快模型運(yùn)算速度。

1C-V水平集模型

基于Osher 和Sethian的水平集方法[12]和Mumford-Shah分割方法[13]，利用貝葉斯推論對(duì)輸入圖像矩陣進(jìn)行建模，再用Gibbs形式能量將概率模型轉(zhuǎn)化成能量泛函[14]求解，Chan和Vese提出了C-V模型，在水平集中運(yùn)用平均曲率流來(lái)演化輪廓曲線。C-V水平集模型是一種幾何活動(dòng)輪廓模型，受到M-S模型尋找圖像區(qū)域Ω中的分片光滑區(qū)域Ωi的最小化分區(qū)分割方法以及Osher和Sethian的允許峰值、角點(diǎn)、自動(dòng)拓?fù)渥兓乃郊椒ǖ膯l(fā)得到C-V模型：

μ×Length(C)+υ×Area(inside(C))+

(1)

用水平集函數(shù)φ取代演變曲線C，并且引入Heaviside 0-1函數(shù)H和Dirac-Delta函數(shù)δ0：

為保證Dirac函數(shù)在活動(dòng)輪廓演變過(guò)程中水平集函數(shù)所有的點(diǎn)均為趨近于零的正值，令ε→0時(shí)，函數(shù)H和δ0是正則化的，記做Hε與δε：

則正則化能量泛函公式可以表示為

(2)

(3)

由演化方程可以得知C-V模型不是基于邊緣函數(shù)來(lái)停止演化輪廓的，因此對(duì)于邊界光滑且邊緣形狀變化劇烈的目標(biāo)物體的檢測(cè)，能夠較準(zhǔn)確地獲得蛇模型(SNAKE)[15]所不能捕獲的輪廓曲線。且該模型在具有噪聲干擾的情況下依舊能夠較好地檢測(cè)目標(biāo)物體邊界。然而大量的實(shí)驗(yàn)表明，C-V模型在對(duì)于一些含有目標(biāo)邊緣的同質(zhì)區(qū)域中不能正確的分割目標(biāo)的弊端逐漸顯露；且在生產(chǎn)應(yīng)用中，對(duì)于大量圖像的提取、分割，提高運(yùn)算速率有很大必要。

2優(yōu)化算法分割圖像

通過(guò)上述分析考慮，從以下兩方面優(yōu)化算法。

2.1　邊緣函數(shù)

C-V模型是結(jié)合了將圖像表示成式(4)形式的M-S模型的圖像分片光滑思想。

(4)

式中：u+和u-分別表示曲線區(qū)域內(nèi)、外的圖。而算法也是通過(guò)求取分片光滑區(qū)域內(nèi)部、外部系數(shù)得到u+和u-，再通過(guò)計(jì)算分片光滑區(qū)域水平集函數(shù)的區(qū)域項(xiàng)、調(diào)節(jié)項(xiàng)得到對(duì)應(yīng)輪廓線。由式(4)可知，模型是基于圖像像素灰度值的相似性來(lái)劃分分片區(qū)域的。C-V模型借鑒了Mumford-Shah模型的分片思想，若物體目標(biāo)輪廓內(nèi)外灰度值差異不大且存在輪廓曲線內(nèi)、外區(qū)域灰度值分布不均勻的現(xiàn)象時(shí)，活動(dòng)曲線就會(huì)出現(xiàn)收斂不到目標(biāo)邊界的錯(cuò)誤。

引入邊緣控制函數(shù)幫助判斷活動(dòng)輪廓收斂目標(biāo)，進(jìn)行邊緣控制以捕捉到輪廓線，確保曲線在運(yùn)動(dòng)到目標(biāo)輪廓邊緣時(shí)候停止演化，且使得主動(dòng)輪廓模型對(duì)噪聲干擾具有一定的魯棒性。指數(shù)型和分式型邊緣函數(shù)是目前較流行的2種邊緣函數(shù)：

本文引用“非邊緣控制函數(shù)”[17]：

(5)

根據(jù)MCM(mean curvature motion)方法，對(duì)水平集長(zhǎng)度能量項(xiàng)Length(C)最小化，用偏微分方程表示為

(6)

其中，φηη表示水平集函數(shù)沿梯度方向η的二階偏導(dǎo)數(shù)，則活動(dòng)輪廓模型在收斂的時(shí)候水平集梯度方向的影響會(huì)減小，平坦水平集的同時(shí)也能較少受到噪聲干擾。

水平集演變計(jì)算時(shí)，由于式(6)無(wú)法求代價(jià)函數(shù)最小化，故將式(6)等價(jià)表示為

(7)

2.2　內(nèi)能泛函

在活動(dòng)輪廓曲線的演化中都需要使水平集函數(shù)滿足符號(hào)距離函數(shù)(SDF)，但往往經(jīng)過(guò)幾次演化后，會(huì)出現(xiàn)水平集函數(shù)不再滿足SDF，此時(shí)需要重構(gòu)φ函數(shù)，使φτ函數(shù)滿足SDF并且與φ0具有相同的零等值面。重構(gòu)φ函數(shù)不僅計(jì)算量大、耗時(shí)大而且在重新初始化水平集函數(shù)φ到符號(hào)距離函數(shù)(SDF)上時(shí)會(huì)由于尺度調(diào)節(jié)導(dǎo)致φ函數(shù)變得過(guò)于平坦。

因此考慮在演化函數(shù)中增添內(nèi)能泛函，以改進(jìn)水平集在重新初始化符號(hào)函數(shù)的方式。引入內(nèi)能泛函[19]Fin(φ)：

(8)

2.3　優(yōu)化算法及其數(shù)值逼近

將邊緣函數(shù)引入并求取水平集長(zhǎng)度項(xiàng)最小化，得到

(9)

對(duì)式(9)求解Euler-Lagrange方程，以獲得極小值，且根據(jù)梯度下降法求解偏微分方程，引入虛擬時(shí)間參數(shù)t>0，得水平集演變方程:

(10)

則(10)可寫(xiě)作迭代式(11)：

(11)

采用有限差分進(jìn)行數(shù)值求解，差分形式為

(12)

3實(shí)驗(yàn)結(jié)果

基于上節(jié)的分析，在圖像的邊緣提取實(shí)驗(yàn)中，選用葉緣不同的葉圖像作為輸入圖像，本文提出的算法較之于經(jīng)典C-V模型應(yīng)該達(dá)到如下標(biāo)準(zhǔn)：

1)能夠準(zhǔn)確分割出葉邊緣圖像，包括葉緣較復(fù)雜的樹(shù)葉；

2)較之于C-V模型，算法速度得到提高。

本文參考了文獻(xiàn)[20]的改進(jìn)算法。文獻(xiàn)[20]結(jié)合圖像全局和局部統(tǒng)計(jì)信息改進(jìn)的C-V模型在醫(yī)學(xué)腎臟圖像分割上面取得了較好的效果。實(shí)驗(yàn)使用C-V經(jīng)典模型、參考算法和本文改進(jìn)算法做比較。

針對(duì)給定葉圖像，一般選取位于葉圖像的中間區(qū)域的盡可能大的圓圈作為零水平集獲得的分割結(jié)果較佳。

圖1是重鋸齒緣掌狀1號(hào)葉圖像的分割結(jié)果圖，圖像尺寸為376×1 254。由此選取零水平集為

由圖1中(a)、(c)、(e)對(duì)比，可以看到圖1(e)的活動(dòng)輪廓曲線收斂到掌狀復(fù)葉的小葉的邊緣的效果要好于圖1(a)、(c)，在樹(shù)葉的小葉間的縫隙處可以較明顯地辨識(shí)出：圖1(e)的活動(dòng)輪廓真實(shí)地捕捉到了圖1(a)活動(dòng)輪廓未能捕捉到的圖像細(xì)節(jié)，較細(xì)致地反映出重鋸齒緣掌狀葉的葉緣特征，圖1(c)的演變效果略差于圖1(e)，主要反映在葉柄處。分析對(duì)比效果強(qiáng)的分割圖像(b)、 (d)和(f)，能夠更直觀地看到圖1(f)提取的邊緣更準(zhǔn)確。

圖1　1號(hào)葉分割結(jié)果Fig.1　Segmentation results of No.1 leaf

圖2是鋸齒緣-掌狀淺裂2號(hào)葉圖像的分割結(jié)果，圖像尺寸為541× 2 184。由尺寸設(shè)零水平集為

圖2　2號(hào)葉分割結(jié)果Fig.2　Segmentation results of No.2 leaf

對(duì)比圖2(a)、(c)、(e)可以明顯看到圖2(a)的輪廓收斂效果差于圖2(c)、(e)：圖(a)活動(dòng)輪廓線并未收斂到葉緣深裂處、葉柄處，。因?yàn)?號(hào)葉的灰色背景和灰度葉片顏色相似，葉緣附近的像素灰度值相近，即處于邊緣同質(zhì)區(qū)域，使用C-V模型的運(yùn)算結(jié)果表明算法未能正確捕捉到葉緣。而改進(jìn)算法有效地利用邊緣信息，正確地收斂到了葉緣、葉柄處，且與對(duì)比算法相比，葉柄處收斂效果更佳。這在分割圖像(d)、(f)中的對(duì)比顯得尤為明顯。

通過(guò)直觀地觀察1號(hào)葉、2號(hào)葉分割結(jié)果得到的結(jié)論是改進(jìn)C-V模型能夠更精準(zhǔn)地分割出葉緣圖像。

然而，對(duì)于本節(jié)開(kāi)篇提出的判斷依據(jù)2)，用MATLAB自有時(shí)間函數(shù)tic、toc得到算法的程序運(yùn)行時(shí)間，見(jiàn)表1。

表1　改進(jìn)算法和C-V模型結(jié)果比較Table 1　Comparison results between the improved algorithm and the C-V model

由表1中的數(shù)據(jù)得：改進(jìn)算法的迭代次數(shù)及耗時(shí)都明顯小于C-V模型、文獻(xiàn)[20]算法，因?yàn)楦倪M(jìn)算法避免了非必要的高斯平滑影響提取速度且優(yōu)化了迭代時(shí)重構(gòu)SDF的需要，使得算法性能得到了提升。文獻(xiàn)[20]提出的算法雖結(jié)合了局部信息和全局信息，但未能優(yōu)化重構(gòu)SDF的步驟，耗時(shí)仍有改進(jìn)空間。數(shù)據(jù)分析可得本文提出的改進(jìn)算法的收斂速度近似為經(jīng)典模型的1.2倍，證明了算法運(yùn)算速度有了顯著提高，更適合節(jié)約時(shí)間成本進(jìn)行生產(chǎn)實(shí)踐。為了證明改進(jìn)算法對(duì)葉緣圖像的分割具有普適性，本文選取了一些不同葉緣類型的葉圖像做實(shí)驗(yàn)。

由圖3可以看出，改進(jìn)算法在葉圖像分割上取得了較好的效果。針對(duì)不同類型的葉緣，都能較準(zhǔn)確地分割出目標(biāo)圖像。表2是使用改進(jìn)算法對(duì)3~6號(hào)葉分割得到的結(jié)果參數(shù)。

(a)3號(hào)葉分割結(jié)果

(b)4號(hào)葉分割結(jié)果

(c)5號(hào)葉分割結(jié)果

(d)6號(hào)葉分割結(jié)果圖3　不同葉緣類型的葉圖像分割結(jié)果Fig.3　Segmentation results of different types of leaf margins

表2　使用改進(jìn)算法的不同葉緣類型的葉圖像分割結(jié)果果Table 2　Segmentation results of different types of leaf margins using the improved algorithm

分析數(shù)據(jù)可得，算法的迭代次數(shù)、算法耗時(shí)和實(shí)驗(yàn)圖像的尺寸相關(guān)。圖像尺寸越大，迭代次數(shù)越多，算法耗時(shí)也越長(zhǎng)。

4結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)C-V模型在提取圖像邊緣圖像時(shí)存在的2個(gè)明顯缺點(diǎn)，本文將不依賴于梯度方向的非規(guī)則邊緣函數(shù)引入經(jīng)典模型中，并且結(jié)合圖像內(nèi)能泛函優(yōu)化局部需重構(gòu)符號(hào)函數(shù)的缺陷，構(gòu)造改進(jìn)能量函數(shù)式。實(shí)驗(yàn)表明，改進(jìn)算法在葉緣圖像提取過(guò)程中，較好地克服了在目標(biāo)邊緣內(nèi)外為同質(zhì)區(qū)域時(shí)活動(dòng)曲線收斂效果不好的缺點(diǎn)，更準(zhǔn)確地提取出葉緣圖像，尤其是保留了特殊形狀的葉片的輪廓細(xì)節(jié)特征；同時(shí)，也提高了迭代速率，降低耗時(shí)。且對(duì)葉緣類型各異的圖像進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，分析所得結(jié)果與本文結(jié)論一致。

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A fast segmentation algorithm with curvature-independent

direction based on the Chan-Vese model

WU Peng, LI Wenlin, SONG Wenlong

(Department of Mechanical and Electronic Engineering, Northeast Forestry University, Harbin 150040, China)

Abstract：To improve image segmentation accuracy with better edge details, a new fast method is proposed based on the Chan-Vese(C-V) model. It combines an edge function and a signed distance function. The edge function is directionally curvature-independent, and the energy function evolves without re-initializing the signed distance function. The improved method extends the C-V model, so as to properly extract contours from given images in homogeneous areas. It does not use the local gradient information of level sets while evolving contours, instead it adds a curvature-independent directional edge function and uses mean curvature motion to minimize length energy. The internal energy function term of the energy function is increased to simplify and speed up the model when it needs to re-initialize the signed distance function. Experiments show that the new algorithm nicely evolves wanted target edge contours for accurate image segmentation, and also reduces time significantly, approximately 1.2 times faster than the geometric active contour C-V model.

Keywords：image segmentation; Chan-Vese model; level set method; edge function; energy function; geometric active contour model

通信作者：宋文龍， E-mail:wlsong139@163.com.

作者簡(jiǎn)介：吳鵬(1980-)，男，副教授；

基金項(xiàng)目：黑龍江省自然科學(xué)基金面上資助項(xiàng)目(C201337)；哈爾濱市科技創(chuàng)新人才研究專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目(2014RFQXJ127)；黑龍江省博士后科研啟動(dòng)金資助項(xiàng)目(LBH-Q14006)；國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(31470714)；中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目(2572014CB14).

收稿日期：2015-04-29.網(wǎng)絡(luò)出版日期：2015-11-06.

中圖分類號(hào)：TN911.73

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1006-7043(2015)12-1632-06

doi:10.11990/jheu.201501044