吳爽，趙壽根，吳大方，羅敏

(1.北京航空航天大學(xué)航空科學(xué)與工程學(xué)院，北京100191;2.中國空間技術(shù)研究院總體設(shè)計部，北京100080)

由于航天器載荷艙內(nèi)空間的限制，航天器中的某些重要組件在發(fā)射前需要折疊放置，因此需要使用可轉(zhuǎn)動的鉸鏈連接結(jié)構(gòu)來實現(xiàn)折疊組合構(gòu)件的在軌展開。航天器上的鉸鏈結(jié)構(gòu)形狀復(fù)雜，在外界載荷作用下，其內(nèi)部零件間會產(chǎn)生碰撞及摩擦，使其結(jié)構(gòu)的剛度和阻尼表現(xiàn)出較強的非線性特點，這些非線性動力學(xué)特點使得鉸鏈動力學(xué)參數(shù)的確定及其建模變得復(fù)雜且困難。航天器伸展機構(gòu)的非線性主要來源于鉸鏈結(jié)構(gòu)的非線性剛度和非線性阻尼［1］，因此確定鉸鏈結(jié)構(gòu)的上述非線性動力學(xué)參數(shù)對建立航天器伸展機構(gòu)的動力學(xué)模型非常重要。

國內(nèi)外已有許多學(xué)者對鉸鏈的動力學(xué)特性進行了研究，以確定其動力學(xué)參數(shù)。Ren等［2］將鉸鏈與鉸鏈組合體的動態(tài)特性的區(qū)別假設(shè)為鉸鏈的影響，從它們結(jié)構(gòu)的頻率響應(yīng)函數(shù)中提取鉸鏈的參數(shù)。Wang［3］等根據(jù)測量得到的鉸鏈頻響函數(shù)估計了所有未測得的頻響函數(shù)，并辨識了組合結(jié)構(gòu)中鉸鏈的線性動力學(xué)特性。以上文獻僅考慮了鉸鏈的線性特性，忽略了非線性因素對鉸鏈動力學(xué)特性的影響，因此依據(jù)其方法獲得的鉸鏈模型與實際結(jié)構(gòu)間會有一定的誤差。王巍等［4］將航天器上的間隙鉸鏈簡化為由非線性彈簧組約束的非線性擺，并基于接觸理論建立了此類鉸鏈的分析模型。Boswald等［5］提出了一種應(yīng)用頻率響應(yīng)殘差辨識非線性鉸鏈參數(shù)的方法。系統(tǒng)辨識是獲得復(fù)雜結(jié)構(gòu)動力學(xué)參數(shù)及模型的重要方法。目前，已有大量的基于時域或頻域的非線性動力學(xué)系統(tǒng)辨識方法［6－8］，其中，由Crawley［9－10］提出的力狀態(tài)映射法是一種重要的基于時域的非線性系統(tǒng)辨識方法，該方法將結(jié)構(gòu)的非線性回復(fù)力表示為位移和速度三維空間上的單值曲面，其形狀反映了結(jié)構(gòu)的各種線性和非線性特性。隨后，Kim等［11］提出了基于頻域的力狀態(tài)映射法。Masters等［12］將力狀態(tài)映射法應(yīng)用于多自由度框架結(jié)構(gòu)的參數(shù)辨識。Meskell［13］等將力狀態(tài)映射法應(yīng)用于流體彈性系統(tǒng)，辨識了系統(tǒng)的線性和非線性剛度和阻尼參數(shù)。Namdeo等［14］應(yīng)用再生核粒子法和克里金法對力狀態(tài)映射圖進行擬合，此方法適用于多自由度非光滑非線性系統(tǒng)。迄今為止，雖然已有學(xué)者對非線性鉸鏈結(jié)構(gòu)的動力學(xué)參數(shù)進行了辨識［5，15－16］，但僅研究并獲得了鉸鏈結(jié)構(gòu)的部分非線性參數(shù)，對實際的航天器非線性鉸鏈結(jié)構(gòu)進行較為全面的動力學(xué)參數(shù)辨識和建模的研究還未見報道。

本文應(yīng)用力狀態(tài)映射法對實際航天器太陽翼根部鉸鏈和板間鉸鏈結(jié)構(gòu)進行了非線性動力學(xué)參數(shù)辨識。針對根部鉸鏈和板間鉸鏈結(jié)構(gòu)的受力特點設(shè)計試驗測試方案，同時建立航天器復(fù)雜非線性鉸鏈結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)試驗測試系統(tǒng)，以獲得鉸鏈結(jié)構(gòu)在不同頻率及激振力下的力與振動響應(yīng)之間的關(guān)系。采用力狀態(tài)映射法對試驗中的2種鉸鏈結(jié)構(gòu)分別進行非線性動力學(xué)參數(shù)辨識，并根據(jù)辨識結(jié)果建立描述鉸鏈結(jié)構(gòu)非線性特性的動力學(xué)模型。

1 力狀態(tài)映射法

對于某個非線性彈簧質(zhì)量阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)的狀態(tài)可以完全由其位移x和速度描述，系統(tǒng)的動力學(xué)模型可以表示為二階非線性微分方程:

式中:廣義阻尼C和廣義剛度K是系統(tǒng)狀態(tài)的函數(shù)。變換方程(1)中的各項可得

方程左側(cè)的FT代表系統(tǒng)整體傳遞的力，它是系統(tǒng)瞬時狀態(tài)的函數(shù)，稱為傳遞力。

由方程(2)可做出描述系統(tǒng)傳遞力FT和對應(yīng)狀態(tài)(x)的三維曲面圖，稱為力狀態(tài)圖，它反映了系統(tǒng)的傳遞力FT、位移x和速度的關(guān)系，從圖中可以提取系統(tǒng)的動力學(xué)參數(shù)。為了得到系統(tǒng)的力狀態(tài)圖，需要系統(tǒng)每一時間段的位移、速度、加速度和外力的值。圖1為某一線性彈簧質(zhì)量阻尼系統(tǒng)的力狀態(tài)圖，如圖所示為一個傾斜的平面，其中傳遞力對位移的斜率即為系統(tǒng)的線性剛度k，對速度的斜率即為系統(tǒng)的線性阻尼c。

由以上原理可得應(yīng)用力狀態(tài)映射法辨識系統(tǒng)動力學(xué)參數(shù)的一般步驟為:1)選擇一定的動態(tài)力施加于被辨識系統(tǒng)，同時測量被辨識系統(tǒng)在該力作用下的位移和速度等狀態(tài)參量;2)對被辨識系統(tǒng)的動力學(xué)試驗數(shù)據(jù)進行處理，并生成力狀態(tài)圖;3)從力狀態(tài)圖中提取被辨識系統(tǒng)的剛度和阻尼等動力學(xué)參數(shù)。

圖1 線性彈簧質(zhì)量阻尼系統(tǒng)的力狀態(tài)圖Fig.1 Force-state map of a linear spring mass damper system

2 鉸鏈振動試驗

2.1 試驗對象的動力學(xué)特性分析

根部鉸鏈和板間鉸鏈?zhǔn)呛教炱魃?種常用的連接結(jié)構(gòu)，它們在航天器主體與太陽能帆板及板間起著重要的連接作用。航天器發(fā)射時，通過鉸鏈連接的太陽能帆板折疊在運載工具內(nèi)，入軌后展開成工作狀態(tài)，根部鉸鏈和板間鉸鏈鎖定。此時，由于太陽能帆板結(jié)構(gòu)尺寸大、剛度低、柔性高，當(dāng)受到外擾作用時便會產(chǎn)生強烈的振動，而鉸鏈結(jié)構(gòu)的非線性特點使其振動表現(xiàn)出較強的非線性特性。因此，分析此時鉸鏈的動力學(xué)特性，確定其動力學(xué)參數(shù)是對系統(tǒng)實施振動控制的前提。本文主要研究處于鎖定狀態(tài)下的根部鉸鏈和板間鉸鏈的動力學(xué)特性。由于大多數(shù)太陽能帆板為矩形結(jié)構(gòu)，其橫向彎曲剛度較小，當(dāng)受到外擾作用時，在一定條件下將表現(xiàn)為以橫向一階彎曲為主的彎曲振動，根部鉸鏈和板間鉸鏈主要承受彎矩，由此可將它們近似為單自由度的非線性結(jié)構(gòu)。

2.2 根部鉸鏈振動試驗

由力狀態(tài)映射法的原理可知，在辨識系統(tǒng)的動力學(xué)參數(shù)前，首先應(yīng)得到系統(tǒng)在外力作用下的響應(yīng)。本節(jié)針對根部鉸鏈和板間鉸鏈的結(jié)構(gòu)及在系統(tǒng)中的受力特點，分別設(shè)計并實施了振動試驗，以獲得系統(tǒng)辨識所需的試驗數(shù)據(jù)。

試驗對象采用真實的某型號航天器太陽翼根部鉸鏈，如圖2所示。振動試驗采用單頻激勵法。由于應(yīng)用此鉸鏈的太陽翼結(jié)構(gòu)固有頻率在3～6 Hz較為密集，因此分別采用3、4、5、6 Hz的單頻信號作為激勵信號對根部鉸鏈實施振動試驗。

試驗中需要得到的物理量有根部鉸鏈端部所受的動態(tài)力矩和其整體結(jié)構(gòu)的動態(tài)彎曲角。為了便于試驗中力的施加和狀態(tài)參數(shù)的測量，在鉸鏈的一端連接了一個附加梁，并將其另一端固定于試驗臺上，其整體系統(tǒng)的示意圖和實物圖如圖3所示。試驗采用電磁激振系統(tǒng)對鉸鏈?zhǔn)┘硬煌l率的激振力，它由功率放大器和激振器組成。激振器底端固定，通過一根直桿將其產(chǎn)生的激振力施加于附加梁端部的激振點。采用應(yīng)變片和動態(tài)應(yīng)變儀測量附加梁與鉸鏈連接處的動態(tài)應(yīng)變。采用激光非接觸振動測試系統(tǒng)測量鉸鏈端部的動態(tài)位移。圖4顯示了根部鉸鏈應(yīng)變和位移測點的布置情況。

圖2 根部鉸鏈結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Structure diagram of the joint at the root of solar arrays

圖3 根部鉸鏈試驗系統(tǒng)Fig.3 The experimental system of the joint at the root of solar arrays

試驗實施時，在一定的控制信號下，激振器產(chǎn)生相應(yīng)頻率的激振力，附加梁在激振力的作用下運動，并對下端連接的鉸鏈?zhǔn)┘右詣討B(tài)力矩。在一定的采樣時間和采樣頻率下，通過應(yīng)變片和動態(tài)應(yīng)變儀可測量得到附加梁下端應(yīng)變測點處的動態(tài)應(yīng)變值，由此動態(tài)應(yīng)變可計算出此處附加梁截面的動態(tài)彎矩，而此動態(tài)彎矩近似等于鉸鏈上端部所受的動態(tài)力矩。通過激光非接觸振動測試系統(tǒng)可測量得到鉸鏈上、下端位移測點處的位移值，進而可計算出鉸鏈在上述動態(tài)力矩作用下產(chǎn)生動態(tài)變形對應(yīng)的動態(tài)彎曲角。通過數(shù)據(jù)采集與處理系統(tǒng)采集和記錄以上動態(tài)應(yīng)變和位移的時間歷程曲線。

圖4 根部鉸鏈應(yīng)變和位移測點布置圖Fig.4 Strain and displacement measuring point arrangement of the joint at the root of solar arrays

2.3 板間鉸鏈振動試驗

試驗對象采用真實的某型號航天器太陽翼板間鉸鏈，如圖5所示。振動試驗同樣采用單頻激勵法。需要得到的物理量有板間鉸鏈端部所受的動態(tài)力矩和其整體結(jié)構(gòu)的動態(tài)彎曲角。測試系統(tǒng)同樣采用鉸鏈與附加梁的連接形式，其整體系統(tǒng)的示意圖和實物圖如圖6所示。試驗設(shè)備和試驗過程與根部鉸鏈振動試驗的相同。圖7顯示了板間鉸鏈應(yīng)變和位移測點的布置情況。

圖5 板間鉸鏈結(jié)構(gòu)圖Fig.5 Structure diagram of the joint between solar arrays

2.4 試驗結(jié)果

由以上根部鉸鏈和板間鉸鏈的振動試驗測得的數(shù)據(jù)可分別計算出它們在一定的激振力作用下的動態(tài)力矩和動態(tài)彎曲角。試驗中，動態(tài)應(yīng)變儀測量應(yīng)變數(shù)據(jù)時采用全橋連接方式，因此，附加梁下端部的應(yīng)變?yōu)?/p>

式中:ε1(t)、ε2(t)、ε3(t)、ε4(t)分別代表同一時刻測得的應(yīng)變測點1、2、3、4處的應(yīng)變值。

鉸鏈上端部所受力矩近似等于附加梁下端部截面的彎矩，其計算公式為

式中:EIz為附加梁的彎曲剛度，h為附加梁的截面高度，β為應(yīng)變片的位置修正系數(shù)。

鉸鏈的彎曲角可由下式計算:

式中:d1(t)、d2(t)和d3(t)分別為同一時刻測得的位移測點1、2和3處的位移值，L為鉸鏈的長度。

圖6 板間鉸鏈試驗系統(tǒng)Fig.6 The experimental system of the joint between solar arrays

圖7 板間鉸鏈應(yīng)變和位移測點布置圖Fig.7 Strain and displacement measuring point arrangement of the joint between solar arrays

由于根部鉸鏈和板間鉸鏈的試驗裝置和測點布置相似，因此上述計算公式適用于2種鉸鏈物理量的計算。圖8為激振頻率為3 Hz時，根部鉸鏈和板間鉸鏈的力矩－彎曲角的曲線。圖8所示的力矩－彎曲角的遲滯回線充分體現(xiàn)了2種鉸鏈結(jié)構(gòu)中剛度和阻尼的復(fù)雜非線性特點。

圖8 激振頻率為3 Hz時根部鉸鏈和板間鉸鏈力矩－彎曲角曲線Fig.8 Moment vs.bending angle of the joint at the root of solar arrays and the joint between solar arrays driven at 3 Hz

3 鉸鏈動力學(xué)參數(shù)辨識

3.1 基于力狀態(tài)映射法的參數(shù)辨識

鉸鏈的振動試驗分別得到了2種鉸鏈在4種激振頻率下的力矩和對應(yīng)的彎曲角，對彎曲角進行數(shù)值微分即可得到相應(yīng)的角速度和角加速度值，從而得到傳遞力矩MT和對應(yīng)的狀態(tài) θ，θ·( )。

圖9 激振頻率為3 Hz時根部鉸鏈和板間鉸鏈的力狀態(tài)圖Fig.9 Force-state map of the joint at the root of solar arrays and the joint between solar arrays driven at 3 Hz

由于由試驗數(shù)據(jù)得到的傳遞力矩在狀態(tài)空間中成螺旋狀旋轉(zhuǎn)，無法直接做出傳遞力矩MT與對應(yīng)的彎曲角θ，角速度θ·的三維曲面圖，因此，可將彎曲角和角速度值的區(qū)間分別分成n個子區(qū)間，對其進行排列組合得到n×n個子區(qū)域，然后對每個區(qū)域?qū)?yīng)的所有傳遞力矩取平均值M'T(i)，其中i=1，2，…，n，即可做出傳遞力矩M'T(i)與對應(yīng)狀態(tài)區(qū)域的三維力狀態(tài)曲面圖。圖9顯示激振頻率為3 Hz時根部鉸鏈和板間鉸鏈的力狀態(tài)圖。

由圖9可以看出，2種鉸鏈的力狀態(tài)圖形狀相近，并且都表現(xiàn)了高度的非線性特點。2種鉸鏈的傳遞力矩在角速度為零時發(fā)生階躍，此現(xiàn)象表明它們的結(jié)構(gòu)中存在著庫倫摩擦力矩。對于同一角速度，它們的傳遞力矩隨彎曲角呈非線性變化，這表明它們的結(jié)構(gòu)中存在著非線性彈性力，可用線性彈簧、二次和三次非線性彈簧共同描述。此外，圖9還顯示了它們的傳遞力矩與角速度呈線性關(guān)系，這表明2種鉸鏈結(jié)構(gòu)中還存在著線性粘性阻尼?；谝陨戏治隹傻?種鉸鏈的傳遞力矩表達式:

其中，方程左側(cè)為傳遞力矩;右側(cè)第1項為線性阻尼力矩，c1為線性阻尼系數(shù);第2、3和4項為非線性彈性力矩，k1為線性彈簧剛度系數(shù)，k2和k3為非線性彈簧剛度系數(shù);第5項為庫倫摩擦力矩，MF為庫倫摩擦因數(shù)。對式(6)進行變換可得到2種鉸鏈的動力學(xué)方程:

為了確定2種鉸鏈的各動力學(xué)參數(shù)值，應(yīng)用最小二乘法分別對圖9所示的根部鉸鏈和板間鉸鏈的力狀態(tài)圖進行曲面擬合。擬合時以彎曲角和角速度為自變量，采用二元三次多項式作為擬合函數(shù)，擬合后的均方根誤差分別為0.787 N·m和0.494 N·m，所得多項式的各項系數(shù)即分別為2種鉸鏈的動力學(xué)參數(shù)?；谝陨喜襟E，分別對2種鉸鏈在激振頻率為4、5、6 Hz時的試驗數(shù)據(jù)進行參數(shù)辨識，表1和表2列出了2種鉸鏈的參數(shù)辨識結(jié)果。

表1 根部鉸鏈的參數(shù)辨識結(jié)果Table 1 Identified parameters of the joint at the root of solar arrays

表2 板間鉸鏈的參數(shù)辨識結(jié)果Table 2 Identified parameters of the joint between solar arrays

3.2 結(jié)果與分析

通過對2種鉸鏈力狀態(tài)圖的分析得到根部鉸鏈和板間鉸鏈結(jié)構(gòu)中的線性和非線性動力學(xué)特性主要有線性彈簧剛度、線性粘性阻尼、庫倫摩擦、二次和三次彈簧剛度。這些動力學(xué)特性體現(xiàn)了2種鉸鏈結(jié)構(gòu)所具有的復(fù)雜動力學(xué)特點。其中，庫倫摩擦是鉸鏈的非線性阻尼，是由鉸鏈結(jié)構(gòu)中零件間的接觸和碰撞產(chǎn)生的。二次和三次彈簧剛度是鉸鏈的非線性剛度，是由鉸鏈中的彈簧結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的。這些非線性結(jié)構(gòu)特點是造成鉸鏈非線性行為的主要原因。

由表1和表2中2種鉸鏈的參數(shù)辨識結(jié)果可以看出，在所選頻率范圍內(nèi)，各參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差均較小，且各參數(shù)值隨頻率變化無明顯的規(guī)律，這表明辨識參數(shù)基本不受頻率變化的影響。因此，可取其平均值代入式(7)，即可獲得2種鉸鏈的動力學(xué)方程。

另外，2種鉸鏈的參數(shù)辨識結(jié)果還顯示了根部鉸鏈的各參數(shù)值都遠大于板間鉸鏈的各參數(shù)值。例如，板間鉸鏈的二次彈簧剛度系數(shù)的平均值為－1.927×105(N·m)/rad2，根部鉸鏈的相應(yīng)參數(shù)值為 －6.273×105(N·m)/rad2，是板間鉸鏈的326%;板間鉸鏈的三次彈簧剛度系數(shù)的平均值為－2.684×109(N·m)/rad3，根部鉸鏈的相應(yīng)參數(shù)值為 －7.425×109(N·m)/rad3，是板間鉸鏈的277%。這表明，在航天器系統(tǒng)設(shè)計時需要特別重視根部鉸鏈對整體系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響。

通過振動響應(yīng)試驗，采用力狀態(tài)映射法辨識了2種鉸鏈結(jié)構(gòu)中的多種線性及非線性動力學(xué)參數(shù)，并初步建立了它們的動力學(xué)模型。同以往文獻中對鉸鏈的研究相比，本文采用了真實的具有復(fù)雜非線性動力學(xué)特點的航天器鉸鏈結(jié)構(gòu)，分析并辨識了其結(jié)構(gòu)中的多種線性和非線性動力學(xué)特性，并基于此建立了描述其結(jié)構(gòu)非線性特點的動力學(xué)方程，為建立精確的航天器系統(tǒng)模型及進一步實施主動控制提供了重要的理論參考。本文基于根部鉸鏈和板間鉸鏈結(jié)構(gòu)在航天器系統(tǒng)中的受力特點，將它們近似為單自由度的非線性結(jié)構(gòu)，而對于航天器的其他連接結(jié)構(gòu)，可根據(jù)其受力特點，將其模型推廣至多自由度，應(yīng)用基于多自由度的力狀態(tài)映射法對其進行參數(shù)辨識。

4 結(jié)束語

本文針對航天器伸展機構(gòu)中鉸鏈的非線性動力學(xué)特點，利用由試驗獲得的真實鉸鏈的動力學(xué)試驗數(shù)據(jù)，采用力狀態(tài)映射法辨識了太陽翼根部鉸鏈和板間鉸鏈結(jié)構(gòu)中的多種線性及非線性動力學(xué)參數(shù)，并在此基礎(chǔ)上建立了鉸鏈的非線性動力學(xué)模型。由于動力學(xué)試驗采用了真實的航天器復(fù)雜非線性鉸鏈結(jié)構(gòu)，且運用了非線性系統(tǒng)辨識方法對試驗數(shù)據(jù)進行多種動力學(xué)參數(shù)的辨識，因此所建模型能夠反映真實鉸鏈的非線性剛度、摩擦及阻尼特性。本文應(yīng)用力狀態(tài)映射法辨識非線性鉸鏈動力學(xué)參數(shù)的方法適用于航天器中其他連接結(jié)構(gòu)的參數(shù)辨識，其辨識結(jié)果也為進一步分析航天器伸展機構(gòu)的動力學(xué)特性提供了理論參考。

［1］CRAWLEY E F.Nonlinear characteristics of joints as elements of multi－body dynamic systems.N89－24668［R］.Workshop on Computational Methods for Structural Mechanics and Dynamics.Hampton:NASA Langley Research Center，1985.

［2］REN Y，BEARDS C F.Identification of‘effective’linear joints using coupling and joint identification techniques［J］.Journal of Vibration and Acoustics，1998，120(2):331－338.

［3］WANG Mian，WANG Dong，ZHENG Gangtie.Joint dynamic properties identification with partially measured frequency response function［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2012，27:499－512.

［4］王巍，孫京，于登云，等.基于接觸理論的一類帶鎖定機構(gòu)的間隙鉸鏈分析模型研究［J］.宇航學(xué)報，2004，25 (1):1－4，12.

WANG Wei，SUN Jing，YU Dengyun，et al.Analytical model for complex joint with latch mechanism of space structure［J］.Journal of Astronautics，2004，25(1):1－4，12.

［5］B?SWALD M，LINK M.Identification of non－linear joint parameters by using frequency response residuals［C］//International Conference on Noise Vibration Engineering.Kassel，2004:3121－3140.

［6］KERSCHEN G，WORDEN K，VAKAKIS A F，et al.Past，present and future of nonlinear system identification in structural dynamics［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2006，20(3):505－592.

［7］SUBUDHI B，JENA D.A differential evolution based neural network approach to nonlinear system identification［J］.Applied Soft Computing，2011，11(1):861－871.

［8］LEE Y S，TSAKIRTZIS S，VAKAKIS A F，et al.A timedomain nonlinear system identification method based on multiscale dynamic partitions［J］.Meccanica，2011，46(4): 625－649.

［9］CRAWLEY E F，AUBERT A C.Identification of nonlinear structural elements by force－state mapping［J］.AIAA Journal，1986，24(1):155－162.

［10］CRAWLEY E F，O＇DONNELL K J.Force－state mapping identificationof nonlinear joints［J］.AIAA Journal，1987，25(7):1003－1010.

［11］KIM W J，PARK Y S.Non－linear joint parameter identification by applying the force－state mapping technique in the frequency domain［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，1994，8(5):519－529.

［12］MASTERS B P，CRAWLEY E F.Multiple degree－of－freedom force－state component identification［J］.AIAA Journal，1994，32(11):2276－2285.

［13］MESKELL C，F(xiàn)ITZPATRICK J A，RICE H J.Application of force－state mapping to a non－linear fluid－elastic system［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2001，15 (1):75－85.

［14］NAMDEO V，MANOHAR C S.Force state maps using reproducing kernel particle method and Kriging based functional representations［J］.Computer Modeling in Engineering and Sciences，2009，1050(1):1－37.

［15］IRANZAD M，AHMADIAN H.Identification of nonlinear bolted lap joint models［J］.Computers＆ Structures，2012，96/97:1－8.

［16］MEHRPOUYA M，GRAHAM E，PARK S S.FRF based joint dynamics modeling and identification［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2013，39(1/2):265－279.