李旭輝

(上海交通大學 安泰經(jīng)濟管理學院，上海 200030)

0 引言

隨著微分方程被廣泛地應用于生態(tài)、經(jīng)濟等領(lǐng)域，國內(nèi)外學者已經(jīng)建立了許多能夠反映動力系統(tǒng)特性的微分方程模型[1-7]。通過研究相應模型的性質(zhì)，確定所研究系統(tǒng)的演變規(guī)律。在文獻[1-3]中，田立新等人利用微分方程模型研究了能源經(jīng)濟系統(tǒng)的動力學性質(zhì)，并給出能源經(jīng)濟系統(tǒng)的相關(guān)結(jié)論。在田立新等人工作的基礎(chǔ)上，呂堂紅[5]考慮到能源“壟斷效應”對能源價格震蕩造成的影響，進一步研究了具有了兩個時滯的能源價格模型的穩(wěn)定性和Hopf分支問題。在文獻[6]中，于晉臣等人研究了如下商業(yè)周期模型：

于和彭等[4]利用時滯τ作為分支參數(shù)討論了平衡點的穩(wěn)定性和Hopf分支存在的充分性條件。進而利用多時標法計算出了模型(1.2)中心流形上的標準形。

近年來，已經(jīng)有不少國內(nèi)外研究學者對具有多個時滯的動力系統(tǒng)的穩(wěn)定性和Hopf分支問題進行了研究[5,8-10]。在文獻[8]中，Bianca等人考慮了一類具有兩個時滯的經(jīng)濟增長模型，研究了兩個時滯對模型的影響。受以上工作啟發(fā)，本文在系統(tǒng)式(2)的基礎(chǔ)上考慮如下兩時滯商業(yè)周期模型：

1 模型穩(wěn)定性和Hopf分支存在性

顯然，E*(0，0)是系統(tǒng)式(3)的平衡點。將系統(tǒng)式(3)在平衡點E*(0，0)處線性化，得到，

根據(jù)系統(tǒng)式(3)的各參數(shù)的經(jīng)濟學含義可知，μ＞0，a＞0.因此，根據(jù)赫爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)，平衡點E*(0，0)是局部漸近穩(wěn)定的。

根據(jù)以上分析，以及文獻[11]中的Hopf分支存在性定理，我們有下列結(jié)果。

定理 2.1.對于系統(tǒng) 式(3),當 τ1∈[0，τ10)時，平衡點E*(0，0)漸近穩(wěn)定；當 τ1=τ10時，系統(tǒng) (3)在平衡點 E*(0，0)處產(chǎn)生Hopf分支。

情形 3. τ1=0，τ2＞0.Eq.(5)變?yōu)?/p>

對比Eq.(7)和Eq.(9),可以得到關(guān)于 τ1=0，τ2＞0 時的下列結(jié)果

根據(jù)以上分析，以及文獻[11]中的Hopf分支存在性定理，我們有下列結(jié)果。

定理 2.3 對于系統(tǒng)式(3),當 τ∈[0，τ0)時，平衡點E*(0，0)漸近穩(wěn)定；當 τ=τ0時，系統(tǒng)式(3)在平衡點E*(0，0)處產(chǎn)生Hopf分支。

根據(jù)以上分析，以及文獻[11]中的Hopf分支存在性定理，我們有下列結(jié)果。

2 Hopf分支方向和分支周期解的穩(wěn)定性

經(jīng)過以上分析，可以得到下列結(jié)果

定理 3.1 對于系統(tǒng)(3)，如果 μ2＞0(μ2＜0),則Hopf分支是超臨界(次臨界)的；如果 β2＜0(β2＞0),則分支周期解是穩(wěn)定(不穩(wěn)定)的；如果T2＞0(T2＜0),則周期解的周期是增大(減小)的。

3 數(shù)值模擬

下面對系統(tǒng)(3)進行數(shù)值模擬，來驗證以上理論分析結(jié)果的正確性。考慮如下實例系統(tǒng)

首 先 ，當 τ1＞0，τ2=0 時 。 經(jīng) 過 計 算 可 以 得 到ω10=0.5928，τ10=1.3350.因而，當 τ1∈[0，τ10)時，平衡點E*(0，0)是漸近穩(wěn)定的。當 τ1＞τ10時，平衡點 E*(0，0)失穩(wěn)，并在τ1=τ10處產(chǎn)生Hopf分支。數(shù)值模擬效果如圖1～2所 示 。 類 似 地 ， τ1=0，τ2＞0 時 ，可 以 得 到ω20=0.5928，τ20=1.3350相應的波形圖和相圖如圖3～4所示。

其次，當τ1=τ2=τ＞0時。經(jīng)過以上相似的計算得到ω0=1.3350，τ0=0.6675.當 τ=0.525∈[0，τ0) 時 ，平 衡 點E*(0，0)漸近穩(wěn)定。當 τ=0.75＞τ0時，平衡點 E*(0，0)失穩(wěn)，并產(chǎn)生Hopf分支。數(shù)值模擬效果如圖5～6所示。

圖1 ：當 τ1=1.05∈[0，τ10)時 E*漸近穩(wěn)定

圖2 當 τ1=1.45＞τ10時，平衡點E*失穩(wěn)并產(chǎn)生Hopf分支

圖3 當 τ2=1.05∈[0，τ20)時 E*漸近穩(wěn)定

圖4 當τ2=1.45＞τ20時，平衡點E*失穩(wěn)并產(chǎn)生Hopf分支

圖5 當 τ=0.525∈[0，τ0)時 E*漸近穩(wěn)定

圖6 當τ=0.75＞τ0時，平衡點E*失穩(wěn)并產(chǎn)生Hopf分支

圖7 當

圖8 當

4 結(jié)論

本文研究了一類兩時滯商業(yè)周期模型。以兩時滯的各種組合為分支參數(shù)，通過分析相應特征方程根的分布，研究了模型漸近穩(wěn)定和局部Hopf分支的存在性。進而，利用中心流型定理和規(guī)范形理論確定了分支方向和分支周期解穩(wěn)定性的計算公式。雖然利用中心流型和規(guī)范形理論研究Hopf分支的性質(zhì)計算量大、過程繁瑣，但是，最后所得到的決定Hopf分支性質(zhì)的參數(shù)，均可以直接由模型的參數(shù)確定。便于根據(jù)模型參數(shù)的變化，研究Hopf分支性質(zhì)的變化。

[1]鄧祥周，田立新，段希波.能源價格的動態(tài)模型及分析[J].統(tǒng)計與決策，2007，(2).

[2]田立新，錢和平.時滯影響下區(qū)域能源供需模型及動力學分析[J].江蘇大學學報(自然科學版),2008,29(5).

[3]田立新，錢和平.能源價格的時滯微分方程模型及動力學分析[J].江蘇大學學報(自然科學版)，2010，31(2).

[4]呂堂紅，劉振文.具時滯物價瑞利方程的Hopf分支[J].吉林大學學報(理學版)，2009,47(3).

[5]呂堂紅.一類雙時滯能源價格模型的穩(wěn)定性及Hopf分支分析[J].黑龍大學自然科學學報，2012,29(4).

[6]于晉臣，彭名書，張彩艷.一類具有時滯的商業(yè)周期模型的Hopf分支[J].北京交通大學學報,2013,37(3).

[7]C.Bianca,M.Ferrara,and L.Guerrini,The Cai Model with time Delay:Existence of Periodic Solutions and Asymptotic Analysis[J].Applied Mathematics&Information Sciences,2013,7(1).

[8]C.Bianca,M.Ferrara,L.Guerrini.The time Delays'Effects on the Qualitative Behavior of an Economic Growth model[J].Abstract and Applied Analysis,vol.2013,Article ID 901014,10 pages,2013.

[9]C.Y.Wang,S.Wang,F.P.Yang and L.R.Li,Global Asymptotic Stability of Positive Equilibrium of Three-species Lotka-Volterra Mutualism Models with Diffusion and Delay Effects,Applied Mathematical Modelling,2013,34(2010).

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[11]B.D.Hassard,N.D.Kazarinoff,Y.H.Wan.Theory and Applications of Hopf Bifurcation[M].Cambridge University Press,Cambridge,1981.