趙文星，程國勝，來 鵬

（南京信息工程大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，南京 210044）

0 引言

在現(xiàn)今統(tǒng)計分析中，往往希望建立的模型既準(zhǔn)確又易于解釋。事實上，研究的大多數(shù)模型既含有參數(shù)分量又包含非參數(shù)分量，尤其在計量經(jīng)濟(jì)學(xué)和生物醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域，變系數(shù)部分線性模型被廣泛應(yīng)用。它的優(yōu)勢在于既結(jié)合了線性模型的易于解釋，又可以描述協(xié)變量的交互影響，此外，該模型允許更靈活的函數(shù)形式，同時還能降低數(shù)據(jù)的維數(shù)。為此，有必要對其進(jìn)行研究。變系數(shù)部分線性回歸模型可以定義如下，

其中，Y是響應(yīng)變量，X和Z分別為 p維和q維向量，t是一維變量，g(·)是一個未知的可測函數(shù)，隨機(jī)統(tǒng)計誤差 ε滿足 E(ε|X，Z，t)=0 和 var(ε|X，Z，t)=σ2(X，Z，t)。在模型(1)中，參數(shù)部分βTZ提供了協(xié)變量的線性組合，回歸系數(shù)gj(t)依賴于t，j=1，…，p，具有靈活的模型形式且避免了“維數(shù)禍根”。模型(1)包含了常用的線性模型、變系數(shù)模型和部分線性模型等半?yún)?shù)和參數(shù)模型，使得其具有廣泛的應(yīng)用領(lǐng)域。自從該模型被提出以來，變系數(shù)部分線性模型被廣泛研究并應(yīng)用在各種領(lǐng)域。

模型參數(shù)的優(yōu)良估計應(yīng)該滿足無偏性與相合性外，還應(yīng)考慮所得估計是否能有效地幫助實際工作者得到更準(zhǔn)確的估計。半?yún)?shù)模型估計的有效性是評價估計優(yōu)劣的一個重要性質(zhì)，例如Tsiatis(2006)等[1]從模型參數(shù)的有效得分函數(shù)出發(fā)研究了參數(shù)模型估計的有效性。在Liang等[2]提出估計的基礎(chǔ)上，H?rdle[3]提出了一種加權(quán)擴(kuò)展估計，利用方差的倒數(shù)作為逆概率的權(quán)重，提高了部分線性模型參數(shù)的估計效率。但是，Ma等[4]中指出他們所提出的估計仍然不是最有效的估計，為此，Ma等通過計算部分線性模型的有效得分函數(shù)，利用它構(gòu)造有效估計方程，從而求出帶有異方差的部分線性模型的半?yún)?shù)有效估計。從這些文章中，可以發(fā)現(xiàn)有效得分函數(shù)對于得到有效估計有著非常重要的作用。為此，本文通過推導(dǎo)帶有異方差的變系數(shù)部分線性模型的有效得分函數(shù)來構(gòu)造有效估計方程，給出帶異方差的變系數(shù)部分線性模型的半?yún)?shù)有效界，證明所得估計為有效估計，并證明其大樣本性質(zhì)。

1 估計方程和有效估計

從模型(1)中可以看出，參數(shù)β是感興趣的參數(shù)，而系數(shù)函數(shù) gj(·)，(j=1，…，p)，未知的異方差函數(shù) σ2(X，Z，t)，(ε|X，Z，t)的條件分布和 (X，Z，t)的邊際聯(lián)合分布均為冗余參數(shù)。由Tsiatis等(2006)[4]可知，若可以得到有效得分函數(shù)，則可以利用其構(gòu)造有效估計方程，計算得出有效估計。為此，需要先求解有效得分函數(shù)，通過計算和推導(dǎo)證明，可以得到如下定理，（定理證明略）。

定理1設(shè)在給定(X，Z，t)下，ε的條件概率密度函數(shù)為 pε(ε|X，Z，t)，并且 pε(ε|X，Z，t)關(guān)于 ε可導(dǎo)，幾乎處處有0＜E(ε2|X，Z，t)＜∞ 。那么模型(1)的半?yún)?shù)有效得分函數(shù)是

其中，w=w(X，Z，t)={E(ε2|X，Z，t)}-1，ε=Y-gT(t)X-βTZ 。

從中可以知道，正則的漸近線性估計與它所對應(yīng)的影響函數(shù)是一一對應(yīng)的，也就是說利用有效影響函數(shù)可以找到有效估計。而在上述定理中已經(jīng)得出了變系數(shù)部分線性模型的有效得分函數(shù)，根據(jù)有效影響函數(shù)與有效得分函數(shù)之間成正比例的關(guān)系，自然的可以利用有效得分函數(shù)來構(gòu)造估計方程。根據(jù)(2)式可以建立如下估計方程：

由有效得分函數(shù)與有效估計的一一對應(yīng)性，通過對(3)式估計方程的求解可以得到β的半?yún)?shù)有效估計。但是，從方程(3)中可以發(fā)現(xiàn)，其中包含了未知的函數(shù) g(·)，w(·)，E[w(X，Z，t)ZXT|t]和 E(w(X，Z，t)XXT|t)，這些未知函數(shù)會影響方程的求解。因此，首先需要對這些未知函數(shù)進(jìn)行相應(yīng)的估計，以便將方程中的未知量用其估計值進(jìn)行插值替換，從而便于對感興趣的參數(shù)進(jìn)行求解。注意到可以將模型(1)寫成

根據(jù)所得估計的漸近方差V，可以發(fā)現(xiàn)β^的漸近方差陣等于半?yún)?shù)有效得分函數(shù)Seff(·)的協(xié)方差矩陣的逆，由此依據(jù)Tsiatis[6]中的定理4.1可知，所得估計的漸近方差達(dá)到半?yún)?shù)有效界，所以通過求解估計方程(9)得到的估計為帶異方差的變系數(shù)部分線性模型的半?yún)?shù)有效估計。

2 模擬仿真

為了研究所提出估計的有限樣本性質(zhì)，判斷其是否為有效估計，本文用數(shù)值模擬來說明所提出估計的優(yōu)劣，并與其他幾種估計方法所得的估計進(jìn)行比較。

考慮對以下幾種估計方程所得β的估計進(jìn)行比較：

為了比較不同估計方程所得估計的優(yōu)劣，本文通過所得估計的偏差(Bias)、標(biāo)準(zhǔn)差(SE)和均方誤差(MSE)來進(jìn)行比較。例1和例2所得模擬結(jié)果見表1和表2所示。

表1 例1所得模擬結(jié)果

從表1和表2可以看出，當(dāng)采用估計方程的方式求解估計時，隨著樣本量的增加，總的來說各個加權(quán)估計方程解出的估計值β^的偏差、標(biāo)準(zhǔn)差和均方誤差均是越來越小，并且由表1和表2中估計的標(biāo)準(zhǔn)差和均方誤差可以發(fā)現(xiàn)，本文所提出的估計方法(b)比其它估計方法更優(yōu)越，所得的標(biāo)準(zhǔn)差(SE)和均方誤差(MSE)都是最小的。因此，本文提出的利用有效得分函數(shù)構(gòu)造加權(quán)有效估計方程的方法能夠提高估計的效率，并且具有較小的偏差，可以得到最有效的的估計。

表2 例2所得模擬結(jié)果

3 結(jié)論

本文推導(dǎo)得到帶有異方差的變系數(shù)部分線性模型的半?yún)?shù)有效界，通過導(dǎo)出的感興趣參數(shù)的有效得分函數(shù)，構(gòu)造有效估計方程，并由此來進(jìn)行參數(shù)估計。通過大樣本下的理論性質(zhì)的證明，以及通過小樣本下的數(shù)值模擬，可以得到所提出的估計求解方法能夠得到一致較優(yōu)的有效估計。同時，注意到在對感興趣的參數(shù)進(jìn)行估計之前，先是要對模型中其它未知函數(shù)進(jìn)行估計，在仿真模擬中可以發(fā)現(xiàn)，這些未知參數(shù)估計所采用的不同非參數(shù)估計方法不會影響到感興趣參數(shù)的估計效率。從數(shù)值模擬中還可以看出，本文所提出的估計方程得到的估計的偏差、標(biāo)準(zhǔn)差和均方誤差隨著樣本量的增加，逐漸減小且小于其它方法所得估計值。由此可知，本文所提出的方法是有效的且有較強(qiáng)的穩(wěn)健性。

[1]Wahed A S,Tsiatis A A.Semiparametric Efficient Estimation of Survival Distributions in Two-Stage Randomisation Designs in Clinical Trials With Censored Data[J].Biometrika,2006,93(1).

[2]Liang H,H?rdle W,Carroll R J.Estimation in A Semiparametric Partially Linear Errors-In-Variables Model[J].The Annals of Statistics,1999,27(5).

[3]H?rdle W,Liang H.Partially Linear Models[M].Springer Berlin Heidelberg,2007.

[4]Ma Y,Chiou J M,Wang N.Efficient Semiparametric Estimator For Heteroscedastic Partially Linear Models[J].Biometrika,2006,93(1).

[5]Fan J.Local Polinomial Modelling and Its Applications[M].CRC Press,1996.

[6]Tsiatis A A.Semiparametric Theory and Missing Data[M].Springer,2006.