王 晶

（1.天津財經(jīng)大學(xué) 商學(xué)院，天津 300222；2.蚌埠學(xué)院 數(shù)學(xué)與物理系，安徽 蚌埠 233030）

0 引言

氣候變暖主要是由溫室氣體增加所造成的，導(dǎo)致一些區(qū)域的降雨量出現(xiàn)較大浮動，尤其是中高緯度地區(qū)的高溫和干旱可能更為突出，因此未來氣候變化對水資源的可能影響是非常值得關(guān)注的。中國是一個人口大國，盡管水資源稱得上豐富，但是人均水資源極其匱乏，不到世界人均水資源的四分之一。因此，我國水資源是嚴(yán)重短缺的。我國現(xiàn)在面臨著兩大問題：一是水短缺，二是水污染日益嚴(yán)重。水源安全問題正在成為中華民族的“心腹之患”。面對未來的水污染治理市場，水污染治理的技術(shù)研發(fā)創(chuàng)新再一次成為人們關(guān)注的焦點。未來幾年內(nèi)，將有更多的資金投向全國的水環(huán)境保護(hù)和水污染治理。行業(yè)企業(yè)都想把握好水環(huán)境治理技術(shù)的市場需求和發(fā)展趨勢，提升企業(yè)自身的技術(shù)創(chuàng)新能力和科技水平，抓住市場大好的機(jī)遇，贏得市場競爭，促進(jìn)企業(yè)實現(xiàn)超常規(guī)發(fā)展，這將是水行業(yè)各界普遍關(guān)心重要事情。在這種前提下，水資源治理研發(fā)問題顯得非常迫切。本文結(jié)合成本不確定性，考慮水資源治理的價值，提出利用實物期權(quán)理論對R&D項目的價值進(jìn)行評估具有重大的理論和現(xiàn)實意義。

1 實物期權(quán)理論與決策模型

1.1 實物期權(quán)

實物期權(quán)是一種類似金融期權(quán)的工具。期權(quán)的概念源于Black-Scholes（1973）發(fā)展的連續(xù)時間的期權(quán)定價理論，之后Myers（1977）[1]將期權(quán)的概念應(yīng)用于企業(yè)投資預(yù)算的決策上，實物期權(quán)的概念也就由此誕生，他還認(rèn)為，研發(fā)的價值就是期權(quán)的價值（Myers，1984[2]）。事實上，實物期權(quán)是將期權(quán)的概念應(yīng)用實質(zhì)資產(chǎn)如各類投資計劃，協(xié)助企業(yè)有效掌握傳統(tǒng)的評估準(zhǔn)則所無法評估的投資決策靈活性價值。期權(quán)的概念與理論除了運(yùn)用到衍生金融品定價外，也被廣泛的延伸到了企業(yè)長期投資決策上，也就是所謂的“實物期權(quán)”。將實物期權(quán)引入到水資源治理研發(fā)項目中來，對研發(fā)項目的定價提供了新的研究思路。最早于1990年Copeland和Weiner[3]將實物期權(quán)的理論和方法運(yùn)用到了研發(fā)投資領(lǐng)域中。Dixit和Pindyck（1994）[4]進(jìn)一步推動實物期權(quán)的發(fā)展和廣泛的應(yīng)用，取得了豐富、詳盡的理論成果。Trigeogis（1996）[5]完整地給出了實物期權(quán)的分類。

我們將應(yīng)用實物期權(quán)方法研究R&D投資項目決策，并對其建立模型和數(shù)值求解分析。企業(yè)要想長期持續(xù)發(fā)展，研究與開發(fā)是發(fā)展戰(zhàn)略中最重要的組成部分，因此，如何合理評價R&D項目投資顯得至關(guān)重要。在當(dāng)今科技迅猛發(fā)展和人類水資源極度缺乏的背景下，水資源的研發(fā)（R&D）項目具有周期長、穩(wěn)定性差和帶有較高不確定性的特征。傳統(tǒng)的評價方法（如cost-benefit analysis，CBA）已經(jīng)不能解決投資決策的彈性和靈活性問題。

1.2 模型建立

為了便于說明在研發(fā)投資中不確定性和不可逆性是如何影響節(jié)水政策實施時機(jī)的選擇，我們引入了Pindyck構(gòu)建的環(huán)境政策的不可逆性和實施時機(jī)模型[4]，并根據(jù)水現(xiàn)貨價格實際情況進(jìn)行了相應(yīng)地修正。

通常用隨機(jī)分析方法模擬價格不確定性，幾何布朗運(yùn)動（GBM）和均值回歸過程（MR）是主要兩個價格動態(tài)連續(xù)時間模型，描述金融市場隨機(jī)變量變化的不確定性。在這里，通過凈化技術(shù)后所得的水現(xiàn)貨價格服從下面布朗運(yùn)動：

式中，μ——漂移項，瞬時預(yù)期報酬率；σS——波動項，報酬的瞬時標(biāo)準(zhǔn)差；dWS——標(biāo)準(zhǔn)的Wiener過程的增量。

在建構(gòu)模型前，先給出模型的基本假設(shè)前提：

假設(shè)1：市場是完備的，不存在交易成本、交易制度限制等，信息完全公開。

假設(shè)2：無風(fēng)險利率是常數(shù)r。

假設(shè)3：連續(xù)時間模型，時間跨度趨于0。

假設(shè)4：交易中沒有套利行為。

假設(shè)5：水的現(xiàn)貨價格遵循幾何布朗運(yùn)動。

假設(shè)6：投資者是風(fēng)險中性的。

投資成本是隨機(jī)的，具有不確定性，即其過程可以描述為下面隨機(jī)微分方程：

這里，λ表示R&D費(fèi)用支出的有效性，I代表投資率，σC指成本變化波動性，dWC表示標(biāo)準(zhǔn)的Wiener過程的增量。

投資機(jī)會往往看做類似于普通股票的金融看漲期權(quán)，也就是說，我們進(jìn)行投資支出，獲得一個接收項目的權(quán)利，也就是水資源治理的價值。通過投資組合的復(fù)制，得到下列方程：

當(dāng)考慮項目有規(guī)定的到期日，也就意味著時間是有限期限情形，倘若R&D項目投資是在規(guī)定的期限內(nèi)的任意時刻都可以執(zhí)行，那么我們根據(jù)Dixit和Pindyck(1994)[4]，F(xiàn)(S，C，t)就是類似于美式期權(quán)的價值，則在∑上F適合下面的定解問題：

在兩個區(qū)域∑1和∑2之間的交界部分I是由二維曲面構(gòu)成的最佳實施邊界，整個區(qū)域Σ=Σ1∪I∪Σ2上，F(xiàn)是多維變量的函數(shù)，與單個資產(chǎn)美式期權(quán)的數(shù)學(xué)模型一樣。類似于金融期權(quán)，該期權(quán)是多色調(diào)的組合，其定價取決于多種原生資產(chǎn)價格的變化，按照到期日實施的收益函數(shù)可以認(rèn)為是價差期權(quán)，也就是說，根據(jù)兩種不同的原生資產(chǎn)價格或者增長率的差異決定實施的合約。

從數(shù)學(xué)上講，該期權(quán)的定價問題的數(shù)學(xué)模型就是求解方程（6），即在區(qū)域 ∑ ：{(S，C，t)|0≤S＜∞，|0≤C ＜∞，|0≤t≤T}上求解。對定價問題（2），通過計價單位轉(zhuǎn)化引進(jìn)新的價格體系，或者說引入新的組合自變量和新的未知函數(shù)，將原來的二維的拋物方程可以轉(zhuǎn)化為新的未知函數(shù)，且為一維拋物型方程，于是，我們作變量代換，令

2 數(shù)值計算

2.1 數(shù)值方法

為了量化投資決策分析，將（6）式采用擬合有限體積法進(jìn)行數(shù)值求解。假設(shè)求解域為Ω=[0,Smax]×[0,Cmax]，首先將求解區(qū)域Ω×[0,T]進(jìn)行網(wǎng)格剖分：

2.2 算例分析

圖1 t=0時刻期權(quán)價值

假設(shè)水行業(yè)企業(yè)投資一項水源處理技術(shù)的研發(fā)項目。我們針對已建立的模型，進(jìn)行算例分析。假定企業(yè)是風(fēng)險中性的，預(yù)計無風(fēng)險利率、波動率等所涉及的參數(shù)分別設(shè)定如下：r=0.04， σS= 0.5，σC=0.4，ρ =0.4，S∈[0,10]， C∈[0,10]，δ =0.005，λ=0.13， I=0.40。 根據(jù)這些參數(shù)，得到t=0時刻期權(quán)的價值圖形，以及最優(yōu)執(zhí)行邊界。

圖2 初始時刻最優(yōu)執(zhí)行邊界

表1 在不同時刻點R&D投資項目的價值

從圖1，圖2及表1可以看出，隨著現(xiàn)貨價格的變化和成本變動，當(dāng)水污染越嚴(yán)重，需要治理的成本就會越來越高，污水治理研發(fā)的價值愈來愈高。但是，水污染繼續(xù)惡化，得不到有效的技術(shù)治理，投資成本也將會持續(xù)升高，勢必帶來決策的緊迫性，給投資者思量的空間就會縮小，甚至可能放棄項目的研發(fā)，給人類的生活帶來巨大的影響。當(dāng)達(dá)到一定程度時，再來考慮R&D投資問題就尤為晚矣。從長遠(yuǎn)利益來看，未雨綢繆，先發(fā)“治水”，才是當(dāng)今利國利民之道。

3 結(jié)語

本文研究了基于實物期權(quán)的水資源研發(fā)投資決策問題。將水資源作為實物資產(chǎn)，有效利用和改造現(xiàn)有的水源，在投資者與自然之間構(gòu)建了一個決策模型，投資者選擇一個投資組合策略最大化其收益。在完備市場條件下，通過數(shù)值方法求解相應(yīng)的PDE方程，獲得了投資者的最優(yōu)策略區(qū)域。結(jié)果表明：投資者處于一個風(fēng)險中性世界，可以利用風(fēng)險資產(chǎn)對沖隨機(jī)成本的不確定性進(jìn)行的R&D投資。

[1]Stewart C.Myers.Determinants of Corporate Borrowing[J],Financial Economics,1977,5(2).

[2]Myers S C,Financial Theory and Financial Strategy[M].Interfaces,1984.

[3]Copeland T,Weiner J.Proactive Management of Uncertainty[J].The McKinsey Quarterly,1990,(4).

[4]Dixit A,Pindyck R.Investment Under University[M].Princeton University,1994.

[5]Trigeorgis L.Real Option：Managerial Flexility and Strategy Inresource Allocation.Cambridge[M],MIT Press.1996.

[6]姜禮尚.期權(quán)定價的數(shù)學(xué)模型和方法[M].北京:高等教育出版社,2003.