董 微

（北京大學(xué) 匯豐商學(xué)院，深圳 518055）

0 引言

可轉(zhuǎn)換公司債券(Convertible Bond，縮寫CB)，簡稱可轉(zhuǎn)債，是指發(fā)行人，一般為大型公司，依照法律以及法定程序發(fā)行的，在一定的期限內(nèi)依事先所約定的條件可以轉(zhuǎn)換為股票的公司債券?？赊D(zhuǎn)換債券是債券和轉(zhuǎn)股權(quán)相結(jié)合的一種金融衍生產(chǎn)品，融合了債券性、股票性和期權(quán)性三者的特點(diǎn)。

作為一種特殊的金融產(chǎn)品，可轉(zhuǎn)債在較好地滿足投資者和企業(yè)的投融資需求時(shí)，卻因?yàn)樽陨淼哪承┚窒扌远绊懫浒l(fā)展，其中最大的問題便是定價(jià)難。首先，可轉(zhuǎn)債中往往包含比較復(fù)雜的條款，比如轉(zhuǎn)股權(quán)、回售權(quán)、轉(zhuǎn)股價(jià)格向下修正權(quán)、贖回權(quán)等，這些條款都具有明顯的期權(quán)性質(zhì)，而且屬于定價(jià)比較復(fù)雜的美式期權(quán)。其次，這些期權(quán)都不是獨(dú)立的，當(dāng)其中的一項(xiàng)執(zhí)行時(shí)，部分其他項(xiàng)期權(quán)也隨之消失，這種捆綁式的美式復(fù)合期權(quán)，給可轉(zhuǎn)債的定價(jià)帶來了極大的困難。再次，可轉(zhuǎn)債同時(shí)含有股性和債性，其價(jià)格既受股票市場(chǎng)的影響，也受債券市場(chǎng)的影響，影響因素多、影響機(jī)制復(fù)雜。此外，可轉(zhuǎn)債的持有者和發(fā)行人在行使各自期權(quán)時(shí)還存在著復(fù)雜的博弈過程，而且在我國這些期權(quán)的行使都設(shè)有一定的條件，無疑加大了可轉(zhuǎn)債的定價(jià)難度。這些困難的存在在一定程度上限制了可轉(zhuǎn)債的發(fā)行與投資，對(duì)可轉(zhuǎn)債進(jìn)行定價(jià)研究，可為可轉(zhuǎn)債發(fā)行條款的設(shè)計(jì)提供參考，同時(shí)為投資者規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)、實(shí)現(xiàn)投資收益最大化提供依據(jù)。

1 標(biāo)的債券的選擇及其條款設(shè)計(jì)

本文以中行轉(zhuǎn)債為例，對(duì)Tsiveisotis和Fernandes(1998)模型(簡稱TF98模型)與LSM兩個(gè)定價(jià)模型的有效性進(jìn)行檢驗(yàn)，同時(shí)對(duì)兩者的優(yōu)劣進(jìn)行比較，所需數(shù)據(jù)來源于Wind數(shù)據(jù)庫。同時(shí)采用對(duì)偶變量技術(shù)以減少蒙特卡洛模擬的偏差。

中行轉(zhuǎn)債是由中國銀行股份有限公司于2010年6月18日發(fā)行的可轉(zhuǎn)換公司債券，發(fā)行規(guī)模為400億元，為市場(chǎng)上流通的22只可轉(zhuǎn)債中發(fā)行規(guī)模最大的。中行轉(zhuǎn)債的信用評(píng)級(jí)為AAA級(jí)，發(fā)行人中國銀行的資金實(shí)力較強(qiáng)。此外，中行轉(zhuǎn)債的發(fā)行時(shí)間距今超過3年，避免了可轉(zhuǎn)債上市初期市場(chǎng)的投機(jī)性行為對(duì)于其價(jià)格的影響。因此選擇中行轉(zhuǎn)債作為實(shí)證研究的標(biāo)的債券，具有一定的代表性。

中行轉(zhuǎn)債轉(zhuǎn)股價(jià)格的調(diào)整分為兩種情況：(1)當(dāng)中國銀行股票因派送股票股利、轉(zhuǎn)增股本、增發(fā)新股或配股時(shí)，轉(zhuǎn)股價(jià)按照股本變動(dòng)的比例調(diào)整；當(dāng)中國銀行股票派送現(xiàn)金股利時(shí)，轉(zhuǎn)股價(jià)在原基礎(chǔ)上減去每股派送現(xiàn)金股利；(2)當(dāng)中國銀行股票在連續(xù)30個(gè)交易日內(nèi)有15個(gè)交易日的收盤價(jià)低于當(dāng)期轉(zhuǎn)股價(jià)的80%時(shí)，發(fā)行人有權(quán)向下修正轉(zhuǎn)股價(jià)格。中行轉(zhuǎn)債的初始轉(zhuǎn)股價(jià)格為4.02元/股，因中國銀行股票派送股票股利、轉(zhuǎn)增股本、增發(fā)新股或配股、派送現(xiàn)金股利等原因，中行轉(zhuǎn)債發(fā)行至今經(jīng)歷了8次轉(zhuǎn)股價(jià)格的調(diào)整，目前轉(zhuǎn)股價(jià)格為2.82元/股。

中行轉(zhuǎn)債的贖回條款為：(1)無條件贖回條款：在中行轉(zhuǎn)債期滿后五個(gè)交易日內(nèi)，中行轉(zhuǎn)債將以票面面值的106%（含當(dāng)期利息）贖回全部未轉(zhuǎn)股的可轉(zhuǎn)債。(2)有條件贖回條款：在轉(zhuǎn)股期內(nèi)，如果中國銀行股票連續(xù)30個(gè)交易日中至少有15個(gè)交易日的收盤價(jià)格不低于當(dāng)期轉(zhuǎn)股價(jià)格的130%（含130%），中國銀行有權(quán)按照債券面值加當(dāng)期應(yīng)計(jì)利息的價(jià)格贖回全部或部分未轉(zhuǎn)股的可轉(zhuǎn)債[1]。

下文在LSM模型中，以編程的方式考慮了這一有條件的贖回條款；但是在TF98模型中，由于贖回權(quán)屬于路徑依賴期權(quán)，難以通過二叉樹定價(jià)，故未考慮這一條款。不過根據(jù)龐環(huán)鵬對(duì)三種不同的贖回觸發(fā)機(jī)制對(duì)定價(jià)的影響所進(jìn)行的研究，這一贖回條款對(duì)定價(jià)的影響非常小[2]。

2 模型定價(jià)參數(shù)的估計(jì)

2.1 股價(jià)波動(dòng)率

本文在運(yùn)用GARCH模型測(cè)算中行股價(jià)波動(dòng)率時(shí)，由于ARCH效應(yīng)檢驗(yàn)沒有通過，即股價(jià)的對(duì)數(shù)差分序列不存在GARCH效應(yīng)，于是放棄了利用GARCH模型來估計(jì)股價(jià)波動(dòng)率，轉(zhuǎn)而采用歷史波動(dòng)率法。

本文中行轉(zhuǎn)債的估值日期為2013年9月5日至2013年11月22日，選取離估值日期最近的90天（即2013年4月24日至2013年7月10日）標(biāo)的股票的收盤價(jià)來計(jì)算股票日波動(dòng)率。然后根據(jù)日波動(dòng)率估算出年波動(dòng)率，以每年242個(gè)交易天數(shù)計(jì)算。由于所選取的時(shí)間段在可轉(zhuǎn)債發(fā)售2年之后，且在到期3年之前，所以以計(jì)算出的波動(dòng)率來衡量可轉(zhuǎn)債發(fā)行期間股票的長期平均波動(dòng)率具有一定的代表性。

2.2 無風(fēng)險(xiǎn)利率

TF98模型還將可轉(zhuǎn)債分為股權(quán)部分和債券部分，股權(quán)部分以無風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)，本文取一年期存款利率3%[3]；債券部分以風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)，由于中行轉(zhuǎn)債的信用評(píng)級(jí)為AAA級(jí)，信用風(fēng)險(xiǎn)相對(duì)較小，假設(shè)信用風(fēng)險(xiǎn)利差為常數(shù)，本文采用鄭振龍和林海(2003)的研究成果，近似地將6年期的中行轉(zhuǎn)債的信用風(fēng)險(xiǎn)利率為取0.98%，且在可轉(zhuǎn)債的存續(xù)期內(nèi)不變[4]。

2.3 信用風(fēng)險(xiǎn)利差

鄭振龍和林海(2003)通過單獨(dú)估計(jì)(Single estimation)和聯(lián)合估計(jì)(Joint estimation)等方法對(duì)中國整個(gè)普通公司債券市場(chǎng)的信用風(fēng)險(xiǎn)溢酬進(jìn)行了比較系統(tǒng)的實(shí)證研究。他們的研究結(jié)果表明，信用風(fēng)險(xiǎn)雖然存在，但信用風(fēng)險(xiǎn)利差并不大，5年期的普通公司債券平均信用風(fēng)險(xiǎn)溢酬只有0.98%[4]。由于期限越長，相鄰年限間信用風(fēng)險(xiǎn)利差越不明顯，尤其是對(duì)于中國銀行這樣的大型國有控股的商業(yè)銀行，信用風(fēng)險(xiǎn)溢酬較小。本文近似采用其研究成果，將6年期的中行轉(zhuǎn)債的信用風(fēng)險(xiǎn)利率假定為0.98%，且在可轉(zhuǎn)債的存續(xù)期內(nèi)不變。

2.4 二叉樹步數(shù)與蒙特卡羅模擬步數(shù)

對(duì)于TF98模型，一般來說，二叉樹模型所使用的步數(shù)在50～200步就有比較精確的結(jié)果，但本文為了獲得更精確的結(jié)果，更好地將TF98模型與LSM模型進(jìn)行比較，選擇了把2013年9月5日至2013年11月22日之間的每一交易日算作一步。中行轉(zhuǎn)債的到期日為2016年6月2日，模型中二叉樹的步數(shù)在611～661之間。

LSM定價(jià)模型中，為了把中行轉(zhuǎn)債有條件的贖回條款考慮進(jìn)去，在LSM模型的蒙特卡羅模擬中，將每一交易日算作為一步，所以每條模擬路徑的步數(shù)也在611～661之間。

2.5 蒙特卡羅模擬路徑條數(shù)

為了對(duì)LSM模型的定價(jià)精確度有更清晰的了解，本文選取不同的模擬路徑數(shù)來對(duì)中行轉(zhuǎn)債價(jià)值進(jìn)行估計(jì)，研究不同路徑數(shù)下，LSM模型估計(jì)精確度的變化，模擬路徑數(shù)包括：100、200、500、1000、1500、2000、2500、3000、3500、4000、4500、5000、8000。

3 實(shí)證結(jié)果與分析

筆者選擇了2013年9月5日至2013年11月22日的每個(gè)交易日股票數(shù)據(jù)來計(jì)算轉(zhuǎn)債價(jià)值。

首先，基于LSM模型，綜合前面的各種參數(shù)估計(jì)，在Matlab軟件上編程，在不同的路徑數(shù)下對(duì)中行轉(zhuǎn)債的理論價(jià)值進(jìn)行分析。結(jié)果見圖1。

圖1 基于兩種模型所得轉(zhuǎn)債價(jià)值與轉(zhuǎn)債實(shí)際價(jià)格比較圖

由圖1可以看出，隨著模擬路徑數(shù)的增加，LSM模型估計(jì)價(jià)格的偏差率均值逐步穩(wěn)定在-2.10%，偏差最大值逐步穩(wěn)定在0.11%，偏差最小值逐步穩(wěn)定在6%。即，在路徑數(shù)為8000時(shí)，利用LSM方法估計(jì)價(jià)格基本穩(wěn)定，從而可以采用路徑數(shù)為8000時(shí)的估計(jì)價(jià)格作為LSM模型的估計(jì)價(jià)格。

然后，再基于Tsiveriotis和Fernandes(1998)模型（TF98模型）以及二叉樹方法，綜合前面的各種參數(shù)估計(jì)，在Matlab軟件上編程對(duì)中行轉(zhuǎn)債進(jìn)行理論價(jià)值分析，在將所得結(jié)果與LSM的估計(jì)結(jié)果進(jìn)行比較，結(jié)果如圖2所示。

圖2 基于兩種模型所得轉(zhuǎn)債價(jià)值與轉(zhuǎn)債實(shí)際價(jià)格比較圖

從圖2可以看出兩種模型所計(jì)算出的價(jià)值對(duì)轉(zhuǎn)債的價(jià)格擬合的比較好，估算價(jià)值與實(shí)際價(jià)格變動(dòng)趨勢(shì)基本一致，而且偏差不大；TF98模型對(duì)轉(zhuǎn)債價(jià)格有一定程度的高估，而LSM模型則存在一定程度的低估。從估計(jì)精度上來說，LSM模型顯然比TF98模型更為精確，其估計(jì)價(jià)格更接近于實(shí)際價(jià)格；從對(duì)轉(zhuǎn)債價(jià)格波動(dòng)幅度的擬合上講，TF98模型比LSM模型擬合得更好，LSM模型存在著對(duì)價(jià)格波動(dòng)反應(yīng)相對(duì)更激烈。再從偏離率上進(jìn)行分析，偏離率計(jì)算公式為：

根據(jù)上述公式，繪制出兩種模型所估計(jì)的價(jià)值相對(duì)與實(shí)際價(jià)格的偏離率曲線圖，如下圖3所示。

圖3 兩種模型的估計(jì)偏離率曲線圖

TF98模型偏離率基本在5%～8%之間，其最小值為3.54%，最大值為8.75%，平均值為6.98%，偏離率的標(biāo)準(zhǔn)差為1.00%；LSM模型偏離率基本在-4%～0%之間，其最小值為-6.02%，最大值為0.11%，平均值為-2.10%，偏離率的標(biāo)準(zhǔn)差為1.08%。從偏離率的結(jié)果來看，LSM模型比TF98模型偏離率絕對(duì)值要?。?.10%＜6.98%），也即，LSM模型對(duì)于可轉(zhuǎn)債的定價(jià)比TF98模型更為精確。但是LSM模型偏離率的波動(dòng)要比TF98模型大(1.08%＞1.00%)，這說明TF98模型定價(jià)精度的穩(wěn)定性比LSM模型更好。

另外，從利用模型計(jì)算轉(zhuǎn)債價(jià)值的效率上來講，TF98模型計(jì)算效率遠(yuǎn)高于LSM模型。

4 結(jié)論

本文運(yùn)用了TF98模型與LSM模型對(duì)中行轉(zhuǎn)債進(jìn)行了定價(jià)，得到一系列的轉(zhuǎn)債估計(jì)價(jià)值，并對(duì)估計(jì)偏差作了分析，并對(duì)這兩種估計(jì)方法進(jìn)行了比較。研究結(jié)果顯示，兩種方法對(duì)中行轉(zhuǎn)債價(jià)值的估計(jì)，從估計(jì)的精度和變動(dòng)趨勢(shì)的擬合上都比較好。從兩者比較來看，TF98模型對(duì)轉(zhuǎn)債價(jià)格有著一定程度的高估，而LSM模型則存在一定程度的低估；LSM模型在估計(jì)精度上優(yōu)于TF98模型，也即LSM模型估計(jì)價(jià)格更接近于實(shí)際價(jià)格；但從估計(jì)值的穩(wěn)定性上來講，TF98模型則要優(yōu)于LSM模型。另外，從實(shí)用性角度上來講，LSM模型計(jì)算復(fù)雜程度高，耗時(shí)長，TF98模型則更方便快捷。

結(jié)合前文的理論分析，形成兩種方法估計(jì)差別的原因總結(jié)如下：

對(duì)于可轉(zhuǎn)債這種含有美式期權(quán)的路徑依賴型證券，LSM模型能充分考慮各個(gè)時(shí)點(diǎn)市場(chǎng)因子和發(fā)行條款的變化，對(duì)于股價(jià)以及轉(zhuǎn)債價(jià)值的動(dòng)態(tài)過程模擬更為準(zhǔn)確，而基于二叉樹的TF98模型難以處理路徑依賴的問題，從而在估計(jì)轉(zhuǎn)債價(jià)值時(shí)相對(duì)偏差較大；雖然TF98模型將可轉(zhuǎn)債分為股權(quán)部分與現(xiàn)金部分，并對(duì)每一部分用了不同的貼現(xiàn)率進(jìn)行，但是根據(jù)Brennan和Schwartz[5]、楊如彥[6]等人的研究結(jié)果，利率對(duì)可轉(zhuǎn)債價(jià)值的影響非常小，所以不同的貼現(xiàn)率對(duì)于提升轉(zhuǎn)債價(jià)值估計(jì)的準(zhǔn)確度作用不是太大。

由于TF98模型現(xiàn)金部分價(jià)值與股價(jià)相關(guān)性不，TF98模型對(duì)于股價(jià)變動(dòng)的敏感性比LSM模型更低。這可能是TF98模型估計(jì)值更加穩(wěn)定的原因之一。

綜上所述，鑒于我國的可轉(zhuǎn)債條款眾多，路徑依賴性強(qiáng)，所以為了更好的估計(jì)可轉(zhuǎn)債價(jià)值，建議首先選擇更能處理各種條款的LSM模型。后續(xù)的研究可以在LSM基礎(chǔ)上增加對(duì)違約、破產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)的考慮，采用更靈活的貼現(xiàn)方式；以及更充分地考慮可轉(zhuǎn)債有條件贖回、利率的變動(dòng)等因素。

[1]中國銀行股份有限公司.可轉(zhuǎn)換公司債券上市公告書[EB/OL].中國銀行官網(wǎng)，2010,[2013-09-18].http://www.boc.cn/investor/ir5/201006/t20100611_1056807.html.

[2]龐環(huán)鵬.中國市場(chǎng)可轉(zhuǎn)債定價(jià)研究[D].杭州：浙江大學(xué)，2013.

[3]Black,Fischer,Myron S.The Pricing of Option and Corporate Liabilities,Journal of Political Economy,1973,(81).

[4]鄭振，林海.中國違約風(fēng)險(xiǎn)溢酬研究[J].證券市場(chǎng)導(dǎo)報(bào)，2003,(6).

[5]Brennan,Michael J,Eduardo S.Schwartz.Analyzing Convertible Bonds[J].Journal of Financial and Quantitative Analysis,1980,15(4).

[6]楊如彥,魏剛,劉孝紅,孟輝.可轉(zhuǎn)換債券及其績效評(píng)價(jià)[M].北京：中國人民大學(xué)出版社，2002.