趙憲君
(吉林省四平市伊通滿族高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)組)
圓錐曲線知識(shí)是現(xiàn)行高中解析幾何學(xué)的重要內(nèi)容之一,既是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn),又是難點(diǎn),因而成為高考的重點(diǎn)考查內(nèi)容。在每年的全國(guó)高考題中,有關(guān)圓錐曲線的試題占解析幾何總分值的三分之二,約占全卷總分的13%。有關(guān)圓錐曲線的試題每年一般有兩到三道,其中兩道為選擇題或填空題,一道為解答題,是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容之一。隨著新課改的進(jìn)行,其重要性應(yīng)該不會(huì)下降。而解析幾何問(wèn)題的解答又非常煩瑣,計(jì)算量又非常的大,所以學(xué)生在解答解析幾何問(wèn)題時(shí)會(huì)浪費(fèi)很多時(shí)間還會(huì)出現(xiàn)很多失誤導(dǎo)致解答的失敗。那么一些有用的數(shù)學(xué)結(jié)論就顯得尤為重要,它能幫助學(xué)生快速地解題。那么教師就要在平時(shí)講課時(shí)注意發(fā)現(xiàn)一些有用的結(jié)論教給學(xué)生并注意在平時(shí)注意應(yīng)用。
例如:2015 屆高三第三次月考題,選擇題第12 題:橢圓=1 的左、右頂點(diǎn)分別為A1,A2,點(diǎn)P 在橢圓C 上且直線PA2的斜率的取值范圍是[-2,-1],那么直線PA2的斜率的取值范圍是( )此題解答比較麻煩,學(xué)生不易得到正確的答案。
但它與人教版選修2-1 教材中的兩個(gè)例題有關(guān)。人教版選修2-1 教材第41 頁(yè)例3 如右圖,設(shè)點(diǎn)A,B 的坐標(biāo)分別為(-5,0),(5,0)直線AM,BM 相交于點(diǎn)M 且它們的斜率之積是-,求點(diǎn)M 的軌跡方程并判斷軌跡形狀。
人教版選修2-1 教材第55 頁(yè)探究如右圖,設(shè)點(diǎn)A,B 的坐標(biāo)分別為(-5,0),(5,0),直線AM,BM 相交于點(diǎn)M,且它們的斜率之積是,求點(diǎn)M 的軌跡方程并判斷軌跡形狀。
由這兩個(gè)例子可以看出,分別過(guò)兩個(gè)定點(diǎn)的直線斜率之積等于一個(gè)常數(shù),那么這兩個(gè)直線的交點(diǎn)的軌跡就是雙橢圓或雙曲線。這個(gè)結(jié)論是不是一個(gè)一般的結(jié)論教師就要把這個(gè)結(jié)論給學(xué)生做一個(gè)總結(jié),得出一個(gè)普遍的結(jié)論。
設(shè)點(diǎn)A,B 的坐標(biāo)分別為(-a,0),(a,0)(a>0),直線AM,BM 相交于點(diǎn)M,且它們的斜率之積是t(t 是常數(shù),且t≠0),求點(diǎn)M 的軌跡方程并判斷軌跡形狀。
解:設(shè)點(diǎn)M 的坐標(biāo)為(x,y)
所以,(1),當(dāng)t=-1 時(shí),方程為x2+y2=a2,則點(diǎn)M 的軌跡是個(gè)圓心在原點(diǎn),半徑為的圓。(2)當(dāng)t=1 時(shí),方程為x2-y2=a2,則點(diǎn)M的軌跡是中心在原點(diǎn)的等軸雙曲線。(3)當(dāng)t<0 且t≠-1 時(shí),方程為=1,則點(diǎn)M 的軌跡是中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x 軸的橢圓。(4)當(dāng)t>0 且t≠-1 時(shí),方程為=1,則點(diǎn)M 的軌跡是中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x 軸的雙曲線。
這是一個(gè)一般的結(jié)論,再把這個(gè)結(jié)論做一個(gè)推廣,那就是:如果分別過(guò)兩個(gè)定點(diǎn)的直線交于一點(diǎn)斜率之積等于常數(shù)t,那么交點(diǎn)的軌跡是個(gè)橢圓其方程為=1,那么這個(gè)常數(shù)t 與a,b 的關(guān)系為
應(yīng)用這個(gè)結(jié)論,上面的12 題就好做了。
這就是一個(gè)普通結(jié)論在解題中的應(yīng)用。在數(shù)學(xué)中這樣的結(jié)論有很多教師要善于給學(xué)生總結(jié),有了一個(gè)一般的結(jié)論,學(xué)生在解題時(shí)加以應(yīng)用,就可以大大提高學(xué)生的解題速度。