熊允發(fā),　管　濤

(中國(guó)人民公安大學(xué)網(wǎng)絡(luò)安全保衛(wèi)學(xué)院， 北京　100038)

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有關(guān)二維連續(xù)型隨機(jī)變量與分布的教學(xué)內(nèi)容探討

熊允發(fā),管濤

(中國(guó)人民公安大學(xué)網(wǎng)絡(luò)安全保衛(wèi)學(xué)院， 北京100038)

摘要我們稱n個(gè)隨機(jī)變量X1,X2,…,Xspan的整體ξ=(X1,X2,…,Xspan)為n維隨機(jī)變量或稱隨機(jī)向量。對(duì)于二維連續(xù)型隨機(jī)變量與分布這一部分內(nèi)容的講解，主要應(yīng)從概念的界定入手，著重講解它的分布規(guī)律以及它們的相關(guān)關(guān)系，即：聯(lián)合密度、邊緣密度、聯(lián)合密度與邊緣密度的關(guān)系(積的關(guān)系、商的關(guān)系)。

關(guān)鍵詞連續(xù)型； 隨機(jī)向量； 分布

0引言

眾所周知，概率統(tǒng)計(jì)是大學(xué)理工科學(xué)生的一門(mén)必修專業(yè)基礎(chǔ)課，它概念新穎，應(yīng)用廣泛，涉及面寬，在實(shí)際應(yīng)用中存在各種各樣的問(wèn)題，這樣就給學(xué)生們的學(xué)習(xí)帶來(lái)了很多的困難。作者根據(jù)二十多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，又查閱了諸多國(guó)內(nèi)外的相關(guān)書(shū)籍，就二維連續(xù)型隨機(jī)變量與分布的教學(xué)內(nèi)容簡(jiǎn)單地談幾點(diǎn)教學(xué)心得，希望能給廣大教師和學(xué)生以新的啟迪。

1連續(xù)型隨機(jī)向量的概念界定

為了研究問(wèn)題的方便，我們僅以二維連續(xù)型隨機(jī)變量為例。

如果二維隨機(jī)變量ξ=(X,Y)可能取的值不是只有有限個(gè)或者可列個(gè)(即可排成一個(gè)序列)，則稱ξ=(X,Y)為連續(xù)型的。若(X,Y)是連續(xù)型的，則X，Y都是一維連續(xù)型隨機(jī)變量。反之，也成立。下面我們將其從數(shù)學(xué)意義上嚴(yán)格定義一下：

【定義】對(duì)于二維隨機(jī)變量ξ=(X,Y)，如果存在非負(fù)可積函數(shù)

f(x,y)(-∞

使對(duì)任意一個(gè)鄰邊分別平行于坐標(biāo)軸的矩形區(qū)域D：“即由不等式a

則稱二維隨機(jī)變量ξ=(X,Y)為連續(xù)型的，并稱f(x,y)(-∞

【注釋】該定義中的f(x,y)是非負(fù)可積的函數(shù)，積分區(qū)域D是平面上的任意區(qū)域[1]。

簡(jiǎn)言之，二維連續(xù)型隨機(jī)變量落在平面上任意區(qū)域的概率就等于密度函數(shù)在該區(qū)域上的二重積分。

【例1】設(shè)(X,Y)服從D上的均勻分布， 求P(X+Y≤1)的值。

其中D：x≥y,0≤x≤1,y≥0.見(jiàn)圖1(a)。

圖1

解：D的面積S=1/2，所以(X,Y)的概率密度為

f(x,y)dxdy

見(jiàn)圖1(b)所示。

2連續(xù)型隨機(jī)向量的分布規(guī)律

所謂分布，就是隨機(jī)向量取各個(gè)不同值的概率的集合。二維連續(xù)型隨機(jī)變量(向量)的分布，指的就是以上定義中f(x,y)的不同積分的集合。為便于理解，我們分以下三個(gè)部分加以介紹。

1)聯(lián)合密度

(1)定義：稱以上定義中f(x,y)為ξ=(X,Y)的聯(lián)合分布密度(簡(jiǎn)稱聯(lián)合密度)。

(2)性質(zhì)：對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量ξ=(X,Y)可以證明，對(duì)于平面上任意的集合D，均有

這里f(x,y)是聯(lián)合分布密度，且具有：

①非負(fù)性 f(x,y)≥0；

③若f(x,y)在(x,y)點(diǎn)連續(xù)，F(xiàn)(x,y)在(x,y)點(diǎn)處的二階偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，則有

(3)幾何意義：

由(2)得，二維隨機(jī)變量ξ=(X,Y)落在平面上任一區(qū)域D內(nèi)的概率就等于聯(lián)合密度f(wàn)(x,y)在D上的積分，也就是把概率的計(jì)算轉(zhuǎn)化為一個(gè)二重積分的計(jì)算。由此指出(X,Y)∈D的概率，數(shù)值上就等于以曲面z=f(x,y) 為頂，以平面區(qū)域D為底的曲頂柱體的體積，這就給出了f(x,y)的幾何意義[2]。

【例2】設(shè)(X,Y)的聯(lián)合密度為

求(1)常數(shù)C；

(2)P(0

∴C=1

(2)D=((x,y):0

∴P(0

2)邊緣分布密度

(1)定義：對(duì)于二維隨機(jī)變量(X,Y)作為其分量的隨機(jī)變量X(或Y)的密度函數(shù)fX(x)(或fY(y))，稱為(X,Y)的關(guān)于X(或Y)的邊緣分布密度。

(2)問(wèn)題：已知聯(lián)合密度f(wàn)(x,y)，如何求邊緣分布密度f(wàn)X(x),fY(y)？

若(X,Y)的聯(lián)合密度是f(x,y)，則X，Y的分布密度分別是

證明：由于{-∞

P(a

令D=((x,y):a

P(a

根據(jù)隨機(jī)變量分布密度的定義，不難看出

【注釋】從以上的證明可以看出，聯(lián)合密度決定了邊緣密度。因此，我們做題分析問(wèn)題時(shí)，一定要先求出聯(lián)合密度[3]。

【定義】設(shè)G是平面上面積為a(0

則(X,Y)的聯(lián)合密度為：

【例3】 設(shè)(X,Y)服從如圖2所示區(qū)域G(拋物線y=x2和直線y=x所圍成的區(qū)域)上的均勻分布，求聯(lián)合分布密度和邊緣分布密度。

圖2

故所求(X,Y)的聯(lián)合分布密度為

f(x,y)dy

3)聯(lián)合分布與邊緣分布的關(guān)系

(1)積的關(guān)系(聯(lián)合密度等于邊緣密度的乘積)具體的就是講X與Y相互獨(dú)立的問(wèn)題。

何謂X與Y相互獨(dú)立呢？

【定義】設(shè)X與Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，如果對(duì)任意a

【定理】設(shè)X，Y分別有分布密度f(wàn)X(x)和fY(y)，則X與Y相互獨(dú)立的充要條件是二元函數(shù)fX(x)·fY(y)為隨機(jī)向量(X,Y)的聯(lián)合密度。

即X，Y相互獨(dú)立?f(x,y)=fX(x)·fY(y)

證明：①設(shè)fX(x)·fY(y)是(X,Y)的聯(lián)合密度，

P((a

=P(a

=P(a

可見(jiàn)，X與Y是相互獨(dú)立的。

②設(shè)X，Y相互獨(dú)立，

D=((x,y):a

P((X,Y)∈D)=P(a

=P(a

故fX(x)·fY(y)是(X,Y)的聯(lián)合密度。

【注釋】一般情況下，邊緣密度是不能決定聯(lián)合密度的。只有當(dāng)X，Y相互獨(dú)立時(shí)，兩個(gè)邊緣密度的乘積就是它們的聯(lián)合密度。即當(dāng)X,Y獨(dú)立時(shí)，邊緣密度也能確定聯(lián)合密度[4]。

解：由題意

故(X1,X2)的聯(lián)合密度為

f(x1,x2)=fX1(x1)·fX2(x2)

(2)商的關(guān)系(條件分布密度等于聯(lián)合密度除以邊緣密度)

【注釋】要求條件分布密度，首先要知道聯(lián)合密度，其次要求出邊緣密度，兩者的比值即為條件概率密度[5]。

【例5】設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為

①求條件概率密度f(wàn)Y|X(y|x)

②求條件概率P(X<1|Y<1)

其中

P(X≤1,Y≤1)

參考文獻(xiàn)

[1]王展青，李壽貴. 概率統(tǒng)計(jì)[M].北京：科學(xué)出版社，2000:83-84.

[2]錢(qián)小軍. 數(shù)量方法[M].北京：高等教育出版社，1999:89-91.

[3]李茂年，周兆麟.數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法[M].天津：天津人民出版社，1982:58-70.

[4]許承德. 概率統(tǒng)計(jì)[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2000:60-65.

[5]李排昌，熊允發(fā).概率統(tǒng)計(jì)[M].北京：中國(guó)人民公安大學(xué)出版社，2004:48-60.

(責(zé)任編輯于瑞華)

作者簡(jiǎn)介熊允發(fā)(1963—)， 男， 湖北仙桃人，教授。研究方向?yàn)楦怕式y(tǒng)計(jì)與隨機(jī)過(guò)程。

中圖分類號(hào)D035.319