李排昌,　左　萍

(中國(guó)人民公安大學(xué)網(wǎng)絡(luò)安全保衛(wèi)學(xué)院， 北京　100038)

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光滑曲面的離散化研究

李排昌,左萍

(中國(guó)人民公安大學(xué)網(wǎng)絡(luò)安全保衛(wèi)學(xué)院， 北京100038)

摘要在空間解析幾何學(xué)中，點(diǎn)是構(gòu)成曲面的基本單元，曲面是宏觀意義下的幾何圖形，曲面的面積是宏觀意義下的數(shù)學(xué)問(wèn)題。宏觀上一個(gè)曲面上的有理點(diǎn)是密集的，微觀上該曲面上的有理點(diǎn)是離散的也是可數(shù)的[1]，用這種觀點(diǎn)研究曲面積分問(wèn)題，我們稱之為離散化方法在曲面積分中的應(yīng)用。作者通過(guò)經(jīng)典實(shí)例對(duì)曲面積分的離散化方法進(jìn)行論述和研究，揭示了曲面積分的奧秘，便于學(xué)生對(duì)相關(guān)內(nèi)容的理解與掌握。

關(guān)鍵詞曲面的對(duì)應(yīng)有理散點(diǎn)圖； 曲面面積； 曲面積分

0引言

積分是微積分學(xué)科中的難點(diǎn)和重點(diǎn)，曲面積分又是積分學(xué)中的難點(diǎn)和重點(diǎn)。本文正是針對(duì)這個(gè)主要問(wèn)題展開(kāi)研究的，我們采用連續(xù)變量的離散化方法推演曲面積分理論，揭示了曲面積分的奧秘。

設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在X—型區(qū)域

D={(x,y)|a≤x≤b,φ1(x)≤y≤φ2(x)}

上連續(xù)。以區(qū)域D為底，以D的邊界生成的柱面為側(cè)面，以曲面

Σ∶z=f(x,y)

為頂形成曲頂柱體，我們已經(jīng)知道有求此曲頂柱體體積V的二重積分公式[2](也稱為二次積分公式)：

1曲面的面積(第一類曲面積分)

曲面面積的經(jīng)典實(shí)例[3]：設(shè)二元函數(shù)

z=f(x,y)的定義域D是所謂的X—型：

D={(x,y)|a≤x≤b,φ1(x)≤y≤φ2(x)}

且函數(shù)z=f(x,y)在D上有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)z=f(x,y)在定義域D上的圖形為曲面Σ，求曲面Σ的表面積S(第一類曲面積分)。

解：區(qū)域D內(nèi)的每個(gè)有理點(diǎn)P(x,y)唯一對(duì)應(yīng)曲面Σ上的一點(diǎn)M(x,y,f(x,y))。由于區(qū)域D內(nèi)的有理點(diǎn)是密集的，D內(nèi)的全體有理點(diǎn)為自變量所對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖形在宏觀意義下仍是連續(xù)曲面，在微觀意義下是散點(diǎn)圖(稱為有理散點(diǎn)圖或曲面的有理散點(diǎn)骨架，見(jiàn)圖1)。區(qū)域D內(nèi)有理點(diǎn)P以及與其相鄰的3個(gè)有理點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

P(x,y)、P1(x+dx,y)、

P2(x,y+dy)、P3(x+dx,y+dy)

這4個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)曲面上的4個(gè)點(diǎn)分別為

M(x,y,f(x,y))、M1(x+dx,y,f(x+dx,y))、

M2(x,y+dy,f(x,y+dy))、

M3(x+dx,y+dy,f(x+dx,y+dy))

忽略dx、dy的高階的微元后

因此，可得

圖1

圖2

(1)

綜上所述，第一類曲面積分問(wèn)題實(shí)際是二重積分問(wèn)題。

例1求球面x2+y2+z2=a2的表面積S(如圖3)。

圖3

D={(x,y)|x2+y2≤a2}

由于區(qū)域D內(nèi)的有理點(diǎn)P(x,y)與曲面Σ上的有理散點(diǎn)M(x,y,f(x,y))存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，故求和范圍可表示成區(qū)域D上的二重積分。所以，整個(gè)球面的表面積為

例2曲面Σ是球面x2+y2+z2=a2被平面z=b(0

求構(gòu)件的質(zhì)量m。

D={(x,y)|x2+y2≤a2-b2}

圖4

由于

曲面Σ上有理散點(diǎn)M(x,y,z)處對(duì)應(yīng)的占位質(zhì)量為

由于區(qū)域D內(nèi)的有理點(diǎn)P(x,y)與曲面Σ上的有理散點(diǎn)M(x,y,f(x,y))存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，故求和范圍可表示成區(qū)域D上的二重積分。所以，整個(gè)構(gòu)件的質(zhì)量為

2 流向曲面一側(cè)的流量(第二類曲面積分)

圖5

流體流向曲面Σ指定側(cè)的流量問(wèn)題： 設(shè)穩(wěn)定流動(dòng)的不可壓縮流體的速度場(chǎng)由

=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))

給出,Σ是速度場(chǎng)中的一片有向曲面，函數(shù)P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)都在Σ上連續(xù), 求在單位時(shí)間內(nèi)流向Σ指定側(cè)的流體的流量Φ(也稱為第二類曲面積分)。

而曲面Σ上有理散點(diǎn)M的占位面積為

(2)

如果曲面Σ的方程為y=g(x,z)，定義域?yàn)镈xz，函數(shù)y=g(x,z)在Dxz上有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)；或者曲面Σ的方程為x=h(y,z)，定義域?yàn)镈yz，函數(shù)x=h(y,z)在Dyz上有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，同理有相應(yīng)于(2)式的公式。

綜上所述，第二類曲面積分問(wèn)題實(shí)際是二重積分問(wèn)題。

單位法向量為

曲面Σ上有理散點(diǎn)M的占位面積為

所以，把以上數(shù)據(jù)代入公式(2)得

?Dxy[(z2+x)cosα-zcosγ]dS

=8π。

參考文獻(xiàn)

[1]李排昌，王鐵英．離散化方法在積分中的應(yīng)用 [J] ．中國(guó)人民公安大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2014，80(2)：93-96.

[2]吉林大學(xué)數(shù)學(xué)系．?dāng)?shù)學(xué)分析(中冊(cè))[M]．北京：人民教育出版社，1978：144-290.

[3]孫振綺．工科數(shù)學(xué)分析教程[M]．北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2003：99-204.

[4]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系．高等數(shù)學(xué)[M]．北京：高等教育出版社，2007：001-246.

(責(zé)任編輯于瑞華)

作者簡(jiǎn)介李排昌(1957—)， 男， 河北人， 教授。研究方向?yàn)榛A(chǔ)數(shù)學(xué)。

中圖分類號(hào)G642.0