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        光滑曲面的離散化研究

        2015-02-17 02:56:29李排昌

        李排昌, 左 萍

        (中國(guó)人民公安大學(xué)網(wǎng)絡(luò)安全保衛(wèi)學(xué)院, 北京 100038)

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        光滑曲面的離散化研究

        李排昌,左萍

        (中國(guó)人民公安大學(xué)網(wǎng)絡(luò)安全保衛(wèi)學(xué)院, 北京100038)

        摘要在空間解析幾何學(xué)中,點(diǎn)是構(gòu)成曲面的基本單元,曲面是宏觀意義下的幾何圖形,曲面的面積是宏觀意義下的數(shù)學(xué)問(wèn)題。宏觀上一個(gè)曲面上的有理點(diǎn)是密集的,微觀上該曲面上的有理點(diǎn)是離散的也是可數(shù)的[1],用這種觀點(diǎn)研究曲面積分問(wèn)題,我們稱之為離散化方法在曲面積分中的應(yīng)用。作者通過(guò)經(jīng)典實(shí)例對(duì)曲面積分的離散化方法進(jìn)行論述和研究,揭示了曲面積分的奧秘,便于學(xué)生對(duì)相關(guān)內(nèi)容的理解與掌握。

        關(guān)鍵詞曲面的對(duì)應(yīng)有理散點(diǎn)圖; 曲面面積; 曲面積分

        0引言

        積分是微積分學(xué)科中的難點(diǎn)和重點(diǎn),曲面積分又是積分學(xué)中的難點(diǎn)和重點(diǎn)。本文正是針對(duì)這個(gè)主要問(wèn)題展開(kāi)研究的,我們采用連續(xù)變量的離散化方法推演曲面積分理論,揭示了曲面積分的奧秘。

        設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在X—型區(qū)域

        D={(x,y)|a≤x≤b,φ1(x)≤y≤φ2(x)}

        上連續(xù)。以區(qū)域D為底,以D的邊界生成的柱面為側(cè)面,以曲面

        Σ∶z=f(x,y)

        為頂形成曲頂柱體,我們已經(jīng)知道有求此曲頂柱體體積V的二重積分公式[2](也稱為二次積分公式):

        1曲面的面積(第一類曲面積分)

        曲面面積的經(jīng)典實(shí)例[3]:設(shè)二元函數(shù)

        z=f(x,y)的定義域D是所謂的X—型:

        D={(x,y)|a≤x≤b,φ1(x)≤y≤φ2(x)}

        且函數(shù)z=f(x,y)在D上有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),函數(shù)z=f(x,y)在定義域D上的圖形為曲面Σ,求曲面Σ的表面積S(第一類曲面積分)。

        解:區(qū)域D內(nèi)的每個(gè)有理點(diǎn)P(x,y)唯一對(duì)應(yīng)曲面Σ上的一點(diǎn)M(x,y,f(x,y))。由于區(qū)域D內(nèi)的有理點(diǎn)是密集的,D內(nèi)的全體有理點(diǎn)為自變量所對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖形在宏觀意義下仍是連續(xù)曲面,在微觀意義下是散點(diǎn)圖(稱為有理散點(diǎn)圖或曲面的有理散點(diǎn)骨架,見(jiàn)圖1)。區(qū)域D內(nèi)有理點(diǎn)P以及與其相鄰的3個(gè)有理點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

        P(x,y)、P1(x+dx,y)、

        P2(x,y+dy)、P3(x+dx,y+dy)

        這4個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)曲面上的4個(gè)點(diǎn)分別為

        M(x,y,f(x,y))、M1(x+dx,y,f(x+dx,y))、

        M2(x,y+dy,f(x,y+dy))、

        M3(x+dx,y+dy,f(x+dx,y+dy))

        忽略dx、dy的高階的微元后

        因此,可得

        圖1

        圖2

        (1)

        綜上所述,第一類曲面積分問(wèn)題實(shí)際是二重積分問(wèn)題。

        例1求球面x2+y2+z2=a2的表面積S(如圖3)。

        圖3

        D={(x,y)|x2+y2≤a2}

        由于區(qū)域D內(nèi)的有理點(diǎn)P(x,y)與曲面Σ上的有理散點(diǎn)M(x,y,f(x,y))存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,故求和范圍可表示成區(qū)域D上的二重積分。所以,整個(gè)球面的表面積為

        例2曲面Σ是球面x2+y2+z2=a2被平面z=b(0

        求構(gòu)件的質(zhì)量m。

        D={(x,y)|x2+y2≤a2-b2}

        圖4

        由于

        曲面Σ上有理散點(diǎn)M(x,y,z)處對(duì)應(yīng)的占位質(zhì)量為

        由于區(qū)域D內(nèi)的有理點(diǎn)P(x,y)與曲面Σ上的有理散點(diǎn)M(x,y,f(x,y))存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,故求和范圍可表示成區(qū)域D上的二重積分。所以,整個(gè)構(gòu)件的質(zhì)量為

        2 流向曲面一側(cè)的流量(第二類曲面積分)

        圖5

        流體流向曲面Σ指定側(cè)的流量問(wèn)題: 設(shè)穩(wěn)定流動(dòng)的不可壓縮流體的速度場(chǎng)由

        =(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))

        給出,Σ是速度場(chǎng)中的一片有向曲面,函數(shù)P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)都在Σ上連續(xù), 求在單位時(shí)間內(nèi)流向Σ指定側(cè)的流體的流量Φ(也稱為第二類曲面積分)。

        而曲面Σ上有理散點(diǎn)M的占位面積為

        (2)

        如果曲面Σ的方程為y=g(x,z),定義域?yàn)镈xz,函數(shù)y=g(x,z)在Dxz上有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù);或者曲面Σ的方程為x=h(y,z),定義域?yàn)镈yz,函數(shù)x=h(y,z)在Dyz上有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),同理有相應(yīng)于(2)式的公式。

        綜上所述,第二類曲面積分問(wèn)題實(shí)際是二重積分問(wèn)題。

        單位法向量為

        曲面Σ上有理散點(diǎn)M的占位面積為

        所以,把以上數(shù)據(jù)代入公式(2)得

        ?Dxy[(z2+x)cosα-zcosγ]dS

        =8π。

        參考文獻(xiàn)

        [1]李排昌,王鐵英.離散化方法在積分中的應(yīng)用 [J] .中國(guó)人民公安大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2014,80(2):93-96.

        [2]吉林大學(xué)數(shù)學(xué)系.?dāng)?shù)學(xué)分析(中冊(cè))[M].北京:人民教育出版社,1978:144-290.

        [3]孫振綺.工科數(shù)學(xué)分析教程[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2003:99-204.

        [4]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京:高等教育出版社,2007:001-246.

        (責(zé)任編輯于瑞華)

        作者簡(jiǎn)介李排昌(1957—), 男, 河北人, 教授。研究方向?yàn)榛A(chǔ)數(shù)學(xué)。

        中圖分類號(hào)G642.0

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