包曉蕾，曲行根，王卓英

(1.上海電子信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院 通信與信息工程系，上海 201411；2.哈爾濱工程大學(xué) 信息與通信工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

?

基于壓縮感知的稀疏重構(gòu)DOA估計(jì)算法

包曉蕾1，曲行根2，王卓英1

(1.上海電子信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院 通信與信息工程系，上海 201411；2.哈爾濱工程大學(xué) 信息與通信工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

基于空間目標(biāo)分布的稀疏特性和壓縮感知理論思想，提出一種基于奇異值分解的多測量梯度投影稀疏重構(gòu)(SVD-MGPSR)算法，將多目標(biāo)DOA估計(jì)轉(zhuǎn)化為一個稀疏信號重構(gòu)問題。首先利用陣列流形建立的過完備原子庫對信號進(jìn)行聯(lián)合稀疏表示，然后對壓縮采樣后的信息矩陣進(jìn)行奇異值分解，可以明顯降低運(yùn)算量，最后基于MGPSR算法對稀疏信號進(jìn)行重構(gòu)，從而實(shí)現(xiàn)DOA估計(jì)。相對于已有算法，該算法不僅在低信噪比、小快拍數(shù)條件下測向均方誤差較小，而且能夠?qū)ο喔尚盘栠M(jìn)行正確估計(jì)，具有較高的測向精度和角度分辨率。仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該算法的有效性。

壓縮感知；DOA估計(jì)；奇異值分解；梯度投影

目標(biāo)信號波達(dá)方向(direction of arrival, DOA)估計(jì)一直是陣列信號處理領(lǐng)域中的一個重要研究方向，在通信、雷達(dá)和醫(yī)學(xué)成像等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[1]。目前，國內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)提出了大量有效的DOA估計(jì)算法，其主要分為兩大類：一類是基于波束形成的測向方法，如由BURG提出的最大熵譜估計(jì)法(maximum entropy spectral estimation method, MEM)[2]和CAPON提出的最小方差無失真響應(yīng)估計(jì)法(minimum variance distortion response, MVDR)[3]等；另一類基于子空間的測向方法，如由SCHIMIDT提出的多重信號分類(multiple signal classification, MUSIC)算法[4]和ROY等提出的旋轉(zhuǎn)不變子空間(estimation of signal parameters via rotational invariance techniques, ESPRIT)算法[5]等。然而，基于波束形成的算法雖然克服了陣列孔徑限制，但估計(jì)分辨率不高且受噪聲影響較大；基于子空間的算法具有高分辨率，但對于相干信號由于信號協(xié)方差矩陣會出現(xiàn)失秩現(xiàn)象，故無法有效估計(jì)。

近幾年一種新穎的壓縮感知(compressing sensing, CS)[6]理論已廣泛應(yīng)用于圖像分析、信號處理等領(lǐng)域，受到了學(xué)者們極大關(guān)注。CS理論是指可以用遠(yuǎn)低于奈奎斯特采樣定理要求的采樣速率對可壓縮或可稀疏信號進(jìn)行非自適應(yīng)采樣，然后通過求解凸優(yōu)化問題恢復(fù)信號。

由于可以將空間進(jìn)行網(wǎng)格劃分并且實(shí)際目標(biāo)角度僅占較少單元，故目標(biāo)在空間域是稀疏的。基于上述思想，可以將壓縮感知應(yīng)用到DOA估計(jì)中[7-8]，文獻(xiàn)[9]提出一種利用混合l2,0范數(shù)(JLZA-DOA)優(yōu)化算法來近似求解聯(lián)合稀疏問題，從而對信號進(jìn)行DOA估計(jì)。文獻(xiàn)[10]采用梯度投影稀疏重構(gòu)(gradient projection for sparse reconstruction, GPSR)算法重構(gòu)信號，該算法梯度約束條件過于嚴(yán)格并且只適應(yīng)于單快拍系統(tǒng)，在低信噪比條件下均方誤差較大。針對上述問題，筆者提出一種新的基于奇異值分解(singular value decomposition, SVD)的多測量梯度投影稀疏重構(gòu)(SVD-MGPSR)算法。該算法首先基于陣列流型矩陣建立的過完備原子庫構(gòu)造稀疏基矩陣，構(gòu)造稀疏信號模型，采用滿足約束等容條件(restricted isometry property, RIP)[11]的隨機(jī)矩陣進(jìn)行時域壓縮采樣，然后對壓縮采樣后的信息矩陣進(jìn)行奇異值分解，最后采用新算法重構(gòu)稀疏信號矩陣，完成DOA估計(jì)。筆者采用的奇異值分解方法進(jìn)行信號降維處理可以得到低維信號子空間，運(yùn)算量明顯降低并且能夠提高抗噪聲能力。與已有的MUSIC算法、MVDR算法和文獻(xiàn)[9]中提到的JLZA-DOA算法相比，該算法不僅能夠?qū)ο喔尚盘栒_測向，而且在低信噪比、小快拍數(shù)條件下測向均方誤差較小，具有較高的角度分辨力及更優(yōu)的測向性能。

1 壓縮感知

CS理論原理：信號若是可壓縮性的或稀疏性的，可以通過與變換基不相關(guān)的測量矩陣將高維信號投影到低維信號上，再求解凸優(yōu)化問題，從少量投影值中重構(gòu)原始信號。其由3個核心部分構(gòu)成：信號稀疏表示、測量矩陣的設(shè)計(jì)和信號重構(gòu)算法[12]。

(1)

其中，α=[α1,α2,…,αN]T是信號x在正交基矩陣Ψ的表示系數(shù)，因此α和x是信號的等價表示。若系數(shù)矢量α只含有K(K

在CS理論中，信號稀疏表示之后，將信號壓縮投影到M×N的測量矩陣Φ上得到投影值y=[y(1),y(2),…,y(M)]T，其中M

y=Φx=ΦΨα=Θα

(2)

其中,Θ=ΦΨ是M×N的感知矩陣，也稱之為CS的信息算子[13]。CS理論的關(guān)鍵部分就是從這M個投影值中重構(gòu)出長度為N的稀疏信號或信號的系數(shù)矢量。求解式(2)是一個欠定問題，一般來講無確定解，但研究表明：對于一個稀疏信號，當(dāng)Θ滿足RIP條件時可以通過求解l0范數(shù)問題精確重構(gòu)原始信號：

‖α‖l0s.t.y=Θα

(3)

‖α‖l1s.t.y=Θα

(4)

2 基于CS理論的信號模型

2.1 接收信號模型

設(shè)各向同性的N個陣元構(gòu)成一個均勻線陣，有K個遠(yuǎn)場信號sk(t),k=1,2,…,K分別以方向θi,i=1,2，…，K入射到該線陣，則第n個陣元接收信號為：

n=1,2，…，N

(5)

式中：nn(t)為第i個信號在t時刻的噪聲；τni為第i個信號到達(dá)第n個陣元相對于參考陣元的時延；gni為第n個陣元對第i個信號的增益。各陣元是同向的，并且陣元之間不考慮通道不一致性、互耦等因素，陣元增益可以歸一化為1。這里令第一個陣元為參考陣元，則相對于參考陣元的延時可以描述為τni=(n-1)dsin(θi)/c，式中d為均勻線陣陣元間隔。假設(shè)陣元接收到的是中心頻率為ω0的窄帶信號，則第n個陣元接收信號為：

nn(t) n=1,2,…,N

(6)

將式(6)寫成矢量形式如下:

X(t)=AS(t)+N(t)

(7)

式中：X(t)=[x1(t),x2(t),…,xN(t)]T為N維接收數(shù)據(jù)矢量；S(t)=[s1(t),s2(t),…,sK(t)]T為K維信號矢量；N(t)=[n1(t),n2(t),…,nN(t)]T為N維噪聲矢量;A=[a(θ1),a(θ2),…,a(θK)]為N×K維陣列流型矩陣。

2.2 過完備原子庫建立

根據(jù)陣列流形結(jié)構(gòu)建立過完備原子庫。原子庫結(jié)構(gòu)需要盡可能地逼近信號結(jié)構(gòu)，并能用盡可能少的原子最佳線性表示信號，由此可建立如式(8)所示的過完備原子庫的原子：

i=1,2,…,P

(8)

X=ΨZ+N

(9)

其中，Z為信號S在原子庫的稀疏系數(shù)矩陣。

2.3 聯(lián)合稀疏模型

系統(tǒng)快拍數(shù)為L，第i次快拍數(shù)接收的信息矢量為yi，稀疏系數(shù)矢量為zi，噪聲矢量為ni，且滿足均值為零方差為σ2的復(fù)正態(tài)分布，根據(jù)CS理論可得：

Y=ΦX=ΦΨZ+ΦN=ΘZ+ΦN

(10)

3 信號重構(gòu)算法

3.1 聯(lián)合稀疏模型SVD處理

針對降低運(yùn)算量和復(fù)雜度的要求，基于子空間思想對接收到的信息矩陣進(jìn)行SVD降維處理，提取信號子空間。傳統(tǒng)的子空間算法對協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征分解時要求信號不相關(guān)，當(dāng)信號相關(guān)時，協(xié)方差矩陣會出現(xiàn)損秩，降低測向性能。筆者在不要求信號是否相關(guān)的條件下，對式(10)的信息矩陣進(jìn)行降維處理：

Y=UΣVH=[USUN]Σ[VSVN]H

(11)

式中:U和V是正交矩陣；矩陣Σ對角線元素按照由大到小排列，即σ1≥σ2≥…≥σK≥σK+1≥…≥σM。信號子空間矩陣US由K個大奇異值對應(yīng)的左奇異向量組成，而噪聲子空間UN由其余M-K個小奇異值對應(yīng)的左奇異值向量組成。在信源數(shù)已知的條件下進(jìn)一步推導(dǎo)可得M×K維的信號子空間US=YS=UΣΒK=YVΒK,其中,ΒK=[IK0]H，IK為K×K維單位矩陣，0為K×(L-K)維零矩陣。同時可得ZS=ZΣΒK，NS=NΣΒK，由此代入式(11)可得降維表示式：

YS=ΘZS+ΦΝS

(12)

由式(12)可知，通過SVD處理信息，矩陣由M×L維降為M×K維，尤其在大快拍數(shù)條件下，求解式(12)可以顯著降低運(yùn)算時間，并且由初等列變換得到的ZS與系數(shù)矩陣Z具有相同的稀疏特性，故求解式(12)是具有可行性的。另外，從上述分析可知，SVD分解實(shí)質(zhì)是一個信號分量累積的過程，使得在低信噪比的條件下也具有較好的估計(jì)性能。

3.2 SVD-MGPSR算法

傳統(tǒng)的GPSR算法是利用拉格朗日乘法將式(4)改寫成如下無約束凸優(yōu)化問題：

(13)

其中，τ(>0)稱為拉格朗日因子或者正則因子。引入正則因子的目的是在抑制噪聲干擾和稀疏特性上有效均衡。目標(biāo)函數(shù)中l(wèi)2范數(shù)項(xiàng)表征重構(gòu)信號與原始信號能量差值，來抑制噪聲的影響，而l1范數(shù)項(xiàng)表征重構(gòu)信號的稀疏度。通過將zS中的值分為同維數(shù)的正部分u和負(fù)部分v，即ui=(zSi)+、vi=(-zSi)+,i=1,2,…,N，可以把式(13)轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)的邊界約束二次規(guī)劃(bound-constrained quadratic programming, BCQP)問題：

首先，SVD-MGPSR算法的目標(biāo)函數(shù)如式(15)所示：

(15)

(16)

(17)

根據(jù)矩陣求跡運(yùn)算性質(zhì)可將式(17)進(jìn)一步化簡為：

(18)

(19)

(20)

4 仿真分析

筆者仿真針對遠(yuǎn)場窄帶信號模型，與已有的MUSIC算法、MVDR算法和JLZA-DOA算法進(jìn)行比較，來驗(yàn)證筆者SVD-MGPSR算法的性能。仿真中，空間信號隨機(jī)采樣均采用16個陣元的均勻線陣，陣元間距為半波長，信號幅度服從零均值、方差為1的復(fù)高斯變量，且與復(fù)高斯白噪聲互不相關(guān)。SVD-MGPSR算法中測量矩陣采用隨機(jī)高斯矩陣，且參量τ定義為：

利用均方根誤差作為估計(jì)的性能指標(biāo)，DOA估計(jì)均方根誤差定義為：

實(shí)驗(yàn)1 假設(shè)空間3個非相干信號分別以θ1=0°、θ2=49°和θ3=61°方向入射，信噪比為3 dB，快拍數(shù)L=100，比較SVD-MGPSR算法與其他3種算法的歸一化空間譜。圖1給出了4種算法的歸一化空間譜圖，從圖1中可以看出：SVD-MGPSR算法比其他3種算法具有較窄的主瓣寬度和較低的旁瓣，其空間譜類似于針狀，具有較高的角度分辨率，且旁瓣沒有波動現(xiàn)象，噪聲對新算法測向性能影響較小。

圖1 非相干信號空間譜

實(shí)驗(yàn)2 假設(shè)空間入射角度分別為θ1=49°和θ2=61°的兩個非相干信號。圖2為各算法在快拍數(shù)L=100和信噪比SNR=-5 dB:10 dB條件下，每個信噪比做50次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)時DOA估計(jì)均方根誤差變化情況；圖3為在SNR=15 dB和快拍數(shù)L=25:5:50情況下，每個快拍數(shù)做50次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)時4種算法的均方根誤差變化情況。從圖2和圖3可以看出：在低信噪比、小快拍數(shù)條件下SVD-MGPSR算法和JLZA-DOA算法的均方根誤差明顯小于MUSIC算法和MVDR算法，具有較高的測向精度，能夠保證在低信噪比、小快拍數(shù)條件下的測向性能；當(dāng)信噪比足夠高、快拍數(shù)足夠大時各算法均方根誤差相差不大具有相近的測向性能。

實(shí)驗(yàn)3 考慮空間3個相干信號，入射角度分別為θ1=0°、θ2=49°和θ3=61°，信噪比為3 dB，快拍數(shù)L=100，由于MUSIC算法和MVDR算法對相干信號失效，故只比較JLZA-DOA算法和SVD-MGPSR算法對相干信號的測向能力，圖4給出了相干信號時兩種算法的歸一化空間譜圖，從圖4可以看出，JLZA-DOA算法對于相干信號不能正確測向，而SVD-MGPSR算法能夠較強(qiáng)地分辨信號且信號相干性對測向影響不大，表現(xiàn)出對相干信號具有較強(qiáng)的DOA估計(jì)能力。

圖2 均方根誤差隨信噪比變化曲線

圖3 均方根誤差隨快拍數(shù)變化曲線

圖4 相干信號空間譜

5 結(jié)論

筆者在壓縮感知框架下建立了聯(lián)合稀疏信號模型，采用奇異值分解進(jìn)行信號降維處理能明顯降低計(jì)算量；與已有算法相比，新算法不僅能在低信噪比、小快拍數(shù)條件下完成高精度估計(jì)，而且也可以對任意相干信號進(jìn)行有效估計(jì)，具有較高的測向精度和角度分辨率。

[1] DAI J S, XU W C, ZHAO D A. Real-valued DOA estimation for uniform linear array with unknown mutual coupling[J]. IEEE Trans on Signal Processing, 2012,92(9):2056-2065.

[2] BURG J P. Maximum entropy special analysis [C]∥Proc of the 37th Meeting of the Society of Exploration Geophsicists.[S.l.]:[s.n.],1967:1213-1213.

[3] CAPON J. High-resolution frequency-wave number spectrum analysis [J].Proc IEEE, 1969,57(8):1408-1418.

[4] SCHIMIDT R O. A signal subspace approach to multiple emitter location and spectrum estimation [D]. Stanford: Stanford University, 1981.

[5] ROY R，KAILATH T．ESPRIT-estimation of signal parameters via rotational invariance techniques [J]. IEEE Trans on Acoustics Speech and Signal, 1986,37(7):984-995.

[6] DONOHO D L. Compressed sensing [J]. IEEE Trans on Information Theory, 2006,52(4):1289-1306.

[7] YANG Z, XIE L H, ZHANG C S. Off-grid direction of arrival estimation using sparse bayesian inference [J]. IEEE Trans on Signal Processing, 2013,61(1):38-43.

[8] 賀亞鵬,李洪濤,王克讓,等.基于壓縮感知的高分辨DOA估計(jì)[J].宇航學(xué)報,2011,32(6):1344-1349.

[9] MD M H, KAUSHIK M. Direction-of-arrival estimation using a mixedl2,0norm approximation [J]. IEEE Trans on Signal Processing, 2010,58(9):4646-4655.

[10] FIGUEIREDO A T, ROBERT R D, WRIGHT S J. Gradient projection for sparse reconstruction: application to compressed sensing and other inverse problems [J]. IEEE Journal of Selected Topics in Signal Processing, 2007,1(4):586-597.

[11] STROHMER T. Measure what should be measured: progress and challenge in compressive sensing[J]. IEEE Trans on Signal Processing Letters, 2012,19(12):887-893.

[12] 林波.基于壓縮感知的輻射源DOA估計(jì)[D].長沙：國防科技大學(xué),2010.

[13] 石光明,劉丹華,高大化.壓縮感知回顧與展望[J].電子學(xué)報,2009,37(5):1070-1081.

[14] SHISHKIN S L. Fast and robust compressive sensing method using mixed hadamard sensing matrix [J]. IEEE Journal on Emerging and Selected Topics in Circuits and Systems, 2012,2(3):353-361.

[15] BARZILAI J, BORWEIN J. Two point step size gradient methods [J]. IMA Journal of Numerical Analysis, 1988,8(1):141-148.

BAO Xiaolei:Lect.; School of Communication and Information, Shanghai Technical Institute of Electronics & Information, Shanghai 201411, China.

[編輯：王志全]

Sparse Reconstruction DOA Estimation Algorithm Based on Compressive Sensing Theory

BAOXiaolei,QUXinggen,WANGZhuoying

Based on the sparse property of the spatial targets distribution and the idea of compressive sensing (CS) theory, a multi-measurement gradient projection for sparse reconstruction algorithm based on singular value decomposition (SVD) was proposed, in which a multi-targets DOA estimation problem can be translated into a sparse signal reconstruction problem. Firstly, the signal was joint sparse representation by establishing an over-complete atom dictionary according to array manifold matrix. Then, SVD of information matrix of compressive sampling was done to reduce the amount of computation greatly. Finally, the sparse signal was reconstructed based on multi-measurement vectors gradient projection for sparse signal reconstruction algorithm so as to achieve DOA estimation. Compared with existing algorithm, the proposed algorithm not only has a smaller mean square error in the low SNR but also is able to correctly estimate the coherent signal. Moreover, it offers higher direction finding precision and angular resolution. The simulation results verify its effectiveness.

compressive sensing; DOA estimation; SVD; gradient projection

2015-08-25.

包曉蕾(1981-)，女，山東煙臺人，上海電子信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院通信與信息工程系講師.

上海市教育委員會教育發(fā)展基金資助項(xiàng)目(09CGB06).

2095-3852(2015)06-0827-05

A

TN911

10.3963/j.issn.2095-3852.2015.06.036