蔣 冉，劉子先

(天津大學(xué) 管理與經(jīng)濟學(xué)部，天津 300072)

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考慮預(yù)防性維修的二維延伸產(chǎn)品保證策略

蔣 冉，劉子先

(天津大學(xué) 管理與經(jīng)濟學(xué)部，天津 300072)

針對產(chǎn)品保證服務(wù)成本持續(xù)上升的問題，將預(yù)防性維修與修正性維修有效集成，提出了考慮預(yù)防性維修的二維延伸產(chǎn)品保證策略，建立了以保證服務(wù)成本最小為目標的保證服務(wù)成本模型，并對不同使用率下的保證服務(wù)成本進行優(yōu)化以確定最優(yōu)的保證策略。采用數(shù)值分析方法將其與最小維修策略進行對比，結(jié)果顯示保證服務(wù)成本有了顯著的降低。

產(chǎn)品保證；預(yù)防性維修；保證服務(wù)成本模型；保證策略

隨著競爭的加劇，對于像汽車這樣的產(chǎn)品，產(chǎn)品保證條款越來越成為促進產(chǎn)品銷售的重要因素，同時越來越多的制造商更加傾向于提供延伸產(chǎn)品保證為所售產(chǎn)品提供額外的保險。但是隨著產(chǎn)品保證范圍的不斷擴大，產(chǎn)品發(fā)生失效的概率也隨之遞增，使得制造商根據(jù)保證策略為消費者提供保證服務(wù)的成本不斷增加。由于預(yù)防性維修可以降低產(chǎn)品發(fā)生失效的概率并提高產(chǎn)品的可靠性，從而降低制造商的產(chǎn)品保證成本，因此筆者進行了考慮預(yù)防性維修的二維延伸產(chǎn)品保證策略研究。

目前，很多學(xué)者對考慮預(yù)防性維修的一維保證策略進行了深入研究，CHUN[1]首次將產(chǎn)品保證與維修策略聯(lián)系起來，研究了免費保證及修正性保證下考慮預(yù)防性維修的最優(yōu)保證更換策略。隨后YEH等[2]研究了可修產(chǎn)品的預(yù)防性維修保證，在役齡回退維修計劃下建立保證成本模型，通過有效的算法優(yōu)化求解，指出存在唯一的最優(yōu)預(yù)防性維修保證策略使得期望預(yù)防性維修保證成本最小。KIM等[3]分別從消費者及制造商的角度出發(fā)，設(shè)計出保修產(chǎn)品的預(yù)防性維修研究框架。CHANG等[4]則從制造商的角度提出當產(chǎn)品的壽命達到時間控制限時實施預(yù)防性維修的策略，以此確定可修產(chǎn)品的最優(yōu)預(yù)防性維修策略及延長保證周期使得制造商總利潤最大化。

隨著研究的不斷深入，已有不少學(xué)者對二維產(chǎn)品保證策略進行了研究，但是主要集中在二維基礎(chǔ)產(chǎn)品保證策略研究。ISKANDAR等[5]首次將一維產(chǎn)品保證下的維修策略擴展到二維產(chǎn)品保證策略，其將產(chǎn)品保證區(qū)域分為兩個不相交的子區(qū)域，提出在劃分區(qū)域內(nèi)發(fā)生的失效全部采用最小維修或者全部更換的策略。在此基礎(chǔ)上ISKANDAR等[6]進行了擴展研究，其將二維免費維修產(chǎn)品保證區(qū)域劃分為Ω1、Ω2和Ω3這3個不相交的子區(qū)域，每個子區(qū)域?qū)τ诎l(fā)生失效的部件都有相應(yīng)維修度的維修策略，通過確定這些子區(qū)域的邊界使得單位期望成本最小化。于儉等[7]則在類似的保證服務(wù)策略中考慮了不完全維修，即在保證區(qū)域內(nèi)的特定區(qū)域首次失效采用不完全維修將其修復(fù)，而其他的故障則由最小維修將其修復(fù)。另外BANERJEE等[8]、JACK等[9]及于儉等[10]也進行了類似的研究。CHUKOVA等[11-12]則將保證區(qū)域劃分為4個及n個子區(qū)域進行類似的研究。以上研究只是針對二維基礎(chǔ)產(chǎn)品保證區(qū)域內(nèi)沒有考慮預(yù)防性維修的簡單保證策略研究。目前關(guān)于二維延伸性產(chǎn)品保證下的維修策略的研究不多，主要有SHAHANAGHI等[13]對產(chǎn)品的失效模型進行了分析，在此基礎(chǔ)上建立了考慮周期性不完全預(yù)防性維修的二維延伸產(chǎn)品保證服務(wù)成本模型，以最優(yōu)的預(yù)防性維修策略使得期望保證服務(wù)成本最小化。SU等[14]研究了最小維修策略、最小不完全維修策略，以及最小完全維修策略的一維延長保證和二維延伸產(chǎn)品保證策略，指出二維延伸性產(chǎn)品保證要優(yōu)于一維延長保證，最小維修方式適合較短的保證周期，而最小完全維修策略適用于長期保證。仝鵬等[15]研究了結(jié)合最小維修與不完全維修的二維汽車產(chǎn)品延伸產(chǎn)品保證策略。

筆者在文獻[4]研究的基礎(chǔ)上，提出將產(chǎn)品的壽命達到時間控制限時實施預(yù)防性維修的方法應(yīng)用到二維延伸性產(chǎn)品保證策略的研究，根據(jù)該策略建立相應(yīng)的產(chǎn)品保證服務(wù)成本模型，并進行相應(yīng)的策略優(yōu)化和成本數(shù)值分析。

1 模型構(gòu)建

1.1 模型假設(shè)與數(shù)學(xué)符號

在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型前，提出以下基本假設(shè)：

(1)產(chǎn)品是廣義的可修產(chǎn)品，產(chǎn)品的失效率在整個保證范圍內(nèi)隨著時間及使用率遞增；

(2)在基礎(chǔ)保證期內(nèi)的所有失效都采用最小維修方式進行修復(fù)；

(3)整個保證范圍內(nèi)不考慮更換方式；

(4)與產(chǎn)品的失效間隔時間相比，實施最小維修及預(yù)防性維修的時間可以忽略不計；

(5)二維延伸產(chǎn)品保證在基礎(chǔ)保證結(jié)束后立即生效。

模型中所的數(shù)學(xué)符號及含義如表1所示。

表1 模型中的數(shù)學(xué)符號及含義

1.2 模型描述

1.2.1 失效模型

產(chǎn)品的失效是使用時間、使用程度等因素共同作用的結(jié)果，在二維產(chǎn)品保證下則主要考慮使用時間及使用程度對產(chǎn)品失效過程的影響。假設(shè)特定使用者的產(chǎn)品使用率R為常數(shù)，但不同使用者其使用率是不同的。使用率R可以看成是具有概率密度函數(shù)g(r),0≤r<∞(累計分布函數(shù)為G(r))的非負隨機數(shù)。在R=r的條件下，使用程度μ是使用壽命t的線性函數(shù)，即μ=rt。

在這種情形下，失效函數(shù)則成為使用壽命t和使用率r的函數(shù)，即λ(t|r)。λ(t|r)δt則表示產(chǎn)品在t時刻運行，但是在[t,t+δt)內(nèi)失效的概率。如果發(fā)生失效時采用最小維修方式，那么產(chǎn)品的失效過程為非齊次泊松過程。ISKANDAR等建議在R=r的條件下，λ(t|r)的形式為:

λ(t|r)=θ0+rθ1+(θ2+rθ3)t2

(1)

其中,確定性系數(shù)θi>0，0≤i≤3。

1.2.2 二維延伸性保證策略描述

筆者考慮的二維免費維修產(chǎn)品保證范圍是由時間及使用程度圍成的矩形區(qū)域，即基礎(chǔ)保證區(qū)域為[0,WB]×[0,UB]，延伸性保證區(qū)域為[WB,WE]×[UB,UE]。由于使用者的使用率不同，那么基礎(chǔ)保證及延伸保證區(qū)域也不同，二維延伸產(chǎn)品保證區(qū)域見表2。假設(shè)在基礎(chǔ)保證區(qū)域內(nèi)所有的失效都采用最小維修方式進行修復(fù)，即經(jīng)過最小維修后產(chǎn)品的失效率和失效前一刻的失效率相同，產(chǎn)品由失效狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)檫\行狀態(tài)，則產(chǎn)品的失效過程為非齊次泊松過程。在二維延伸產(chǎn)品保證區(qū)域內(nèi)采用不完全預(yù)防性維修方式，即當產(chǎn)品的壽命達到控制限θ(τ1≤θ<τ2)時實施預(yù)防性維修，此時T1=θ。Tj(j=1,2,…,n)為實施預(yù)防性維修的時間，每次預(yù)防性維修之后產(chǎn)品的壽命減少x(0

表2 二維延伸性產(chǎn)品保證策略的保證區(qū)域

注：r1=UB/WB,r2=UE/WE

圖1 預(yù)防性維修對故障率的影響

(2)

筆者根據(jù)產(chǎn)品使用者的使用率將二維延伸保證區(qū)域分為r1

2 延伸產(chǎn)品保證服務(wù)成本模型

為了分析和建立延伸產(chǎn)品保證服務(wù)成本模型，在R=r的條件下，筆者假設(shè)基本產(chǎn)品保證實際結(jié)束時間為τ1，延伸產(chǎn)品保證實際結(jié)束時間為τ2。在[τ1,τ2]內(nèi)實施n次預(yù)防性維修，令T0=τ1，則Tj(j=1,2,…,n)應(yīng)該滿足τ1=T0≤T1≤T2≤…≤Tn≤τ2。每次預(yù)防性維修的成本為Cp，那么延伸保證區(qū)域內(nèi)的預(yù)防性維修成本為：

ECp=nCp

(3)

根據(jù)上述模型描述可知，在連續(xù)兩次預(yù)防性維修時間間隔內(nèi)所有的失效都采用最小維修方式進行修復(fù)，每次最小維修的平均成本為Cm。由于每次實施預(yù)防性維修，產(chǎn)品的壽命都會減少x個單位時間，那么在[Tj,Tj+1](j=0,1,2,…,n-1)內(nèi)產(chǎn)品的失效函數(shù)為λ(t-jx|r)。因此在該區(qū)間內(nèi)最小維修成本為：

Cm[Λ(Tj+1-jx|r)-Λ(Tj-jx|r)]=

Cm[Λ(θ|r)-Λ(θ-x|r)]

(4)

同理可得，在[Tn,τ2]內(nèi)的最小維修成本為:

Cm[Λ(τ2-nx|r)-Λ(Tn-nx|r)]=

Cm[Λ(τ2-nx|r)-Λ(θ-x|r)]

(5)

由以上分析可知，在R=r的條件下，延伸性產(chǎn)品保證服務(wù)成本為：

也即:

ECr(n,x,θ)=nCp+Cm{n[Λ(θ|r)-Λ(θ-x|r)]+Λ(τ2-nx|r)-Λ(τ1|r)}

(6)

(1)r1

當r

x|r)]+Λ(WE-nx|r)-Λ(WB|r)}

(7)

同理可得，當r1

(8)

(9)

當不考慮R=r條件時，即考慮所有的使用率時，期望延伸性保證服務(wù)成本模型為：

(10)

圖2 r

(2)r2

當r

當r2

當r1

當不考慮R=r的條件時，即考慮所有的使用率時，期望延伸性保證服務(wù)成本模型為：

(12)

(3)R=r條件下的保證策略優(yōu)化。筆者主要是研究考慮預(yù)防性維修的二維延伸產(chǎn)品保證策略優(yōu)化，確定預(yù)防性維修的次數(shù)n及預(yù)防性維修之后產(chǎn)品壽命減少值x，使期望保證服務(wù)成本最小化。基于以上分析，在R=r的條件下，對式(6)分別關(guān)于θ和x求偏導(dǎo)，可得：

nCm[λ(θ|r)-λ(θ-x|r)]

(13)

nCm[λ(θ-x|r)-λ(τ2-nx)]

(14)

3 數(shù)值分析

筆者所指的產(chǎn)品可以是具有二維免費維修延伸保證產(chǎn)品的一個部件或者模塊化單元。產(chǎn)品保證區(qū)域為由時間和使用程度圍成的矩形區(qū)域，時間以年為單位，使用程度為10 000km。設(shè)WB=2年，UB=2×10 000 km,WE=5年,UE=10×10 000 km。則可知此時r1=1,r2=2，屬于r1

從表3及圖3可以看出在不同的使用率條件下，實施了預(yù)防性維修服務(wù)策略后的二維延伸產(chǎn)品保證服務(wù)成本與傳統(tǒng)的失效發(fā)生后采用最小維修方式進行修復(fù)的保證服務(wù)成本相比下降顯著。在r

表3 不同使用率下的最優(yōu)預(yù)防性維修策略

圖3 不同使用率下的保證服務(wù)成本

4 結(jié)論

筆者在理論上研究了考慮預(yù)防性維修的二維延伸保證策略，即當產(chǎn)品的壽命達到時間控制限時即實施預(yù)防性維修，在此基礎(chǔ)上建立了二維延伸性產(chǎn)品保證服務(wù)成本模型，并將該模型的結(jié)果與發(fā)生失效時全部采用最小維修方式進行修復(fù)相比較，比較的結(jié)果顯示在不同的產(chǎn)品使用率條件下，當產(chǎn)品的壽命達到預(yù)先設(shè)置的時間限時實施預(yù)防性維修可以顯著地降低產(chǎn)品的保證服務(wù)成本。該策略可以為制造商或者提供服務(wù)的第三方制定延伸保證策略提供參考，同時該服務(wù)策略容易實施。但是筆者假定預(yù)防性維修的成本是常數(shù)，而預(yù)防性維修成本在實際應(yīng)用中應(yīng)是維修后壽命降低值的函數(shù)，未來可以研究預(yù)防性維修成本變化對產(chǎn)品保證策略的影響；同時該模型并未考慮延伸產(chǎn)品保證的售價，未來應(yīng)對制造商或提供產(chǎn)品保證的第三方利潤及延伸產(chǎn)品保證的定價進行研究。

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JIANG Ran:Postgraduate; School of Management and Economics, Tianjin University, Tianjin 300072, China.

[編輯：王志全]

Two-dimensional Extended Warranty Strategy Considering Preventive Maintenance

JIANGRan,LIUZixian

Due to the problem of rising warranty service cost, the preventive maintenance and the corrective maintenance were integrated; and a new two-dimensional warranty strategy considering the preventive maintenance was proposed to solve this problem. A mathematical model of warranty cost was developed to minimize the warranty cost. The optimal warranty strategy was derived to optimize the warranty cost based on the different usage rates. Finally, numerical analysis was compared with the cost of minimal repair strategy. The results indicate that the warranty cost is reduced significantly.

warranty; preventive maintenance; warranty service cost model; warranty strategy

2015-07-12.

蔣冉(1989-)，女，山東棗莊人，天津大學(xué)管理與經(jīng)濟學(xué)部碩士研究生.

國家自然科學(xué)基金資助項目(71171142)；高等學(xué)校博士學(xué)科點專項科研基金資助項目(20110032110034).

2095-3852(2015)06-0816-06

A

F224

10.3963/j.issn.2095-3852.2015.06.034