趙世瑜

摘 要：關(guān)系映射反演方法即RMI方法，它是數(shù)學(xué)中一個(gè)極普遍的方法原則，此方法是徐治利先生在60年代研究組合數(shù)學(xué)的時(shí)候提出的一種數(shù)學(xué)方法論，在代數(shù)、三角函數(shù)、幾何、微積分等方面有著廣泛的應(yīng)用。《九章算術(shù)》是中國(guó)古代的數(shù)學(xué)專著，內(nèi)容十分豐富，分成了方田、粟米、差分、少?gòu)V、商功、均輸、方程、贏不足、旁要九個(gè)部分。該文主要通過該原理在中國(guó)古代數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，介紹其思想與含義，說明其有化難為易、化生為熟、化繁為簡(jiǎn)的功能，從而提高我們抽象分析和應(yīng)用數(shù)學(xué)工具的能力。

關(guān)鍵詞：RMI原理 映射 反演

中圖分類號(hào)：O1-0 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2014）10（b）-0131-01

關(guān)系映射反演方法是一種數(shù)學(xué)方法，那么什么是數(shù)學(xué)方法呢？其實(shí)不同的人對(duì)它有不同的理解，工程師會(huì)把它理解為數(shù)學(xué)模型方法與計(jì)算方法；科學(xué)工作者會(huì)把它理解為描述客觀規(guī)律、進(jìn)行定量分析的工具；數(shù)學(xué)研究人員則常常把它與“單純形法”“差分法”等專業(yè)方法相聯(lián)系；實(shí)際上數(shù)學(xué)方法體系同數(shù)學(xué)科學(xué)本身一樣是極為多樣的，與此對(duì)應(yīng)的是大量不同的關(guān)于數(shù)學(xué)方法的分類，其可分為四個(gè)層次：一是數(shù)學(xué)發(fā)展和創(chuàng)新的方法；二是運(yùn)用數(shù)學(xué)理論研究和表述事物的內(nèi)在聯(lián)系和運(yùn)動(dòng)規(guī)律的方法；三是具有一般意義的數(shù)學(xué)解題的方法；四是特殊的數(shù)學(xué)解題方法。關(guān)系映射反演方法自20世紀(jì)60年代提出以來，在數(shù)學(xué)中已有著十分廣泛和重要的應(yīng)用。在一個(gè)數(shù)學(xué)問題里，一些未知元素與已知元素原像之間有一定的關(guān)系，若希望由此求得未知元素，但直接求解比較困難，這時(shí)可尋找一個(gè)映射一一對(duì)應(yīng)，把原像關(guān)系映射成“映像關(guān)系”，通過映像關(guān)系求得未知元素的映像。最后從未知元素的映像通過逆對(duì)應(yīng)稱為“反演”，求得未知元素，這種研究問題的思路稱為關(guān)系映射反演方法。關(guān)系映射反演方法是一種把較困難的問題轉(zhuǎn)化為較容易處理的，使原問題最終獲得解決的方法，在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和數(shù)學(xué)解題中有著多方面的作用。下面我們就看看用關(guān)系映射反演方法如何在中國(guó)古代傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中應(yīng)用的體現(xiàn)。

戰(zhàn)國(guó)時(shí)期，各諸侯國(guó)相繼完成了向封建制度的過渡。思想界、學(xué)術(shù)界諸子林立，百家爭(zhēng)鳴，異常活躍，為數(shù)學(xué)和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展創(chuàng)造了良好的條件。盡管沒有一部先秦的數(shù)學(xué)著作留傳到后世，但是，人們通過田地及國(guó)土面積的測(cè)量、粟米的交換、收獲及戰(zhàn)利品的分配、城池的修建、水利工程的設(shè)計(jì)、賦稅的合理負(fù)擔(dān)、產(chǎn)量的計(jì)算，以及測(cè)高望遠(yuǎn)等生產(chǎn)生活實(shí)踐，積累了大量的數(shù)學(xué)知識(shí)。據(jù)東漢初鄭眾記載，當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)知識(shí)分成了方田、粟米、差分、少?gòu)V、商功、均輸、方程、贏不足、旁要九個(gè)部分，稱為“九數(shù)”。九數(shù)確立了《九章算術(shù)》的基本框架，其中就有盈不足術(shù)。從中國(guó)古代理論的淵源來說，盈不足術(shù)無疑是我國(guó)古代獨(dú)立的創(chuàng)造，實(shí)質(zhì)也是RMI的表現(xiàn)。在數(shù)學(xué)發(fā)展的早期，要解決復(fù)雜的問題很不容易，中國(guó)古算家通過兩次假設(shè)與檢驗(yàn)（如劉徽所謂的“課”），即把實(shí)際的應(yīng)用問題構(gòu)造成特定的盈不足模式。盈不足術(shù)的大概思想過程表示如下：設(shè)每人出錢，盈錢；每人出錢，不足錢，求物價(jià)x和人數(shù)y。有公式：，

當(dāng)然，我們還可以算出每人應(yīng)該分?jǐn)偟腻X數(shù)：

例如《九章算術(shù)》盈不足章開宗明義的第十五題：今有漆三得油四，油四和漆五。今有漆三斗，欲令分以易油，還自和余漆。問：出漆、得油、和漆各幾何？答曰：出漆一斗一升、四分升之一，得油一斗五升，和漆一斗八升，四分升之三。術(shù)曰：假令出漆九升，不足六升。令之出漆一斗二升，有余二升。注：“得”，獲得，交換，“漆三得油四”即漆三分可換得油四分。“和”，混合，參合。

解：按照術(shù)文的陳述，先把問題首次轉(zhuǎn)化為盈不足問題，由題意得a1為9，b1為6，a2為12，b1為2；

再用盈不足術(shù)求解，則“出漆”：

L，“出漆”L。

上述過程中表現(xiàn)出的RMI方法的思想過程可表示為如圖1所示。

這實(shí)際上是數(shù)學(xué)問題的一種“模式化”構(gòu)造過程，即RMI中的映射。通過這種模式化構(gòu)造，一般應(yīng)用問題（這相當(dāng)于RMI中的原像）就轉(zhuǎn)化為特定的盈不足問題（這相當(dāng)于RMI中的像）求解。這說明通過映射可將原像定映成像。盈不足的構(gòu)造為人們提供了處理問題的RMI方法，因?yàn)閱栴}本身是來自原理型的，是實(shí)現(xiàn)中的問題。其中許多都是較復(fù)雜的實(shí)際問題，當(dāng)以兩次假設(shè)提出盈不足構(gòu)成問題時(shí)，實(shí)現(xiàn)了從現(xiàn)實(shí)型到盈不足模型的對(duì)應(yīng)關(guān)系這是映射，此時(shí)的問題已是模型化了的問題，這是定映像；盈不足術(shù)即是針對(duì)這種數(shù)學(xué)模型的算法，由于具有一般性和機(jī)械性的特點(diǎn)，按程序一步步運(yùn)算即得盈不足公式，把問題中的數(shù)據(jù)代入公式，得盈不足問題的解，再回到實(shí)際問題的解，就是反演。以上就是RMI方法在中國(guó)古代傳統(tǒng)數(shù)學(xué)方面的體現(xiàn)。

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