張杰

教科書里的數(shù)學(xué)知識，有著準(zhǔn)確的定義、邏輯的演繹、嚴(yán)密的推理，被顯性地印在紙上，看起來直觀明了，卻也因此掩蓋了數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造的真實過程，忽略了數(shù)學(xué)家繁復(fù)曲折的數(shù)學(xué)思考。因此，數(shù)學(xué)教師的責(zé)任在于返璞歸真，在符合教育心理規(guī)律的前提下揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，還數(shù)學(xué)本來面目。正因為有這樣的認(rèn)識，在吳正憲老師的數(shù)學(xué)課堂上，我們總能看到吳老師借助一個個的問題，來激起學(xué)生內(nèi)心深處學(xué)習(xí)、求知、探索的欲望。正是有了這樣的激發(fā)，這樣的體驗，學(xué)生探求數(shù)學(xué)知識本源的愿望呼之欲出。吳老師曾經(jīng)說過，教師“不僅要讓學(xué)生知道數(shù)學(xué)結(jié)論，更要帶著學(xué)生溯本求源去尋根。讓學(xué)生看到知識背后的知識，還有知識背后的思考”。下面就讓我們一起走進(jìn)吳老師的追本溯源的尋根課堂吧。

一、在體驗中“追本”

在課堂教學(xué)中，有教師常常習(xí)慣性地將成人的觀念，披上所謂“知識”的外衣，用標(biāo)準(zhǔn)化答案的方式灌輸給學(xué)生，剝奪了學(xué)生體驗與感悟的過程。如有教師在教學(xué)“面積單位”一課時偏重于面積的計算和單位的換算，一味強調(diào)1平方厘米、1平方分米和1平方米各有多大。此舉看似重視了學(xué)生空間觀念的建立，殊不知卻忽視了量的實際意義。試想沒有觸及學(xué)生心靈深處的“知識”，如何能夠?qū)さ綌?shù)學(xué)的“根”呢？

同樣是“面積單位”一課，在吳老師的課堂上卻無時無刻不在開展以學(xué)生體驗為基礎(chǔ)的教學(xué)活動，吳老師注重結(jié)合實例讓學(xué)生用自選的單位去測量面積，在不斷的矛盾沖突中親身體驗統(tǒng)一面積單位的必要性，為此特別設(shè)計了這樣一組情節(jié)：首先請學(xué)生拿出兩張面積大小很接近的長方形和正方形彩紙，想辦法比較出這兩張彩紙誰的面積大？學(xué)生接到任務(wù)，紛紛投入到了探索活動中。很快，有的學(xué)生就發(fā)現(xiàn)了用重合、剪拼的方法能夠很快地比較出兩者的大小，并通過自己的實踐找到了問題的答案。

可是，接下來吳老師提出了一個更具挑戰(zhàn)性的問題，可謂吊足了學(xué)生的胃口：如果是比較兩塊土地的面積誰大，用剛才的方法還行不行？那你們有什么辦法可以比較出土地的大??？在經(jīng)過一番思考后，有的學(xué)生提出可以借用一個物體作標(biāo)準(zhǔn)，先分別測量出兩塊土地的面積，再進(jìn)行比較。有了新的想法，于是課堂上便有了學(xué)生的第二次操作。每組學(xué)生利用學(xué)具袋中的學(xué)具（若干個長方形、正方形、三角形和圓形的紙片）先分別測量出兩張紙的面積，再將測量的結(jié)果進(jìn)行比較。學(xué)生在這次拼擺過程中不僅發(fā)現(xiàn)了圓與圓之間有縫隙，不能準(zhǔn)確測量出圖形的面積。還發(fā)現(xiàn)了因為各小組選擇的測量圖形不同，雖然長方形、正方形、三角形都能準(zhǔn)確測量出圖形的面積，并比較出彩紙的大小，但涉及到大多少這個問題時得到的答案卻不一致。

誰大 大多少

通過動手體驗，學(xué)生們很快得出了這樣一個結(jié)論：需要選擇一個統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)，這樣才便于交流。選誰好呢？這似乎又成為了擺在學(xué)生面前的一個現(xiàn)實問題。不過在這里吳老師并沒有刻意為難學(xué)生，而是直接告訴大家在人類歷史上最終選擇的是用正方形作為測量面積的標(biāo)準(zhǔn)，并請同學(xué)們思考其中的原因。此時，學(xué)生的頭腦中會再次呈現(xiàn)剛才的拼擺過程，在回憶中仿佛又進(jìn)行了一次操作?！叭切纹磾[起來太麻煩了，老對不上。”“長方形因為相鄰兩條邊的長度不同，拼擺起來也比較麻煩。”“對，正方形4條邊長度相等，特別好拼擺?！薄谕瑢W(xué)間的相互啟迪、交流中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)無論是三角形還是長方形最終都可以轉(zhuǎn)化成正方形，因此，人們選擇正方形作為一個統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)還是有道理的。

此時看來問題好像解決了，可接下來的一個游戲卻使學(xué)生剛剛建立起來的認(rèn)知平衡，又一次被無情的事實擊垮了。游戲的內(nèi)容是這樣的：首先請男生閉眼，女生觀察并用語言描述自己所看到的A紙的面積相當(dāng)于幾個小正方形的面積？然后交換角色，男生觀察并用語言描述自己看到的B紙的面積又相當(dāng)于幾個小正方形的面積？如圖：

A B

然后大家都睜開眼，猜一猜哪張彩紙面積大？因為A紙的面積相當(dāng)于4個小正方形的面積，而B紙的面積相當(dāng)于16個小正方形的面積，學(xué)生想當(dāng)然地認(rèn)為B紙面積比A紙面積大?？蓪蓮埣堉睾媳容^的結(jié)果卻是兩張紙的面積一樣大。是什么影響了測量的準(zhǔn)確性？疑問使學(xué)生又一次產(chǎn)生了探索的欲望，他們爭相陳述著自己的見解，當(dāng)謎底揭開的那一刻，學(xué)生都笑了。笑聲中不僅有猜想得到驗證后的欣喜，更提醒著他們今后在選擇正方形作測量標(biāo)準(zhǔn)的同時還要注意統(tǒng)一它的大小。

那多大合適呢？問題似乎一個接著一個，可以說整堂課自始至終學(xué)生都是在操作中體驗，在體驗中質(zhì)疑、思考，在體驗中發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造，在體驗中抽象、提升。

下課的鈴聲響了，盡管學(xué)生沒能有更多的時間在課堂上做一些有關(guān)面積單位的鞏固練習(xí)題，但他們卻在充足的時間內(nèi)用自己的頭腦和雙手進(jìn)行了一次次的實驗和探索，親身經(jīng)歷了數(shù)學(xué)知識的形成過程，對這堂課的“知識”顯然理解得更加透徹，感悟到的也更多了。這難道不比多做幾道練習(xí)題更有價值嗎？

二、在歷史中“溯源”

有句話叫作“不懂歷史的人沒有根”。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)也是一樣。追本溯源的數(shù)學(xué)課堂更應(yīng)該有意識地引導(dǎo)學(xué)生去了解數(shù)學(xué)之源。以“圓的周長計算”一課為例，當(dāng)學(xué)生通過觀察、操作、思考，發(fā)現(xiàn)了“圓的周長總是它直徑的3倍多一些”這個規(guī)律時，通常教師的做法是先肯定學(xué)生發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，然后反問：“到底是3倍多多少呢？”由此引出圓周率π?！皥A周率是怎樣發(fā)現(xiàn)的？”由此引導(dǎo)學(xué)生翻看課本小資料，講述祖沖之的故事并對學(xué)生進(jìn)行德育教育：早在1500年前，祖沖之把圓周率算到了3.1415926和3.1415927之間，比外國人早了整整一千年，這是中華民族對世界數(shù)學(xué)發(fā)展的一個巨大貢獻(xiàn)，今天，同學(xué)們自己動手也發(fā)現(xiàn)了這一規(guī)律，老師相信同學(xué)們當(dāng)中將來也會有人成為像祖沖之一樣偉大的科學(xué)家。根據(jù)需要，在計算中我們一般保留π的兩位小數(shù)。

吳老師在教學(xué)這一內(nèi)容時，并沒有馬上對學(xué)生發(fā)現(xiàn)的規(guī)律予以肯定，而是又提出了新的問題：“用實驗的方法得到的數(shù)據(jù)，受誤差的影響會不夠精確，那怎么辦？到底圓的周長與直徑之間存在的這個3倍多一些的關(guān)系是變化的還是確定不變的？如果是確定不變的又該怎樣得到呢？“這一問題顯然難倒了學(xué)生。因為事實上這個令人頭疼的問題同樣曾經(jīng)困擾了人類數(shù)千年！endprint

此時，學(xué)生們絞盡腦汁，而吳老師正是利用了學(xué)生的這一思維節(jié)點，對圓周率的歷史進(jìn)行了介紹：在古代巴比倫、印度、埃及、中國，由于生產(chǎn)生活的需要，人們用實驗測量的方法就已經(jīng)知道，圓的周長與直徑之比大約為3。公元前2世紀(jì)，中國的《周髀算經(jīng)》里也出現(xiàn)了“周三徑一”的記載。東漢時期官方還明文規(guī)定計算圓大小的標(biāo)準(zhǔn)是取周長與直徑的比值3，后人稱之為“古率”。用這個古率估計圓的面積時，沒有太大影響，但以此來制造精細(xì)的圓形器皿就不太合適了。為求得圓的周長與直徑更精確的比值，人類走過了一條漫長而曲折的道路！

此時，吳老師特別介紹了割圓術(shù)，并借助電腦進(jìn)行了演示。

通過電腦的演示，學(xué)生很直觀地就能發(fā)現(xiàn)正多邊形的邊數(shù)越多越接近圓。

吳老師又提問：此時這個正多邊形的周長仍然只是圓的周長的近似值！但卻是可以控制的了，可以用計算的方法來代替操作測量的方法了，而且這種方法所能達(dá)到的精確程度是操作測量永遠(yuǎn)無法達(dá)到的！我國魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽正是用這樣一種全新的割圓的思想來研究圓的周長與直徑的比值的！這就是著名的——割圓術(shù)！后來，我國另一位偉大的數(shù)學(xué)家祖沖之，繼承并發(fā)揚了劉徽的思想，他將這個比值精確到3.1415926與3.1415927之間，這是人類歷史上第一次將這個比值算得如此精確，并且這個紀(jì)錄保持了將近一千年而無人超越！再后來，歷經(jīng)中外許多數(shù)學(xué)家嘔心瀝血、堅苦卓絕的演算、證明，人們終于認(rèn)識到：圓的周長（C）與直徑（d）的比值，是一個固定不變的數(shù)，是一個無限不循環(huán)的小數(shù)，稱之為圓周率，用希臘字母π來表示。當(dāng)然，人類對圓周率的探索從未停止過，計算機的誕生結(jié)束了人類手工計算π的歷史，目前最新的世界紀(jì)錄是：日本科學(xué)家利用超級計算機已經(jīng)將圓周率算到了小數(shù)點后上萬億位！

這樣一節(jié)數(shù)學(xué)課，除了有數(shù)學(xué)知識的教學(xué)外，還洋溢著濃濃的人文氣息。在揭示圓周率時，吳老師沒有例行公事一樣地推出學(xué)生早已熟悉的祖沖之，進(jìn)行老生常談的愛民族、愛祖國的教育，而是介紹了劉徽的“割圓術(shù)” 。接著談到祖沖之是站在前人的肩膀上才有了將π值精確到小數(shù)點后7位的輝煌成就。在此過程中，學(xué)生親歷正多邊形逼近圓的過程，體會割圓術(shù)中所閃爍的化曲為直、極限等豐富的數(shù)學(xué)思想內(nèi)涵，同時經(jīng)歷了圓周率的研究史。吳老師還在看似簡單的敘述中滲透了數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)思想方法，使學(xué)生體會到人類對真理和完美的追求正像圓周率的小數(shù)位數(shù)無窮無盡一樣，也是永無止境的。使得學(xué)生的心靈徜徉在數(shù)學(xué)的歷史長河里，切身感受著數(shù)學(xué)的文化價值。

吳老師的課堂向我們展示了數(shù)學(xué)極富魅力的一面。呈現(xiàn)在學(xué)生面前的不再是以往數(shù)學(xué)課上乏味單一的定理、公式、計算和題海，而是數(shù)學(xué)的思想、精神和方法。在吳老師的課堂上，我們可以隨時隨地觸覺到數(shù)學(xué)的源頭、數(shù)學(xué)的精神乃至數(shù)學(xué)的力量，似乎呈現(xiàn)在我們眼前的不再是一兩頁薄薄的教材，而是一幅源遠(yuǎn)流長的數(shù)學(xué)畫卷。吳老師讓更多的學(xué)生感受到數(shù)學(xué)雖然從表面上看是枯燥無味的，然而它卻有著一種更為隱蔽的、深邃的美，一種感性與理性交融的美，一種彰顯人文精神的科學(xué)美。

（北京市東城區(qū)教育研修學(xué)院 100000）endprint