林永暉

（永春縣教育局，福建泉州 362600）

數(shù)學(xué)問題的設(shè)計(jì)與學(xué)生創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng)①

林永暉

（永春縣教育局，福建泉州 362600）

設(shè)計(jì)新穎且具有挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)問題，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)識(shí)水平、教材內(nèi)容、課型要求，通過(guò)設(shè)計(jì)趣味型問題、開放型問題、互逆型問題、迷惑型問題、聯(lián)想型問題、探索型問題、應(yīng)用型問題、延展型問題等，讓學(xué)生去思考、探索，在思維活動(dòng)中進(jìn)行創(chuàng)新，多方面培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力。

數(shù)學(xué)問題;創(chuàng)新思維;能力培養(yǎng)

創(chuàng)新依賴于具有創(chuàng)造力的人才，人才依賴于教育。為了培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力，必須設(shè)置適當(dāng)?shù)膯栴}，讓學(xué)生去思考、探索，在思維活動(dòng)中得以創(chuàng)新。在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，應(yīng)根據(jù)學(xué)生的認(rèn)識(shí)水平以及教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)有針對(duì)性的數(shù)學(xué)問題［1］，通過(guò)問題的解決達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維能力的目的。

1 利用趣味型問題，激發(fā)學(xué)生自主學(xué)習(xí)興趣

案例（1） 學(xué)習(xí)《圓的定義》時(shí)，提出:車輪為什么要做成圓形的?能做成三角形、方形、橢圓形嗎?使學(xué)生感到自然、必要和富有趣味，而且引起學(xué)生積極思考，自己找到答案:圓上各點(diǎn)到圓心的距離都相等，可以使車輛在阻力比較小的情況下平穩(wěn)地運(yùn)動(dòng)。

2 利用開放型問題，培養(yǎng)學(xué)生求異思維能力

適當(dāng)開放題目的條件或結(jié)論，為學(xué)生提供自主探索與創(chuàng)新的空間，有利于學(xué)生活躍思維，展示創(chuàng)新意識(shí)和能力。求異思維就是尋求變異、不墨守成規(guī)的一種思維活動(dòng)。在教學(xué)過(guò)程中，教師要鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想，通過(guò)變換思維角度使解題過(guò)程更加簡(jiǎn)潔、解題方法更佳。通過(guò)問題解決的不同方法以及設(shè)計(jì)一些有針對(duì)性的變式問題，從多個(gè)維度培養(yǎng)學(xué)生探索問題的能力，通過(guò)問題的解決達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生求異創(chuàng)新思維能力的目的。

圖1

案例（2） 如圖1，PA、PB切⊙O于A、B，則可以得到哪些結(jié)論?

（PA=PB，OP⊥AB，∠APO=∠BPO，∠AOP=∠BOP ，AC=BC……）

題目只給出條件，學(xué)生通過(guò)探索不但使問題得到解決，同時(shí)拓展了思維，求異思維能力也得到提高。

圖2

案例（3） 如圖2，在△PMQ和△PNQ中，PQ平分∠MPN，為了使這兩個(gè)三角形全等，你認(rèn)為應(yīng)當(dāng)添加一個(gè)什么條件:___________。

學(xué)生的解答哪些是成立的?哪些是不成立的?這就要求我們緊扣全等三角形的判定方法，引導(dǎo)學(xué)生自主探究，通過(guò)辨析起到事半功倍的作用。

3 利用互逆型問題，培養(yǎng)學(xué)生逆向思維能力

逆向思維就是對(duì)司空見慣的似乎已成定論的事物或觀點(diǎn)反過(guò)來(lái)思考的一種思維方式。在教學(xué)過(guò)程中，除了對(duì)學(xué)生進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼蛩季S訓(xùn)練外，還應(yīng)當(dāng)設(shè)計(jì)一些逆向性問題，讓學(xué)生學(xué)會(huì)從問題的不同方向探究解決方法，利用逆向思維與正向思維的相互發(fā)展與促進(jìn)，達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生逆向思維能力的目的。

案例（4） 順次連結(jié)四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)得到的四邊形（也稱四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形）是平行四邊形。證明上述命題后，可進(jìn)行如下的變式:

變式一:平行四邊形、矩形、菱形、正方形的中點(diǎn)四邊形是什么特殊四邊形?

變式二:當(dāng)四邊形ABCD必須滿足什么條件時(shí)，它的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形、菱形、矩形、正方形，從中你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?

其中，變式二就是迫使學(xué)生要進(jìn)行逆向探求，通過(guò)上述問題的解決使學(xué)生的逆向思維能力得到提高。

4 利用迷惑型問題，培養(yǎng)學(xué)生批判思維能力

中學(xué)生敢于對(duì)書本上的知識(shí)或成人的意見提出質(zhì)疑，是因?yàn)樗麄兯伎紗栴}時(shí)受條條框框的束縛較小，可他們的批判性見解經(jīng)常是片面的，有時(shí)甚至是錯(cuò)誤的。教師有必要適時(shí)地設(shè)計(jì)迷惑性較強(qiáng)的問題，讓學(xué)生展開爭(zhēng)論，使他們的批判性思維趨于成熟、準(zhǔn)確。

案例（5） 關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列命題正確的是（ ）:

A．若b=0，則兩根互為相反數(shù)。 B．若a=c，則兩根互為倒數(shù)。

C．若 ac＞0，則兩根同號(hào)。 D．若 ac＜0，則兩根異號(hào)。

對(duì)這道題上當(dāng)受騙的學(xué)生很多，教師應(yīng)及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行辯論，幫助學(xué)生找出產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因，使他們的批判性思維趨于全面和正確。

5 利用聯(lián)想型問題，培養(yǎng)學(xué)生聯(lián)想思維能力

將不同事物聯(lián)系起來(lái)進(jìn)行思考，是培養(yǎng)創(chuàng)造性思維能力的一種重要方式。在數(shù)學(xué)思維活動(dòng)中，比較常見的聯(lián)想思維有類比聯(lián)想、數(shù)形聯(lián)想、反向聯(lián)想和化歸聯(lián)想等。教師在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，可以根據(jù)授課內(nèi)容設(shè)計(jì)聯(lián)想型問題，靈活地運(yùn)用這些方法。

案例（6） 如果下列方程:x2+（2m－1）x+m2=0，4x2+4mx+（m2+m）=0，x2+（2m－3）x+m2=0至少有一個(gè)方程有實(shí)根，求m的值。

此題正面解答相當(dāng)復(fù)雜，可引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想它的反面——三個(gè)方程都無(wú)實(shí)根，問題便迎刃而解。

圖3

案例（7） 如圖3，已知AD為△ABC的角平分線，求證:AB·AC=AD2+DB·DC。

對(duì)這道題學(xué)生常感不知所措，但當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想到“相交弦定理”時(shí)，問題便迎刃而解?！八街梢怨ビ??！痹O(shè)計(jì)聯(lián)想型問題可以讓學(xué)生開闊思維，考慮問題更全面。

6 利用探索型問題，培養(yǎng)學(xué)生探索思維能力

數(shù)學(xué)問題的解決其核心特征就是探索性。通過(guò)設(shè)計(jì)探索性問題，讓學(xué)生在探索中發(fā)現(xiàn)結(jié)論，體驗(yàn)“觀察、猜想、抽象、概括、歸納、證實(shí)”這一思維過(guò)程。

案例（8） 如圖4，若P為等腰ΔABC底邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，求證:P到兩腰的距離之和為定值。

變式一:當(dāng)P在BC延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，P到兩腰的距離之和有什么關(guān)系?

變式二:當(dāng)P在等腰ΔABC所在平面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，P到兩腰的距離之和有什么關(guān)系?

變式三:能否把上述結(jié)論推廣到任意三角形?

圖4

上述問題的解決，需要學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜測(cè)、類比和歸納這一“發(fā)現(xiàn)”過(guò)程，通過(guò)問題的解決，使學(xué)生形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。

案例（9） 如圖5，在平面上，平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A、B、C、D到直線m的距離分別為a，b，c，d。1）求證:a+c=b+d;2）若把直線m向上平行移動(dòng)，1）中的結(jié)論將怎樣變化?證明之。

直線m向上平行移動(dòng)過(guò)程中，1）中的結(jié)論依然成立。把“運(yùn)動(dòng)”思想滲透到數(shù)學(xué)內(nèi)容之中，讓學(xué)生在運(yùn)動(dòng)中探究問題的本質(zhì)。

圖5

7 利用應(yīng)用型問題，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用思維能力

數(shù)學(xué)是人們生活、勞動(dòng)和學(xué)習(xí)必不可少的工具，設(shè)計(jì)應(yīng)用型問題，給學(xué)生營(yíng)造一種生動(dòng)的現(xiàn)實(shí)環(huán)境和實(shí)際需求，讓他們利用所學(xué)知識(shí)解決生活中遇到的數(shù)學(xué)問題，并自己發(fā)現(xiàn)規(guī)律和概括數(shù)學(xué)模型。

案例（10） 把“作△ABC的內(nèi)切圓”的問題改為:“有一塊△ABC木板，今要截出一個(gè)最大的圓形材料，應(yīng)怎樣截取?”

對(duì)這道題目，學(xué)生帶著懸念學(xué)習(xí)，探究意識(shí)很濃。設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)問題，要盡量選擇學(xué)生熟悉的情境作為背景，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用，達(dá)到強(qiáng)化學(xué)生學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)的目的，在探索實(shí)際問題中培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新素質(zhì)。

案例（11） 把長(zhǎng)40米、寬30米的矩形場(chǎng)設(shè)計(jì)成花園，要求:花壇所占面積為場(chǎng)地面積的一半，整個(gè)場(chǎng)地成軸對(duì)稱和中心對(duì)稱圖形。畫出圖形，寫出方案，列出方程并計(jì)算出有關(guān)數(shù)據(jù)。

因所提供的結(jié)論與學(xué)生所構(gòu)造的解答之間沒有必然唯一確定的聯(lián)系，學(xué)生解答這樣的問題不僅需要具有一定的數(shù)學(xué)推理能力，更需要具有分析問題和解決問題的能力。

8 利用延展型問題，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力

延展型問題是指能夠進(jìn)行變化、延伸和拓展的問題。對(duì)例習(xí)題加以延伸和拓展，不僅能使學(xué)生鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，而且能提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，培養(yǎng)發(fā)散創(chuàng)新思維。

案例（12） 如圖6，⊙O1與⊙O2的半徑分別為R、r，⊙O1與⊙O2外切于點(diǎn)M，過(guò)M的直線分別交⊙O1、⊙O2于A、B．你能得到什么結(jié)論?

拓展一:如圖7，過(guò)點(diǎn)M的另一條直線交⊙O1、⊙O2于C、D，你能得到什么結(jié)論?

拓展二:如圖8，⊙O1與⊙O2內(nèi)切于點(diǎn)N，上述結(jié)論有什么變化?

上述問題串有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，誘導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生解決問題的欲望，通過(guò)問題的解決發(fā)現(xiàn)它們的一般性規(guī)律，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力起到良好的促進(jìn)作用。設(shè)計(jì)新穎且具有挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)問題，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力，教師通過(guò)設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)問題，能夠讓學(xué)生在解題過(guò)程中提高自身的創(chuàng)新思維能力［2］。

［1］李為．初中數(shù)學(xué)課堂問題設(shè)計(jì)例談［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2014（8）:19－21．

［2］謝雅禮．論數(shù)學(xué)開放性問題的教學(xué)價(jià)值［J］．福建基礎(chǔ)教育研究，2011（11）:79－81．

（責(zé)任校對(duì) 游星雅）

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1674－5884（2015）07－0017－03

10．13582/j．cnki．1674 － 5884．2015．07．006

20141203

林永暉（1964－），男，福建永春人，中學(xué)一級(jí)教師，主要從事教育管理研究。