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        “幾何直觀能力”的培養(yǎng)

        2015-02-05 02:04:24武秉環(huán)
        云南教育·小學(xué)教師 2014年4期
        關(guān)鍵詞:解決問(wèn)題數(shù)學(xué)教學(xué)

        武秉環(huán)

        數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開(kāi)幾何直觀,無(wú)論是概念、性質(zhì)、法則的教學(xué),還是解決問(wèn)題的教學(xué),教師都應(yīng)該借助圖形直觀幫助學(xué)生加以理解。

        一、數(shù)形結(jié)合,形成概念表征

        “數(shù)”與“形”是數(shù)學(xué)研究的兩個(gè)基本對(duì)象,利用“數(shù)形結(jié)合”方法能使“數(shù)”和“形”統(tǒng)一起來(lái),借助于“形”的直觀來(lái)理解抽象的“數(shù)”、運(yùn)用“數(shù)”與“式”來(lái)細(xì)致入微地刻畫(huà)“形”的特征,直觀與抽象相互配合,取長(zhǎng)補(bǔ)短,從而順利、有效地解決問(wèn)題。

        如,有一個(gè)籠子,籠子中有雞也有兔,雞和兔共有5只,腿有14條。問(wèn)雞有幾只,兔有幾只?題中有兩個(gè)變量——雞和兔,雞的只數(shù)增多,兔的只數(shù)就要減少,反之雞少了兔就多了,但它們總的只數(shù)和腿的條數(shù)是不變的。教學(xué)中,讓學(xué)生理解雞與兔是兩個(gè)變量十分困難,教師單純用語(yǔ)言是無(wú)法讓學(xué)生很好理解的。采用數(shù)形結(jié)合,讓學(xué)生通過(guò)想想——畫(huà)畫(huà)——再想想——再畫(huà)畫(huà),幫助學(xué)生理解雞兔這兩個(gè)變量,從而解決問(wèn)題。同樣在相遇問(wèn)題、工程問(wèn)題和分?jǐn)?shù)、比例以及列方程等解決問(wèn)題的教學(xué)中,都應(yīng)充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合,把抽象的數(shù)量關(guān)系,通過(guò)畫(huà)線段圖、集合圖、長(zhǎng)方形面積圖、列表格等方式,呈現(xiàn)為較具體直觀的數(shù)學(xué)符號(hào),使較復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系簡(jiǎn)單明了,進(jìn)而迅速找出解決問(wèn)題的方法。

        二、直觀推理,提高分析能力

        直觀推理作為一種滲透力極強(qiáng)的思維形式,可以說(shuō)是數(shù)學(xué)直觀的精髓。加強(qiáng)幾何直觀教學(xué)并不是只要求學(xué)生會(huì)構(gòu)造示意圖或線段圖,能給出數(shù)學(xué)知識(shí)的直觀表征就可以了,還要充分發(fā)揮直觀推理在發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題過(guò)程中的作用,為學(xué)生創(chuàng)造主動(dòng)思考的機(jī)會(huì),鼓勵(lì)他們借助幾何直觀進(jìn)行比較、分析和想象,展開(kāi)豐富多彩的直觀推理,進(jìn)而洞察數(shù)學(xué)對(duì)象的結(jié)構(gòu)和關(guān)系,獲得數(shù)學(xué)結(jié)論。

        對(duì)學(xué)生而言,純文字形式呈現(xiàn)的問(wèn)題相對(duì)比較抽象,僅憑文字?jǐn)⑹鲇袝r(shí)很難直接看出題中的數(shù)量關(guān)系。這樣的問(wèn)題也為學(xué)生學(xué)習(xí)畫(huà)圖整理信息、體驗(yàn)示意圖在分析數(shù)量關(guān)系過(guò)程中的作用提供了極好的素材。

        如,教學(xué)“用畫(huà)圖的策略解決實(shí)際問(wèn)題”時(shí),先出示例題:學(xué)校有一塊長(zhǎng)方形花圃,長(zhǎng)8米。在修建校園時(shí),花圃的長(zhǎng)增加了3米,這樣花圃的面積就增加了18平方米。原來(lái)花圃的面積是多少平方米?然后教師并沒(méi)有直接指導(dǎo)學(xué)生畫(huà)圖,而是通過(guò)富有啟發(fā)f生的問(wèn)題使學(xué)生體會(huì)到“光看文字,一下子想不出辦法”,進(jìn)而誘發(fā)畫(huà)圖的需要,引起學(xué)生學(xué)習(xí)和探索畫(huà)圖策略的動(dòng)機(jī)。對(duì)于畫(huà)圖方法的指導(dǎo),教師采用“嘗試——講評(píng)——完善”的教學(xué)策略,先放手讓學(xué)生嘗試畫(huà)圖,再結(jié)合講評(píng)對(duì)關(guān)鍵步驟進(jìn)行適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo),幫助學(xué)生學(xué)會(huì)在示意圖上表示“增加3米”以及標(biāo)注相關(guān)信息的方法,來(lái)完善他們所畫(huà)的示意圖。完成畫(huà)圖后,教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)比較和交流,感受到“看圖形思考比較方便”,進(jìn)而啟發(fā)學(xué)生看圖進(jìn)行分析和比較,將題目中的相關(guān)數(shù)量與直觀圖形的意義對(duì)應(yīng)起來(lái),找到正確的解題思路,初步體會(huì)示意圖對(duì)解決問(wèn)題的作用。列式解答后,讓學(xué)生看圖解釋每一步算式的意思,再一次借助圖形直觀解釋數(shù)量關(guān)系的含義,理解列式的依據(jù)。最后,引導(dǎo)學(xué)生回顧和反思解決問(wèn)題的過(guò)程,討論“為什么要畫(huà)圖”,幫助學(xué)生進(jìn)一步梳理借助圖形直觀解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn),感受畫(huà)圖策略的學(xué)習(xí)價(jià)值。

        這樣的教學(xué)過(guò)程,從解決實(shí)際問(wèn)題的需要出發(fā),緊緊圍繞“畫(huà)圖”和“用圖”展開(kāi),使學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中初步學(xué)會(huì)畫(huà)示意圖整理?xiàng)l件和問(wèn)題的方法,積累一些借助圖形直觀分析數(shù)量關(guān)系的經(jīng)驗(yàn),并獲得對(duì)畫(huà)圖策略的深刻體驗(yàn)。

        三、直觀探究,提高解題能力

        數(shù)學(xué)教學(xué)要充分發(fā)揮幾何直觀在解決問(wèn)題過(guò)程中的作用,注意引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷利用幾何直觀把復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單問(wèn)題的過(guò)程,特別是一些可以利用直觀來(lái)描述的問(wèn)題,不必急于給出解決問(wèn)題的方法,而是鼓勵(lì)學(xué)生借助直觀提出猜想或猜測(cè),并盡可能地從中找到解決問(wèn)題的思路或直接利用直觀手段求解,來(lái)幫助學(xué)生不斷積累利用直觀進(jìn)行思考的經(jīng)驗(yàn),發(fā)展幾何直觀能力和解決問(wèn)題的能力。

        如,引導(dǎo)學(xué)生“怎樣把一個(gè)正六邊形分割成6個(gè)大小相等、形狀相同的圖形”時(shí),學(xué)生就借助直觀圖形產(chǎn)生了以下的分法:

        方法一:把正六邊形平均分成6個(gè)完全一樣的等邊三角形。

        方法二:先畫(huà)出正六邊形的6條對(duì)稱(chēng)軸,然后去掉經(jīng)過(guò)對(duì)邊中點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)軸,得到第一種分法;或去掉經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)軸,得到第二種分法。

        方法三:先把正六邊形分成3個(gè)完全相同的平行四邊形,再把每個(gè)平行四邊形分成兩個(gè)完全相同的部分,這樣可以得到3種分法。

        方法四:只要先找到正六邊形的3條對(duì)稱(chēng)軸,再把3條對(duì)稱(chēng)軸繞中心點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度,就可以得到一種分法,這樣就有無(wú)數(shù)種分法。

        方法五:先把正六邊形分成3個(gè)完全一樣的平行四邊形,再畫(huà)出它們的一條對(duì)角線,這是一種分法,然后把對(duì)角線繞它的中心點(diǎn)任意旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度,只要每次旋轉(zhuǎn)的方向和度數(shù)相同,也一樣得到無(wú)數(shù)種分法。

        師總結(jié):第一種思路是先畫(huà)出正六邊形的對(duì)稱(chēng)軸,得到一種分法,再旋轉(zhuǎn)得到無(wú)數(shù)種分法;第二種思路是先把正六邊形分成3個(gè)完全一樣的平行四邊形,再把對(duì)角線進(jìn)行旋轉(zhuǎn)。盡管分法都有無(wú)數(shù)種,但解決問(wèn)題的思路只有兩種,所以也可以看作是兩種不同的方法。

        案例中,從把正六邊形平均分成6份到發(fā)現(xiàn)圖形旋轉(zhuǎn)的規(guī)律,幾何直觀作為有效的表達(dá)工具始終伴隨著學(xué)生的解題活動(dòng),并啟發(fā)著學(xué)生的空間思維,引領(lǐng)學(xué)生的思維不斷走向深刻。在分的過(guò)程中,無(wú)論是由12等分去尋找6等分,還是由3等分去尋找6等分,學(xué)生把思考的過(guò)程和結(jié)果畫(huà)出來(lái)都是成功解決問(wèn)題的關(guān)鍵。更為難得的是學(xué)生在兩種解題思路的啟發(fā)下,對(duì)分割六邊形的問(wèn)題有了更深刻、更富有創(chuàng)造性的思考,并得到了無(wú)數(shù)種分法。而這一過(guò)程中,幾何直觀依然是促進(jìn)并引領(lǐng)學(xué)生數(shù)學(xué)思考的主角。最后,教師組織學(xué)生比較兩種思路的不同,使學(xué)生對(duì)兩種思路獲得更概括、更理性的認(rèn)識(shí)。整個(gè)教學(xué)過(guò)程中,學(xué)生的精彩表現(xiàn)既得益于教師的啟發(fā),更得益于幾何直觀的引領(lǐng)。

        總之,“用圖形說(shuō)話”,用圖形描述問(wèn)題,用圖形討論問(wèn)題,這是一種基本的數(shù)學(xué)素質(zhì)。幾何直觀已經(jīng)成為數(shù)學(xué)教育界關(guān)注的問(wèn)題,在教學(xué)中如何更好地培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力,還有待于我們進(jìn)一步研究,所以教師要善于觀察、善于思考、善于總結(jié),力爭(zhēng)做一名研究型的教師。

        責(zé)任編輯:徐新亮endprint

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