在“變教為學(xué)”教學(xué)改革的實(shí)踐中，有學(xué)校通過一節(jié)課“前測”和“后測”正確率的對(duì)比來檢驗(yàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。如果后測正確率高，認(rèn)為教學(xué)效果就好，反之則說明教學(xué)效果差。這樣的評(píng)價(jià)方式是否恰當(dāng)是值得商榷的，究竟應(yīng)當(dāng)如何評(píng)價(jià)一堂課的教學(xué)效果？本期專題希望引發(fā)相關(guān)的討論。

應(yīng)當(dāng)相信，學(xué)生的學(xué)習(xí)是一個(gè)循序漸進(jìn)、螺旋上升的過程。對(duì)知識(shí)的理解是過程性的，是逐步深入的。這樣的過程不僅包括對(duì)結(jié)論的記憶與應(yīng)用，還應(yīng)當(dāng)包括對(duì)知識(shí)發(fā)生與發(fā)展過程的經(jīng)歷、體驗(yàn)和感悟。因此，任何知識(shí)的學(xué)習(xí)不可能是短時(shí)間可以完成的。在一些地區(qū)和學(xué)校采用的通過一節(jié)課“前測”和“后測”正確率的對(duì)比，評(píng)價(jià)學(xué)生的學(xué)習(xí)效果以及教師的教學(xué)效果的做法，有急功近利之嫌，是值得商榷的。

“變教為學(xué)”倡導(dǎo)的教學(xué)是過程性的，學(xué)生的學(xué)習(xí)是在感知、思考和交流的活動(dòng)中逐漸感悟的過程。這樣的過程所需要的時(shí)間可能是相當(dāng)漫長的，是不能用一時(shí)一事的“對(duì)與錯(cuò)”或者“好與壞”進(jìn)行評(píng)價(jià)的。對(duì)知識(shí)背后所蘊(yùn)含的思想性以及方法性內(nèi)容的理解水平，也不是通過結(jié)果的正確與錯(cuò)誤能夠看出來的。

以“十進(jìn)制”為例，有一種說法認(rèn)為數(shù)學(xué)中的十進(jìn)制的本質(zhì)就是“位值（Place Value）”，學(xué)會(huì)了這個(gè)內(nèi)容，就掌握了十進(jìn)制。因此認(rèn)為小學(xué)一年級(jí)“11～20各數(shù)的認(rèn)識(shí)”這一課就是學(xué)習(xí)十進(jìn)制，這個(gè)內(nèi)容學(xué)好了就意味著掌握了十進(jìn)制。這種認(rèn)識(shí)實(shí)際上是誤解了十進(jìn)制的本質(zhì)及其所包含的內(nèi)容。

十進(jìn)制的本質(zhì)屬性是一種“人造（Artificial）”的語言，用以記錄和表達(dá)數(shù)及其運(yùn)算，因此屬于發(fā)明（Invention）的知識(shí)。論及發(fā)明知識(shí)的本質(zhì)，首先應(yīng)當(dāng)揭示出發(fā)明的原因，也就是要回答人“為什么發(fā)明”這樣的問題，發(fā)明的原因主要應(yīng)當(dāng)包括兩個(gè)方面，第一是“客觀基礎(chǔ)”，第二是“主觀意愿”或者“主觀需求”。十進(jìn)制可以說是起源于人類活動(dòng)中的“數(shù)數(shù)（音： shǔ shù）”和“測量”，也就是對(duì)量及其關(guān)系的記錄和表達(dá)。這些活動(dòng)的客觀基礎(chǔ)應(yīng)當(dāng)是客觀存在的量的“多與少”以及“大與小”等，人類的活動(dòng)中對(duì)于客觀存在的量就有記錄和表達(dá)的主觀需求。比如，以物易物的交易活動(dòng)中需要記錄多與少，出行時(shí)需要記錄距離的近與遠(yuǎn)，做工時(shí)需要記錄時(shí)間的長與短，等等。

我國古時(shí)出現(xiàn)的“結(jié)繩”和“刻痕”，實(shí)際上就是記錄和表達(dá)這樣過程的方法。正如《易經(jīng)》中所說，“上古結(jié)繩而治，后世圣人易之以書契”，其中的“書契”就是在物體上刻痕。[1]隨著人類文字語言的出現(xiàn)與發(fā)展，人們開始用符號(hào)記錄并表達(dá)數(shù)數(shù)與測量的過程和結(jié)果。不同地域、不同文化在歷史上出現(xiàn)過許多不同類型的數(shù)字符號(hào)。比如，古希臘用27個(gè)希臘字母表示數(shù)，古羅馬采用的羅馬數(shù)字，等等。現(xiàn)在普遍使用的十進(jìn)制數(shù)字符號(hào)是古代印度發(fā)明的，后來經(jīng)阿拉伯傳到歐洲，因此叫作“印度—阿拉伯記數(shù)法”，所使用的數(shù)字符號(hào)叫作“印度—阿拉伯?dāng)?shù)字”，有時(shí)也簡稱為“阿拉伯?dāng)?shù)字”。

從字形上看，印度—阿拉伯?dāng)?shù)字與漢語中的數(shù)字應(yīng)當(dāng)是同源的。比如，漢字中的“二”是由兩條橫線構(gòu)成的，如果快速書寫就會(huì)出現(xiàn)連筆，連筆書寫的“二”就會(huì)成為“”的形狀，與數(shù)字“2”的形狀基本相同。同樣快速連筆書寫“三”，就會(huì)出現(xiàn)“”的形狀，與數(shù)字“3”形狀相同。因此有理由相信，印度—阿拉伯?dāng)?shù)字符號(hào)與漢字的數(shù)字符號(hào)具有同樣的淵源。

有了記錄數(shù)的符號(hào)，接下來出現(xiàn)的問題是“數(shù)”有無限多，人們不可能發(fā)明無限多個(gè)符號(hào)去表示無限多的數(shù)。因此就有了“化無限為有限”的主觀需求，用有限多的符號(hào)能夠記錄、表達(dá)無限多的數(shù)。為此，首先想到的應(yīng)當(dāng)是“以一代多”。所謂“以一代多”就是將“多個(gè)”看作“一個(gè)”，我國歷史上流傳至今的“畫正字”的數(shù)數(shù)方法，就是每增加1就寫一筆，寫出一個(gè)完整的“正”字，就記錄了一個(gè)五。因此一個(gè)“正”就表示五個(gè)1，體現(xiàn)了以一代多的想法。在英語中的一些詞匯也反映出歷史上人們使用過的方法，比如“Quinary”是把5個(gè)看作一個(gè)的意思；“Duodecimal”是把12個(gè)看作一個(gè)的意思；“Vigesimal”是把20個(gè)看作一個(gè)的意思；“Sexagesimal”是把60個(gè)看作一個(gè)的意思。

實(shí)現(xiàn)用有限個(gè)符號(hào)記錄、表達(dá)無限個(gè)數(shù)的，除了目前熟悉的印度—阿拉伯記數(shù)法之外，在古代歐洲應(yīng)用最為廣泛的當(dāng)數(shù)“羅馬記數(shù)法”。這種方法是用有限的7個(gè)符號(hào)以及相關(guān)的規(guī)則，能夠表達(dá)出所有的數(shù)。從1到10的羅馬數(shù)字分別為：

Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ ，Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ ，Ⅷ，Ⅸ，Ⅹ

其中僅僅用到了三個(gè)基本符號(hào)，“Ⅰ”代表“1”；“Ⅴ”代表“5”；“Ⅹ”代表“10”。用三個(gè)符號(hào)能夠表達(dá)十個(gè)數(shù)，依賴的是人為規(guī)定并且約定俗成的組合規(guī)則，相當(dāng)于語言中的語法。表達(dá)“2”和“3”運(yùn)用了對(duì)“Ⅰ”的重復(fù)加倍。表達(dá)“4”和“9”運(yùn)用的是“右減左”的規(guī)則，比如，“ Ⅳ ”就是“5-1=4”，“ Ⅸ”就是“10-1=9”。類似地，表達(dá)“6”“7”和“8”的規(guī)則是“左加右”，比如，“Ⅵ”就是“5+1=6”，“Ⅶ”是“5+2=7”，“Ⅷ”是“5+3=8”。全部羅馬數(shù)字符號(hào)一共只有7個(gè)，除了從1～10中的三個(gè)符號(hào)之外，還有“L”代表“50”，“C”代表“100”，“D”代表“500”，“M”代表“1000”。這些符號(hào)組合起來表達(dá)數(shù)的規(guī)則主要有四條，前三條分別是前面提及的“重復(fù)加倍”“右減左”和“左加右”。比如，16世紀(jì)歐洲出版的一本記載希臘數(shù)學(xué)的書，封面顯示該書的出版年代就是用羅馬數(shù)字書寫的。（見圖1）

圖1 羅馬數(shù)字表達(dá)年代示意圖

這個(gè)年代用前面介紹的符號(hào)和相應(yīng)的規(guī)則可以通過下面的算式計(jì)算出來：

1000+500+50+10+10+10+5+1+1+1=1588

因此可以斷定這本書的出版年代是公元1588年。

羅馬數(shù)字表達(dá)數(shù)的第四個(gè)規(guī)則是針對(duì)大數(shù)的，可以叫作“加線乘千”，也就是在某符號(hào)上面畫出橫線，就表示將這個(gè)符號(hào)表示的數(shù)擴(kuò)大1000倍。比如“”就代表“1000×50=50000”。endprint

綜上可以看出，羅馬記數(shù)法包含兩個(gè)要素，第一是七個(gè)數(shù)字符號(hào)，第二是將數(shù)字符號(hào)組合并關(guān)聯(lián)的規(guī)則。由此就實(shí)現(xiàn)了對(duì)無限多數(shù)的記錄和表達(dá)。人們經(jīng)過對(duì)諸如此類記錄方法長時(shí)間的使用和比較，逐步感受到印度人發(fā)明的十進(jìn)制記數(shù)法更加便于掌握和計(jì)算，而且與人的10根手指相一致。

與羅馬記數(shù)法類似，印度—阿拉伯十進(jìn)制記數(shù)法同樣也有兩個(gè)類似的要素，第一是0～9的十個(gè)數(shù)字符號(hào)，第二是“滿十變一”的規(guī)則，這一規(guī)則在寫法上體現(xiàn)為“左移乘十”。比如“22”，右邊的“2”代表2個(gè)1，左邊的“2”就代表“2×10=20”?！?2”的寫法可以看作是“2×10+2”的縮寫。同樣的數(shù)字符號(hào)放在不同的位置上，就表示不同的值，因此稱之為“位值”。與羅馬記數(shù)法相比，印度—阿拉伯十進(jìn)制記數(shù)法的規(guī)則相對(duì)簡單，便于學(xué)習(xí)和使用。除此之外，這種記數(shù)法還有許多方面的優(yōu)勢。

數(shù)作為描述量及其關(guān)系的語言，一個(gè)重要內(nèi)容就是比較大小。在整數(shù)范圍內(nèi)，印度—阿拉伯記數(shù)法比較兩個(gè)數(shù)的大小的方法可以概括為：“位數(shù)相同看高位，位數(shù)不同長者大”，這樣的方法簡便易行，而且非常直觀。相比之下，羅馬記數(shù)法的大小比較就相對(duì)復(fù)雜。

十進(jìn)制記數(shù)法的第二個(gè)優(yōu)勢是很容易推廣到小數(shù)。前面所說的“左移乘十”反過來就是“右移縮十”，也就是右側(cè)數(shù)字的位值是左側(cè)數(shù)字位值的十分之一。這樣小數(shù)與整數(shù)的記錄方法就統(tǒng)一了。比如，整數(shù)22和小數(shù)2.2都符合“左移乘十”和“右移縮十”的規(guī)則。這就使得數(shù)學(xué)中“數(shù)系”的建立成為可能。

十進(jìn)制記數(shù)法的另一個(gè)優(yōu)勢是便于運(yùn)算。歷史上對(duì)于數(shù)的運(yùn)算是一個(gè)難題。特別是對(duì)于較大數(shù)的運(yùn)算，人們一直追尋能夠程序化的操作方法。現(xiàn)如今數(shù)學(xué)課程中的“豎式”就是這種程序化的操作方法，對(duì)于建立在數(shù)字符號(hào)和位值基礎(chǔ)上的記數(shù)法，只需要做到“數(shù)位對(duì)齊”就可以進(jìn)行程序化的運(yùn)算了。[2]

綜上可以看出，諸如0～9十個(gè)數(shù)字符號(hào)、位值、比較整數(shù)大小、數(shù)與數(shù)之間的運(yùn)算、認(rèn)識(shí)小數(shù)、小數(shù)比較大小、小數(shù)運(yùn)算等內(nèi)容都是以十進(jìn)制記數(shù)法為基礎(chǔ)的。不僅如此，其中蘊(yùn)含著的對(duì)“有限與無限的關(guān)系”的感悟，對(duì)“以一代多”的方法的理解，都需要長期的過程，絕不是一節(jié)課能夠?qū)崿F(xiàn)的。因此在“變教為學(xué)”的實(shí)踐中，需要耐心地等待，不能期望“澆水后立刻開花”。

參考文獻(xiàn)：

[1]郜舒竹. 問題解決與數(shù)學(xué)實(shí)踐[M]. 北京：高等教育出版社， 2012. P89.

[2]郜舒竹.回眸歷史看豎式[J].教學(xué)月刊小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2013（6）.

（首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院 100048）endprint