兩道光學(xué)題的數(shù)學(xué)巧解

劉成剛

(青海省海東市平安區(qū)第一高級(jí)中學(xué)，青海海東810600)

圖1

解析：要求出距離d，首先要確定光線在玻璃球內(nèi)部的反射點(diǎn)位置，由光路進(jìn)出平行的特點(diǎn)，猜想光路可能與直線AOB對(duì)稱，即光線在玻璃球內(nèi)部的反射點(diǎn)可能是B點(diǎn)，是不是這樣？需要幾何證明.

圖2

如圖2所示，光線在D點(diǎn)入射，假設(shè)在球內(nèi)B′點(diǎn)(不一定是B點(diǎn))反射，從E點(diǎn)出射.OM、OB′ON分別為光線在D點(diǎn)、B′點(diǎn)、E點(diǎn)的法線，入射光線CD在D點(diǎn)的入射角∠CDM設(shè)為θ1、折射角∠B′DO設(shè)為θ2，由幾何關(guān)系和反射定律得：∠EB′O=∠DB′O=∠B′DO=θ2，由折射定律知出射光線EF在E的出射角∠FEN也應(yīng)為θ1.

過O點(diǎn)作A′O∥CD，因?yàn)椤螦′OD與光線在D點(diǎn)入射角∠CDM是同位角，則∠A′OD=∠CDM=θ1.依題設(shè)FE∥CD，則FE∥A′O，又∠A′OE與出射角∠FEN是同位角，于是∠A′OE=∠FEN=θ1，因此∠A′OE=∠A′OD=θ1.故射線A′O為等腰三角形DOE的角平分線，也是線段DE的垂直平分線.又因?yàn)椤螪B′O=∠EB′O=θ2.則射線B′O為等腰三角形DBE的角平分線，也為線段DE的垂直平分線.而DE的垂直平分線只有一條，因此射線A′O與射線OB′應(yīng)在同一條直線上，也即點(diǎn)A′、O、B′在一條直線A′B′上，應(yīng)為玻璃球的直徑.有前面所作A′O∥CD，則A′B′∥CD.所以點(diǎn)B′與點(diǎn)B重合.至此已證明猜想：光線折射進(jìn)入玻璃球后確實(shí)在B點(diǎn)發(fā)生反射.

例2(2008年全國(guó)卷Ⅱ)：一束單色光斜射到厚平板玻璃的一個(gè)表面上，經(jīng)過兩次折射后從玻璃板另一表面射出，出射光線相對(duì)于入射光線側(cè)移了一段距離，在下列情況下，側(cè)移距離最大的是().

A. 紅光以30°的入射角入射

B. 紅光以45°的入射角入射

C. 紫光光以30°的入射角入射

D. 紫光以45°的入射角入射

圖3

綜合上述，對(duì)于波長(zhǎng)一定的光線，入射角i越大，出射光線相對(duì)于入射光線側(cè)移量越大；入射角一定時(shí)，波長(zhǎng)越短，折射率n越大，出射光線相對(duì)于入射光線側(cè)移量也越大.故選項(xiàng)D正確.

在上面所討論的兩個(gè)問題中，似乎都能顯然地給出結(jié)論，但總給人似是而非的感覺，運(yùn)用了數(shù)學(xué)知識(shí)加以解決，問題就清晰明朗了.因此，在物理教學(xué)中結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)去解決物理問題，會(huì)有助于對(duì)物理問題的解決和透徹理解.

·試題研究·