☉江蘇省連云港市東港中學(xué) 陳迎迎

莫教亂花迷人眼，須得淺草露馬蹄
——關(guān)于甄選解題思路作為教學(xué)方案的思考

☉江蘇省連云港市東港中學(xué) 陳迎迎

數(shù)學(xué)問題因為著眼點不同會有不同的解法，此即一題多解，在一些教研文章和課堂教學(xué)中，常常會見到全面展示、多多益善的教學(xué)思路.筆者認(rèn)為每種解題思路作為教學(xué)方案予以展示前，必須要有一個甄選的過程.下面通過具體案例談?wù)勛约簩τ谡邕x解題思路作為教學(xué)方案的思考.

例1 如果一個二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點（-1，10）、（1，4）、（2，7），求這個二次函數(shù)的關(guān)系式.

分析：文中在用一般式求出二次函數(shù)的關(guān)系式之后，給出了一個新的定理：若一個二次函數(shù)的圖像經(jīng)過兩個不同的點（x0，h）、（x1，h），可以設(shè)二次函數(shù)關(guān)系式為y=a（x-x1）（x-x0）+h.文2在肯定了文1的結(jié)論和解題思路的同時，對新定理給出了四種證明，探索了利用新定理的方法.兩個文獻(xiàn)對二次函數(shù)性質(zhì)的理解非常到位，再三閱讀思考很有啟發(fā)，但是筆者卻認(rèn)為這一方法不應(yīng)該在面對普通受眾的學(xué)生課堂上呈現(xiàn)，原因有以下兩點：（1）文1、2所敘述新定理，適用范圍有限，且增加學(xué)生的記憶負(fù)擔(dān)和理解負(fù)擔(dān)，同時更是增加了課堂理解的難度.（2）文2指出新定理在例1的解答中應(yīng)用并不方便，效果不大，所言甚是中肯.

回到原問題，我們知道求函數(shù)關(guān)系式是函數(shù)教學(xué)中的基本問題，也是數(shù)學(xué)建模的關(guān)鍵步驟，通常的方法是利用待定系數(shù)法求解.二次函數(shù)的關(guān)系式主要有頂點式、交點式、一般式，因而此類問題解答的關(guān)鍵是如何根據(jù)已知條件選擇適當(dāng)?shù)亩魏瘮?shù)的關(guān)系式、解方程組確定待定系數(shù).

事實上，脫離課本隨意將拓展的結(jié)論作為類似新定理，或?qū)⒏咧兄R輕易移植到初中課堂的做法，既為課程標(biāo)準(zhǔn)所不允許，也因為脫離了學(xué)生的認(rèn)知水平、徒然增加學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)而意義不大.當(dāng)然新定理也并非一無是處，一則，開拓了教師的研究思維，展示了教師在教材研究方面的深入思考，具有很強的啟發(fā).二則，個人認(rèn)為新定理可以在數(shù)學(xué)競賽或者優(yōu)秀學(xué)生培養(yǎng)方面使用，效果會更好.

教學(xué)觀摩中發(fā)現(xiàn)以下四種解答思路.

解法1：把參數(shù)k看做已知數(shù)，用含k的代數(shù)式表示x、y，代入方程x+y=-5得到關(guān)于k的一元一次方程，求解得k=13.

解法2：將三個方程聯(lián)立得到以x、y、k為未知數(shù)的三元一次方程組，只需要消元x、y，求解未知數(shù)k的值即可，無需求x、y的值

解法3：方程組中兩個方程相減得2（x+y）=-k+3，因為x+y=-5，所以k=13.

分析：有任課教師強調(diào)解題分析中的整體思維，即把x+y看做一個整體，并指出整體思維是初中數(shù)學(xué)中的重要思想之一，從而把解法3、4作為教學(xué)的重點.但分析四種解答方法，個人認(rèn)為恰恰是教師強調(diào)的解法3、4最不需要.原因在于：

（1）解法3、4技巧性太強，學(xué)生想不到，初次接觸學(xué)生會覺得很驚奇，但在驚詫、佩服之余學(xué)生能夠掌握、應(yīng)用的不多，因為解法3、4對學(xué)生的審題能力要求太高.再者，解法3、4特殊性強，適用面窄，僅僅適合于具有本題特點的問題，如果將方程x+y=-5變成x+6y=-6，上述四種解法中依然能夠適用的只有解法1、2，由此可見解法1、2是此類問題的通法.

（2）解法3、4偏離重點知識與核心概念的要求，偏離考查的目的.閱讀題目可以發(fā)現(xiàn)題目敘述中的一個關(guān)鍵詞是“方程組的解”，這就說明本題的考查意圖重在對方程組的解和方程的解的理解，所有解答思路的出發(fā)點應(yīng)該緊扣題目，而不應(yīng)偏離太遠(yuǎn).基于以上分析，解法1、2應(yīng)該作為通法，作為重點、必講的教學(xué)內(nèi)容，至于解法3、4要看教學(xué)對象，作為課外興趣小組和學(xué)有余力的學(xué)生的學(xué)習(xí)素材較好，教學(xué)中要突出“具體問題具體分析”和“整體思維”的解題分析思路，避免盲目套用.

此題啟發(fā)我們，對于那些過于依賴問題中的特殊條件，適用范圍較窄，或者說就題論題、一法一題的解題方法，應(yīng)該謹(jǐn)慎選擇，鑒于學(xué)生學(xué)情有時可以予以拒絕.

例3 如圖1所示，在△ABC中，∠C=90°，BC=16cm，AC=12cm，點P從點B出發(fā)，沿BC以2m/s的速度向點C移動，點Q從點C出發(fā)，以1m/s的速度向點A移動，若點P、Q分別從B、

C同時出發(fā)，設(shè)運動的時間為t秒，當(dāng)t為何值時，△CPQ與△ABC相似？

兩種解答有幾點不同之處：解法1緊扣問題，利用“兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等”的相似三角形的判定方法入手.解法2則另辟蹊徑，利用“兩組角對應(yīng)相等”的相似三角形的判定方法，緊扣∠B與∠QPC的關(guān)系，繼而抓住直角三角形的特點利用三角函數(shù)求解.兩種思路解答方法的著眼點不同，考查的知識點和能力要求也有所不同，很好地體現(xiàn)了一題多解的價值.從這個意義上來看，兩種方法的選擇都可以，只是需要處理好呈現(xiàn)的時間點，尤其在中考復(fù)習(xí)或者三角函數(shù)學(xué)習(xí)之后，引導(dǎo)學(xué)生換一個角度思考之前已經(jīng)熟練掌握的問題，有助于幫助學(xué)生認(rèn)識學(xué)習(xí)新知識（三角函數(shù)）的價值，同時，激發(fā)學(xué)生的求異思維.

如果把問題略作調(diào)整，如取消題目中“∠C=90°”這一限制條件，問題結(jié)論是否依然成立，兩種解題思路哪種會更好一點？解法1僅僅用到∠PCQ=∠ACB，但解法2用到了∠PCQ=∠ACB=90°，因而條件調(diào)整之后解法1依然適用，但解法2卻無能為力了，因為失去了直角三角形也就失去了直接應(yīng)用三角函數(shù)的條件.所以，解法1屬于此類問題的通法.

此題啟發(fā)我們在一題多解中要防止將解題思路窄化，失去解題方法的一般性.對于一題多解，有必要分析各自的優(yōu)缺點，尤其對于一些特殊解法需要讓學(xué)生認(rèn)識到它的適用范圍.

通過以上三例我們可以發(fā)現(xiàn)，解題方法的甄選十分必要.太多的、脫離學(xué)生學(xué)習(xí)實際和學(xué)習(xí)需求的解題方法，就如亂花，常常迷人眼亂人心，須得“淺草”，即符合學(xué)生的解法，既接近馬蹄可令馬蹄親近自然感受花草芳香，又不淹沒馬蹄，既恰到好處地讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)分析的方法、解答的魅力，又掌握了基本問題的解答方法，正可謂“莫教亂花迷人眼，須得淺草露馬蹄”.因此，解題教學(xué)中，解題方法不是越多越好，當(dāng)我們有了解題思路的時候要有一個判斷、比較、選擇取舍的過程，否則一節(jié)課下來大量方法的堆積對學(xué)生沒有太多的意義.教學(xué)更不應(yīng)該為一題多解而盲目多解，忽略了題目的訓(xùn)練目的，即便在教學(xué)中選擇呈現(xiàn)的教學(xué)方法的教學(xué)中，在不同思路各展風(fēng)采之后應(yīng)當(dāng)有適當(dāng)?shù)摹白穯枴?，啟發(fā)學(xué)生思考、比較各種方法的優(yōu)缺點、適用范圍、考查的知識點和方法，以及解答者是受問題中哪些元素的啟發(fā)而得到的解題思路，引導(dǎo)學(xué)生對各種方法有一個自主選擇的機會等.筆者認(rèn)為這樣的追問，對培養(yǎng)學(xué)生的解題分析思維能力大有裨益，也有助于幫助學(xué)生在以后的學(xué)習(xí)、生活中遇到不同的解答思路的時候能夠養(yǎng)成一個先“判斷、比較、選擇”，后動筆驗算書寫的習(xí)慣.

1.魏俊，羅雄飛.課本例題的解法新探及推廣［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2011（11）.

2.錢衛(wèi)江.二次函數(shù)對稱式的證明及應(yīng)用［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2014（11）.

3.姜曉翔.體現(xiàn)“以生為本”，彰顯“思維品質(zhì)”［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（3）.H