☉江蘇省蘇州市相城區(qū)春申中學(xué) 丁 巖

經(jīng)典全等圖形的變式問(wèn)題解讀

☉江蘇省蘇州市相城區(qū)春申中學(xué) 丁 巖

變式教學(xué)是我國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要方式，特別是關(guān)于習(xí)題的變式，具體到每一節(jié)數(shù)學(xué)課堂、每一次課后作業(yè)、每一份數(shù)學(xué)試卷，無(wú)不體現(xiàn)著習(xí)題變式的追求，然而變式的方向、意圖、立意卻各不相同，層次也高低不等．本文選擇平面幾何初學(xué)全等時(shí)的經(jīng)典圖形，變式追問(wèn)，意圖指向后續(xù)學(xué)習(xí)，與同行研討交流．

一、全等圖形的變式題例

例1 如圖1，∠1＝∠2，∠3＝∠4．（1）求證：AC＝AD．

（2）過(guò)點(diǎn)B作BG⊥AD，BH⊥AC，垂足分別為G、H．求證：BG＝BH．

變式解讀：第（1）問(wèn)是很多教材上的經(jīng)典全等習(xí)題，主要是促進(jìn)學(xué)生轉(zhuǎn)化間接條件“∠3＝∠4”，而不能直接使用．根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，不少幾何學(xué)習(xí)適應(yīng)性不好的學(xué)生，往往將間接條件“∠3＝∠4”直接使用，需要多次提醒、訓(xùn)練才能達(dá)到規(guī)范要求；而第（2）問(wèn)則是要求學(xué)生作圖，然后證明三角形全等得出“角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等”，實(shí)質(zhì)上是后續(xù)要學(xué)習(xí)的角平分線性質(zhì)定理．

（4）在（3）的條件下，若DF⊥AB，點(diǎn)F是否為AB的中點(diǎn)？為什么？

（5） 如果DF垂直平分AB，且AE＝BC，∠EAB＝∠CBA，求證：DE＝DC．

成果擴(kuò)大：小舟練習(xí)之后，發(fā)現(xiàn)在（5）的條件下，還可以證明四邊形AEDF≌四邊形BCDF！

你會(huì)證明小舟的發(fā)現(xiàn)嗎？

變式解讀：這是七年級(jí)初學(xué)多邊形內(nèi)角和性質(zhì)時(shí)就有的一道經(jīng)典正五邊形問(wèn)題，經(jīng)過(guò)變式設(shè)問(wèn)，將該題引向全等三角形的判定；重要的是，該題將會(huì)與后續(xù)學(xué)習(xí)等腰三角形的判定與性質(zhì)建立關(guān)聯(lián)．

例3 如圖3，在四邊形ABCD中，∠B＝∠D，連接對(duì)角線AC，∠1＝∠2．

（1）問(wèn)：邊BC與AD有怎樣的關(guān)系？并說(shuō)明理由.

（2）連接BD，與AC交于O點(diǎn)，小誠(chéng)發(fā)現(xiàn)：這個(gè)四邊形的對(duì)角線竟能互相平分！你能證明小誠(chéng)的發(fā)現(xiàn)嗎？

變式解讀：該題第（1）問(wèn)主要是訓(xùn)練全等三角形的判定，而且是一種旋轉(zhuǎn)180°后的對(duì)應(yīng)關(guān)系，根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，不少全等適應(yīng)性不佳的學(xué)生初學(xué)時(shí)往往難以找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系；而第（2）問(wèn)則將問(wèn)題引向后續(xù)要學(xué)習(xí)的平行四邊形的性質(zhì)（平行四邊形對(duì)角線互相平分）．

小誠(chéng)很快證得AD＝A′D′．（結(jié)論①）

他想起老師說(shuō)過(guò)“求出解答并繼續(xù)前進(jìn)”，是不是還能“成果擴(kuò)大”呢？不一會(huì)兒，小誠(chéng)就發(fā)現(xiàn)了BC、B′C′邊上的高AH、A′H′的數(shù)量關(guān)系，也有AH＝A′H′．（結(jié)論②）

小南進(jìn)一步猜想△ABC和△A′B′C′的對(duì)應(yīng)角平分線BE、B′E′的關(guān)系，有BE＝B′E′．（結(jié)論③）

小史在他們?cè)诨A(chǔ)上，歸納出一個(gè)重要性質(zhì)：如果兩個(gè)三角形全等，那么這兩個(gè)三角形中的對(duì)應(yīng)線段一定相等．

小舟還不滿足他們的發(fā)現(xiàn)，繼續(xù)進(jìn)行了如下探索，分別在邊BC、B′C′上取一點(diǎn)M、M′，使BM＝B′M′，再連接AM、A′M′，則一定有AM＝A′M′．（結(jié)論④）

逆向思考，成果擴(kuò)大：小婧想了想，是不是還能逆向思考呢？比如將題設(shè)與結(jié)論互換呢？她提出如下問(wèn)題：

如圖1，在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，AC＝A′C′，AD、A′D′分別是邊BC、B′C′上的中線，且AD＝A′D′．求證：△ABC≌△A′B′C′．（命題⑤）

……

答題要求：請(qǐng)證明上述“結(jié)論①、②、③、④”“命題⑤”．

變式解讀：這道題主要向?qū)W生傳遞“求出答案并繼續(xù)前進(jìn)”（舍費(fèi)爾德語(yǔ)），即全等三角形不僅是對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等，而且可以進(jìn)一步成果擴(kuò)大：全等三角形對(duì)應(yīng)線段相等，而且通過(guò)模擬學(xué)生的探究對(duì)話，將問(wèn)題深入；特別是最后一問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生逆向思考，探究原命題與逆命題的關(guān)系，這又是一種成果擴(kuò)大的探究取向；最后那個(gè)“……”將問(wèn)題開(kāi)放，讓學(xué)生繼續(xù)沿著小婧同學(xué)的思緒往前探究，比如還可提出“兩個(gè)三角形的兩邊及第三邊上的高對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形全等嗎”等問(wèn)題．

二、變式立意的進(jìn)一步闡釋

以上選擇近期改編的一題全等經(jīng)典問(wèn)題，并逐題給出命題解讀，下面再?gòu)恼w上闡釋全等經(jīng)典問(wèn)題的變式立意．

1.深刻理解教學(xué)內(nèi)容，精心選擇經(jīng)典問(wèn)題

根據(jù)馬立平博士的“深刻理解數(shù)學(xué)知識(shí)”的觀點(diǎn)，選擇哪些經(jīng)典圖形展開(kāi)變式之前，需要基于“深刻理解教學(xué)內(nèi)容”，認(rèn)真思考哪些問(wèn)題或圖形是經(jīng)典問(wèn)題，具有較大的生長(zhǎng)或拓展空間．上文提供的4個(gè)例題中，圖形都比較簡(jiǎn)潔，較容易拓展生長(zhǎng)，也是各類(lèi)各級(jí)命題的重點(diǎn)圖形．此外，精心選擇經(jīng)典問(wèn)題也是后續(xù)預(yù)設(shè)追問(wèn)的前提，因?yàn)橐粋€(gè)問(wèn)題如果不夠典型，其生長(zhǎng)性、講評(píng)意義也不會(huì)很大，如“例1”那樣，正是因?yàn)榭紤]到不少學(xué)有困難的學(xué)生常常在初學(xué)全等時(shí)，對(duì)于間接條件的錯(cuò)用、混用，才重新引導(dǎo)他們認(rèn)真思考、訓(xùn)練這類(lèi)問(wèn)題，這也是落實(shí)雙基的需要．

2.題干條件簡(jiǎn)潔呈現(xiàn)，預(yù)設(shè)追問(wèn)自然生長(zhǎng)

章建躍教授在文1中指出：“真正的數(shù)學(xué)題應(yīng)該滿足一些基本條件，例如：反映數(shù)學(xué)本質(zhì)，與重要的數(shù)學(xué)概念和性質(zhì)相關(guān)，不糾纏于細(xì)枝末節(jié)，體現(xiàn)基礎(chǔ)知識(shí)和聯(lián)系性，解題方法自然、多樣，具有發(fā)展性，表述形式簡(jiǎn)潔、流暢且好懂等．”從上面提供的4個(gè)例題來(lái)看，題干條件都比較簡(jiǎn)潔、好懂，后續(xù)追問(wèn)也顯得自然、和諧，想要圓滿完成又具有一定的挑戰(zhàn)性．需要指出的是，習(xí)題變式時(shí)切忌在題目呈現(xiàn)初始階段就是安排一個(gè)繁雜的圖形，因?yàn)樯蟻?lái)就是一個(gè)繁雜圖形呈現(xiàn)時(shí)，往往有不少幾何適應(yīng)性不好的學(xué)生就會(huì)被拒之門(mén)外，習(xí)題的內(nèi)容效度就大打折扣．

3.問(wèn)題凸顯幾何特征，變式設(shè)問(wèn)指向后續(xù)

根據(jù)中科院李文林研究員的觀點(diǎn)，數(shù)學(xué)主要是“算”“證”．初中幾何主要訓(xùn)練“證”的能力，發(fā)展邏輯思維能力，所以在選擇幾何圖形問(wèn)題及變式訓(xùn)練時(shí)，需要注意凸顯幾何學(xué)段特征，重視發(fā)展學(xué)生的幾何推理論證能力．這也是我們?cè)谏鲜?個(gè)題例中重點(diǎn)構(gòu)思的，此外，例1中的第（2）問(wèn)指向后續(xù)即將學(xué)習(xí)的角平分線性質(zhì)；例2中的第（4）、（5）問(wèn)指向后續(xù)垂直平分線性質(zhì)定理；例3中第（2）問(wèn)指向后續(xù)要研究平行四邊形的性質(zhì)；例4中系列設(shè)問(wèn)既訓(xùn)練鞏固了全等三角形的判定方法，又示范了幾何問(wèn)題的研究套路和探究方向，既照應(yīng)了學(xué)生的眼前利益，又關(guān)注了學(xué)生的長(zhǎng)遠(yuǎn)利益．

三、寫(xiě)在最后

數(shù)學(xué)習(xí)題的變式設(shè)問(wèn)是一個(gè)大的方向，是值得很多一線教師深入實(shí)踐和思考的，我們?cè)谏厦孢x擇了日常教學(xué)中一些變式題例，闡釋變式立意，這些努力是初步的，期待同行批評(píng)指正、實(shí)踐跟進(jìn)．

1.章建躍．發(fā)揮數(shù)學(xué)的內(nèi)在力量，為學(xué)生謀取長(zhǎng)期利益［J］．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào)，2013（2）.H