☉浙江省衢州第二中學(xué) 傅建紅

幾類常見絕對(duì)值函數(shù)的圖像、性質(zhì)及其應(yīng)用

☉浙江省衢州第二中學(xué) 傅建紅

絕對(duì)值函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的重要函數(shù)，同時(shí)也是令許多學(xué)生感到困惑、迷茫和難以捉摸的函數(shù).解決此類函數(shù)的常規(guī)方法是分類討論（將其轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值的函數(shù)），但單純的分類討論往往難以繞開計(jì)算煩瑣帶來的弊端（尤其是當(dāng)函數(shù)中含有參數(shù)時(shí)）.能否有效回避討論？或不進(jìn)行全面討論？本文剖析高中數(shù)學(xué)中幾類常見絕對(duì)值函數(shù)的圖像與性質(zhì)，并就其對(duì)稱性與最值問題例說其應(yīng)用，供參考.

一、圖像與性質(zhì)

說明：類型一、三所述函數(shù)的圖像可由翻折得到，而類型二所述函數(shù)的圖像則必須通過分類討論獲得.由于上述性質(zhì)均可通過觀察圖像獲知，故證明從略.

二、性質(zhì)的應(yīng)用

例1（2008年山東卷（理））設(shè)函數(shù)f（x）＝｜x+1｜+｜x-a｜的圖像關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，則a的值為（ ）.

評(píng)注：例1利用了當(dāng)a＝b時(shí)，函數(shù)f（x）＝a｜x-p｜+b｜x-q｜為軸對(duì)稱函數(shù)的性質(zhì)；例2則利用了當(dāng)a＝-b時(shí)為中心對(duì)稱函數(shù)的性質(zhì).顯然，一旦了解性質(zhì)，此類問題即可迎刃而解.

例3（2015年重慶卷（理））若函數(shù)f（x）＝｜x+1｜+2｜x-a｜的最小值為5，則實(shí)數(shù)a＝_________.

解析：由類型二所述函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)f（x）在R上的最小值為min{f（-1），f（a）}，易得f（-1）＝2｜-1-a｜＝2｜a+1｜，f（a）＝｜a+1｜，顯然f（a）≤f（-1），所以｜a+1｜＝5，所以a＝6或-4.

評(píng)注：解決類型二函數(shù)的常規(guī)方法是去絕對(duì)值，即取零點(diǎn)、分段討論.但若了解此函數(shù)的性質(zhì)，即可回避討論，使問題快速獲解.

例4（2015年湖北卷（文））a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）＝｜x2-ax｜在區(qū)間［0，1］上的最大值記為g（a）.當(dāng)a＝_________時(shí)，g（a）的值最小.

評(píng)注：本題的常規(guī)解法是對(duì)對(duì)稱軸在定義區(qū)間的內(nèi)外進(jìn)行分類討論，但情形相對(duì)復(fù)雜.而若了解類型三所述函數(shù)的性質(zhì)，則可快刀斬亂麻（回避煩瑣討論），使問題的解決干凈利落.

綜上可知，上述性質(zhì)在解決相應(yīng)函數(shù)的對(duì)稱與最值問題時(shí)，可化難為易、變繁為簡，能有效地回避討論.其理解是直觀形象的，其操作是簡單易行的，其效果也是立竿見影的.

1.潘佩.絕對(duì)值函數(shù)的常見類型及其求解策略［J］.高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2015（3）.F