☉浙江省象山縣第二中學(xué)呂增鋒

“追根溯源”話 函數(shù)

☉浙江省象山縣第二中學(xué)呂增鋒

在高中數(shù)學(xué)中，沒(méi)有一個(gè)概念的表述像函數(shù)那么形式化，讓人感到如此的抽象.當(dāng)專家、學(xué)者們?yōu)楦咧泻瘮?shù)定義應(yīng)如何表述才能更加精確而爭(zhēng)論不休時(shí)，函數(shù)概念教學(xué)卻始終難逃“不識(shí)函數(shù)真面目，只緣身在函數(shù)中”的怪圈.具體表現(xiàn)為：教師能夠剖析函數(shù)的定義，卻無(wú)法揭示函數(shù)的實(shí)質(zhì)；學(xué)生會(huì)解相關(guān)的題目，卻不清楚函數(shù)到底是什么.究其原因，主要是教師對(duì)函數(shù)概念的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程了解不夠.盡管課程標(biāo)準(zhǔn)明確要求“通過(guò)豐富的實(shí)例，體會(huì)對(duì)應(yīng)關(guān)系在刻畫(huà)函數(shù)概念中的作用”，但這只能讓學(xué)生更容易接受“集合說(shuō)”，而無(wú)法從整體上揭示函數(shù)的本質(zhì).若要函數(shù)概念“大白于天下”，還應(yīng)“追根溯源”.

一、感受“時(shí)間”流逝，誕生“變量”

天地之間的萬(wàn)物都是在運(yùn)動(dòng)變化著的.最吸引古人的運(yùn)動(dòng)莫過(guò)于“天上”的運(yùn)動(dòng).白天，日出東方；傍晚，日落西方，月亮升起；晚上，星空璀璨，但這些星星也是在運(yùn)動(dòng)的，每隔一段時(shí)間，它們的位置就會(huì)發(fā)生變化.還有，春夏秋冬，四季輪回.不僅如此，地上也是在運(yùn)動(dòng)的，比如，火山噴發(fā)、地震、泥石流等.當(dāng)然，還有人類自身的變化，人從出生到衰老，也是一個(gè)運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程.由于這些變化都是隨著時(shí)間的變化而變化的，因此，時(shí)間就是最原始的變量.古人通過(guò)對(duì)時(shí)間的感受，頭腦中就逐漸形成了變量的概念.隨著生產(chǎn)力的發(fā)展，人類觀察“變量”的視野不斷開(kāi)闊，發(fā)現(xiàn)生活之中處處有變量.比如，人口的數(shù)量、氣溫的變化、農(nóng)作物的產(chǎn)量、城市的規(guī)模、股市波動(dòng)等.

除了變量以外，還存在著相對(duì)穩(wěn)定的常量.比如，某人的生日、圓周率、黃金分割數(shù)等，還有些量有時(shí)可以是變量，有時(shí)也可以是常量.比如，人的身高，從出生到成年人的身高是在變化的，因此身高是變量；但成年后，身高就保持不變了，此時(shí)身高就是常量.又比如你到菜場(chǎng)買豬肉，在這一天內(nèi)豬肉的價(jià)格是固定的，一斤10元，兩斤20元，……，因此，在這天內(nèi)豬肉的價(jià)格是常量.但如果從一段時(shí)間看，豬肉的價(jià)格是在波動(dòng)的，此時(shí)豬肉的價(jià)格就是變量.由此可見(jiàn)，靜止是暫時(shí)的，運(yùn)動(dòng)卻是永恒的！

二、研究“變量”規(guī)律，建立“關(guān)系”

可以說(shuō)，人類的進(jìn)步得益于對(duì)變量的研究，進(jìn)而在研究中發(fā)現(xiàn)了變量的變化規(guī)律.比如，對(duì)時(shí)間變量的研究，最顯著的成果莫過(guò)于發(fā)明了“歷法”.在古代，國(guó)家歷法的先進(jìn)程度決定了生產(chǎn)力的先進(jìn)程度.在我國(guó)古代歷法中，把一年劃分成了24節(jié)氣，目的是為了指導(dǎo)農(nóng)業(yè)生產(chǎn).比如，節(jié)氣中“立春”，其實(shí)就告訴人們天氣要轉(zhuǎn)暖了，要開(kāi)始準(zhǔn)備農(nóng)業(yè)生產(chǎn)了，一旦到了“春分”，農(nóng)民就應(yīng)該播種了.因此，人類要生存，要發(fā)展，對(duì)變量變化規(guī)律的總結(jié)是必不可少的.誰(shuí)掌握了地球上變量的變化規(guī)律，誰(shuí)就可以主宰地球.到底如何總結(jié)變量的變化規(guī)律呢？人們發(fā)現(xiàn)這些變量之間存在著某種制約關(guān)系.即一個(gè)變量的變化會(huì)引起另一個(gè)變量的變化.

比如，在商品買賣中有“暴利”一說(shuō)，意思是同樣數(shù)量的商品，價(jià)格越高，銷售收入也越高.這種制約關(guān)系能不能用數(shù)學(xué)式子來(lái)表示呢？

引進(jìn)一些參數(shù)，用y表示銷售收入，x表示商品價(jià)格，n表示賣出的商品數(shù)量，則它們滿足：y=nx.這里的n是常量，x、y是變量.這個(gè)式子顯然體現(xiàn)了變量y隨著變量x增大而增大的變化規(guī)律.

又比如，在商品買賣中還有一種說(shuō)法叫“薄利多銷”，意思是在保證銷售收入不變的前提下，商品價(jià)格越低，賣出的數(shù)量越多.這種制約關(guān)系怎么表示呢？把上式y(tǒng)=nx變形為，此時(shí)y是常量，x、n是變量.盡管這個(gè)式子是由先前的式子變過(guò)來(lái)的，但由于變量的不同，所以表達(dá)的意思完全不同.由此可見(jiàn)，代數(shù)式能真實(shí)地刻畫(huà)變量之間的關(guān)系.

三、提煉“關(guān)系”共性，產(chǎn)生“形式”

當(dāng)借助代數(shù)式刻畫(huà)變量之間的關(guān)系逐漸被人們所接受時(shí)，人們開(kāi)始提煉這類式子中所蘊(yùn)含關(guān)系的共性.即這類關(guān)系包含了哪些共同的成分呢？

首先，要由兩個(gè)變量構(gòu)成，而且一個(gè)變量的變化制約著另一個(gè)變量的變化.也就是說(shuō)一個(gè)變量的值是由另一個(gè)變量的值決定的.這兩個(gè)變量一個(gè)稱為自變量，另一個(gè)稱為因變量.上述例子中的y=nx，x稱為自變量，y的值因?yàn)閤的值變化而變化，所以y就稱為因變量.

其次，既然是變化，當(dāng)然有個(gè)變化的范圍.對(duì)y=nx來(lái)說(shuō)，x是商品的價(jià)格，理論上x(chóng)的變化范圍是大于0的所有實(shí)數(shù)，y的變化范圍也是大于0的所有實(shí)數(shù).當(dāng)然，y的變化范圍可以由x的變化范圍來(lái)確定.如果y=nx中x的變化范圍擴(kuò)大到全體實(shí)數(shù)，整個(gè)式子的本質(zhì)就變了，它不再是反映價(jià)格與銷售收入的關(guān)系了.由此可見(jiàn)，看似一個(gè)簡(jiǎn)單的代數(shù)式，實(shí)際上還包含了變量變化的范圍.

共性提煉完畢后，人們開(kāi)始思考給這類代數(shù)式一個(gè)合適的稱呼，于是“函數(shù)”的概念應(yīng)運(yùn)而生.人們對(duì)函數(shù)最初的理解就是一個(gè)包含變量的代數(shù)式，但后來(lái)發(fā)現(xiàn)這種認(rèn)識(shí)并不全面，并不是所有的函數(shù)關(guān)系都能列出代數(shù)式.比如，生活中各式各樣的曲線.以股價(jià)走勢(shì)圖為例，內(nèi)行的人能夠從這些像“心電圖”一樣的曲線中看出很多有用的信息.比如，什么時(shí)候該買進(jìn)，什么時(shí)候該拋了.

觀察股價(jià)走勢(shì)圖，會(huì)發(fā)現(xiàn)其中隱藏著兩個(gè)變量，時(shí)間和股票價(jià)格.走勢(shì)圖實(shí)際上反映了時(shí)間和股價(jià)之間的某種聯(lián)系.簡(jiǎn)單地說(shuō)，這個(gè)曲線反映了兩個(gè)變量之間的某種依賴關(guān)系，這一點(diǎn)非常符合“函數(shù)”的特征.但股價(jià)走勢(shì)圖不能用一個(gè)代數(shù)式來(lái)表示.盡管不可能寫(xiě)出它的代數(shù)式，但從曲線中確實(shí)可以讓人感受到變量之間的變化規(guī)律，類似的曲線還有很多很多.因此，從數(shù)學(xué)上看，這個(gè)曲線也是函數(shù)，是函數(shù)的另一種表現(xiàn)形式.當(dāng)然，很多函數(shù)代數(shù)式都可以找到對(duì)應(yīng)的曲線.

函數(shù)除了代數(shù)式、曲線兩種表現(xiàn)形式外，還有一種表現(xiàn)形式也在生活中經(jīng)常出現(xiàn).比如，鞋盒上都印有尺碼對(duì)照表.

第一行數(shù)據(jù)表示腳的長(zhǎng)度，第二行數(shù)據(jù)表示對(duì)應(yīng)的尺碼.多大的腳，穿多大的鞋碼，一目了然.這張表格非常清晰地描述了腳長(zhǎng)和鞋碼之間的關(guān)系.如果從數(shù)學(xué)的角度來(lái)分析這張表格，這張表格包含了兩個(gè)變量，一個(gè)是“腳長(zhǎng)”，另一個(gè)是“尺碼”，并且這兩個(gè)變量都有各自的變化范圍，其中“腳長(zhǎng)”的變化范圍是“23.5、24、…”，尺碼的變化范圍是“37、38、…”.兩個(gè)變量相互存在著制約關(guān)系，也完全符合函數(shù)的特點(diǎn).有了這樣的表格，我們完全沒(méi)有必要再關(guān)心代數(shù)式是什么這一問(wèn)題了.因此，“表格”也是函數(shù)的一種表現(xiàn)形式.

四、統(tǒng)一“形式”表述，構(gòu)造“定義”

一個(gè)函數(shù)概念，三種表征，分別是代數(shù)式、曲線、表格，與之對(duì)應(yīng)的函數(shù)就有三種表示方法：解析法、圖像法、列表法.于是，函數(shù)分為三大陣營(yíng)，現(xiàn)在要做的就是把三大陣營(yíng)統(tǒng)一起來(lái).

一方面，這三種表示方法是有聯(lián)系的.比如，一般對(duì)于給定的函數(shù)解析式來(lái)說(shuō)，可以列出相應(yīng)的表格，然后就能畫(huà)出其對(duì)應(yīng)的曲線，反過(guò)來(lái)，對(duì)于曲線來(lái)說(shuō)，一般也能找到其對(duì)應(yīng)的解析式.另一方面，這三種方法又是相互獨(dú)立的.并不是所有的函數(shù)解析式，都能畫(huà)出其對(duì)應(yīng)的圖像.比如狄利克雷函數(shù)當(dāng)然也并不是所有的曲線，都能寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的解析式.列表也是如此，有些變量之間的關(guān)系只能列表來(lái)表示.

當(dāng)然，這三種形式還有其共有的屬性.首先，它們都包含了兩個(gè)變量，并且兩個(gè)變量都在一定的范圍內(nèi)變化，而變量的變化范圍就構(gòu)成了集合.因此，變量就可以看成集合中的元素，兩個(gè)變量就是兩個(gè)集合中的元素.于是，函數(shù)就和集合聯(lián)系在一起了.其次，這三種方法都體現(xiàn)了變量之間的某種制約關(guān)系，具體說(shuō)，一個(gè)變量變化引發(fā)了另一個(gè)變量的變化，而這種變化遵循著某種變化規(guī)律.圖形和列表也體現(xiàn)出這種變化規(guī)律，只不過(guò)有些規(guī)律我們無(wú)法進(jìn)行精確地表述，但無(wú)論如何，規(guī)律還是存在的.

至此，函數(shù)的概念似乎清晰起來(lái)了.無(wú)論采取哪種表現(xiàn)形式，函數(shù)就是體現(xiàn)了兩個(gè)變量之間的變化規(guī)律.由于變量本身是集合中的元素，因此兩個(gè)變量之間的關(guān)系，就轉(zhuǎn)變成了兩個(gè)集合之間的關(guān)系.也就是說(shuō)給你兩個(gè)集合，如何把兩個(gè)集合中的元素按照某種規(guī)律對(duì)應(yīng)起來(lái).這就有點(diǎn)像在玩“連連看”游戲.

比如，集合A={1，2，3，4}，集合B={2，4，6，8}，變量x在集合A中變化，變量y在集合B中變化，當(dāng)然，變量y的變化是隨x變化而變化的.現(xiàn)在，你的任務(wù)就是按照某種規(guī)律把兩個(gè)集合中的元素連起來(lái).如果按照1→2、2→4、3→6、4→8的規(guī)則連起來(lái)，這樣，集合A、B之間的元素就對(duì)應(yīng)起來(lái)了，也就是說(shuō)構(gòu)成了“函數(shù)”.也可以換個(gè)規(guī)則把兩個(gè)集合的元素連起來(lái).比如，1→4、2→2、3→6、4→8；或者1-4、2-2、3-8、4-6等.當(dāng)然，規(guī)則不同，構(gòu)成的函數(shù)也是不同的.那么，要構(gòu)成函數(shù)需要哪些要素呢？?jī)蓚€(gè)集合A、B+“對(duì)應(yīng)規(guī)則”.因此，我們就可以借助集合給函數(shù)下個(gè)定義，進(jìn)而把函數(shù)的三種形式統(tǒng)一起來(lái).具體怎么描述呢？

所謂函數(shù)就是：把集合A、B中的元素按照某種對(duì)應(yīng)法則建立聯(lián)系.對(duì)于兩個(gè)集合來(lái)說(shuō)，對(duì)應(yīng)的法則有很多，但是不是“隨便”什么法則都能構(gòu)成函數(shù)呢？我們可以用教室里面的“座位法則”來(lái)形象地說(shuō)明對(duì)應(yīng)法則應(yīng)該滿足的條件.

學(xué)生到教室要做的第一件事就是盡快找到座位坐下.這時(shí)可能會(huì)出現(xiàn)以下三種情景.第一種可能，教室的座位剛剛好，每個(gè)學(xué)生都有座位坐.這是最滿意的結(jié)果.第二種可能，教室的座位比實(shí)際人數(shù)多，學(xué)生坐好后，還有座位多余.這有點(diǎn)兒浪費(fèi)，但也合乎情理.第三種可能，教室的座位不夠，哪怎么辦呢？再去其他地方搬可能來(lái)不及了，老師一般先暫時(shí)讓學(xué)生共用一個(gè)座位.雖說(shuō)擠了點(diǎn)兒，但畢竟解決了座位問(wèn)題.但一般不會(huì)出現(xiàn)這樣的情景：學(xué)生占據(jù)多個(gè)座位，也就是說(shuō)一個(gè)學(xué)生坐兩個(gè)及以上的座位.

如果把學(xué)生看成集合A，座位看成集合B的話，那么學(xué)生找座位的事件就可以看成找集合A、B的對(duì)應(yīng)關(guān)系，三種情景實(shí)際上揭示了對(duì)應(yīng)法則的限制條件.“每個(gè)學(xué)生都有座位坐”說(shuō)明集合A中的元素要對(duì)應(yīng)完全.“有多余座位”說(shuō)明集合B中的元素允許多余，允許存在沒(méi)有被對(duì)應(yīng)的元素.“讓學(xué)生共用一個(gè)座位”說(shuō)明集合A中可以有多個(gè)元素對(duì)應(yīng)集合B中的同一個(gè)元素.也就是說(shuō)可以出現(xiàn)“多對(duì)一”的情景.不可能出現(xiàn)“學(xué)生占據(jù)多個(gè)座位”說(shuō)明集合A中的元素在集合B中只能有唯一一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，即不允許出現(xiàn)“一對(duì)多”的情景.

通過(guò)上面的剖析，學(xué)生不僅容易提煉出集合觀點(diǎn)下函數(shù)的統(tǒng)一定義，而且能夠系統(tǒng)地了解函數(shù)概念的產(chǎn)生、發(fā)展過(guò)程，感受函數(shù)定義的合理性，進(jìn)而深刻地體會(huì)到數(shù)學(xué)源于生活，數(shù)學(xué)是自然的.A