☉浙江省杭州學(xué)軍中學(xué) 鄭日鋒

求異探源啟迪
——對(duì)一道高考試題的剖析

☉浙江省杭州學(xué)軍中學(xué) 鄭日鋒

題1（2015年浙江省理科高考第18題）設(shè)函數(shù)f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）.記M（a，b）是|f（x）|在區(qū)間［-1，1］上的最大值．

（Ⅰ）證明：當(dāng)|a|≥2時(shí)，M（a，b）≥2；

（Ⅱ）當(dāng)a，b滿足M（a，b）≤2時(shí)，求|a|+|b|的最大值．

本題旨在考查函數(shù)的單調(diào)性與最值、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查推理論證能力，分析問題和解決問題的能力，很好地體現(xiàn)了高考試題以能力立意的特點(diǎn)．考后與考生進(jìn)行訪談，許多考生找不到解決此題的思路，筆者對(duì)此題作了一些思考，現(xiàn)寫出來，與大家共享．

一、求異——多角度探索

（Ⅱ）方法1：由（Ⅰ）知，若|a|>2，則M（a，b）>2，與已知矛盾，故|a|≤2.由對(duì)稱性可以假設(shè)0≤a≤2，則|a|+|b|=a+ |b|.由得即即-3+a≤b≤1-a.而|-3+a|≥|1-a|，所以|b|≤|-3+a|=3-a，故|a|+|b|≤3.取f（x）=x2+2x-1符合條件，故|a|+|b|的最大值為3.

方法3：由（Ⅰ）知，若|a|>2，則M（a，b）>2，與已知矛盾，故|a|≤2.所以M（a，b）=max即在aOb坐標(biāo)系中，作出點(diǎn)（a，b）的圖形，如圖1所示的陰影部分，所以當(dāng)a=2，b=-1，或a=-2，b=-1時(shí)，|a|+|b|的最大值為3.

第（Ⅰ）小題考查單調(diào)性的定義、最值的概念、不等式的性質(zhì)及實(shí)數(shù)絕對(duì)值的三角不等式，方法1運(yùn)用對(duì)稱性及化整為零，方法2運(yùn)用直接法，方法3運(yùn)用反證法，與方法2有著異曲同工之妙．

第（Ⅱ）小題，方法1仿照第（Ⅰ）小題的方法1，由對(duì)稱性，縮小a的范圍，再固定a，求出|b|的最大值，然后求出|a|+|b|的最大值；方法2從數(shù)的角度，將求|a|+|b|的最大值轉(zhuǎn)化為求|a+b|，|a-b|的最大值；方法3從形的角度，將條件轉(zhuǎn)化為a，b滿足的限制條件，作出點(diǎn)（a，b）的圖形，從而得到|a|+|b|的最大值．方法2解題過程簡(jiǎn)潔，但技巧性強(qiáng)，方法1、3解題過程雖稍繁，但解法自然且容易想到．

表4的數(shù)據(jù)從客觀的角度證實(shí)了POA聽說教學(xué)模式的效果,表中數(shù)據(jù)是依據(jù)調(diào)查問卷從學(xué)習(xí)主體的角度闡述學(xué)習(xí)效果。在能否提高聽力水平的維度上,70%的學(xué)生給出的是肯定的答案;高達(dá)85%的學(xué)生覺得自己的口語水平有很大提高;78%的學(xué)生認(rèn)同這種教學(xué)模式對(duì)他們語言應(yīng)用能力有所提高,學(xué)習(xí)效果問卷調(diào)查的結(jié)果和語言測(cè)試的結(jié)果完全吻合。

二、探源——尋找問題之源

其實(shí)，第（Ⅰ）小題與下面題2的第（Ⅲ）小題的題型及解題方法完全類似．

（Ⅰ）當(dāng)a=0，b=1時(shí)，寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）若對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b，總存在實(shí)數(shù)x0∈［0，4］使得不等式f（x0）≥m成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

由|h（t）|在t∈［0，2］上的最大值M（a，b），得因?yàn)?h（0）+h（2）-4h（1）= -2，所以2=|3h（0）+h（2）-4h（1）|≤3|h（0）|+|h（2）|+4|h（1）|≤8M（a，b），即M（a，b）≥.取h（t）=-，符合條件．所以M（a，b）的最小值為，即實(shí)數(shù)m的取值范圍為

筆者還找到了與題1有著驚人相似的下列三題：

題3（2009年湖北省文科高考?jí)狠S題）已知函數(shù)（fx）=-，其導(dǎo)函數(shù)為f（′x），令g（x）=|f（′x）|，記函數(shù)g（x）在區(qū)間［-1，1］上的最大值為M.

（Ⅱ）若|b|>1，證明：對(duì)任意的c，都有M>2；

（Ⅲ）若M≥k對(duì)任意的b，c恒成立，試求k的最大值．

題4（本校2014屆高三第六次月考理科壓軸題）已知函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），g（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)．

（Ⅰ）在b=1，c=-a，d=0的條件下，試解決：

（1）g（x）在（1，2）上存在最值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）f（x）在（1，2）上不是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

（Ⅱ）若對(duì)任意x∈［0，1］，|g（x）|≤1恒成立，求實(shí)數(shù)a的最大值.

（Ⅲ）若對(duì)任意x∈［-1，1］，|f（x）|≤1恒成立，求|a|+ |b|+|c|+|d|的最大值．

題5（華東師范大學(xué)出版的《奧數(shù)教程（高一分冊(cè)）》P43測(cè)試題5）已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c在［-1，1］上的函數(shù)值的絕對(duì)值不超過1，求|a|+|b|+|c|的最大值．

三、啟迪——答題情況引發(fā)的思考

命題組給出的解答避開了實(shí)數(shù)絕對(duì)值的三角不等式，實(shí)際上是把需要用的實(shí)數(shù)絕對(duì)值的三角不等式推導(dǎo)出來，顯得牽強(qiáng)，不符合數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔性，命題教師考慮到實(shí)數(shù)絕對(duì)值的三角不等式不屬于2015年浙江省高考數(shù)學(xué)范圍，而有意避開．此題具有形式化、抽象化程度都很高的特點(diǎn)，需要考生具有良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，以及分析問題與解決問題的能力．實(shí)測(cè)結(jié)果做出此題的考生很少，滿分15分，平均得分僅3分，大部分考生做不出第（Ⅰ）小題，由此可以看出此題的難度相當(dāng)大，有些考生因?yàn)榇祟}的卡殼，亂了分寸，影響了最后兩題的解答，這不能不說是一種令人扼腕嘆息的遺憾．此題放在倒數(shù)第3題的位置是否合適？除了壓軸題，有無必要考這么難的題目？高考試題與已考過的題雷同，這種非原創(chuàng)的試題在重點(diǎn)題中出現(xiàn)，是否能體現(xiàn)試題的客觀、公平、公正？

本屆考生都做過題2，但大部分考生依然無法解決題1，這是什么原因呢？原因也許是多方面的，但有一個(gè)現(xiàn)象值得關(guān)注，大部分教師缺少了一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，學(xué)業(yè)水平考試結(jié)束后，組織學(xué)生研討題2，如果這樣做了，肯定不會(huì)是現(xiàn)在的情況．

這一現(xiàn)象給今后的解題教學(xué)帶來怎樣的啟示呢？當(dāng)下依靠“題海戰(zhàn)術(shù)”、大運(yùn)動(dòng)量的訓(xùn)練依然盛行，這種教學(xué)模式不僅透支了學(xué)生未來學(xué)習(xí)的興趣，而且無法應(yīng)對(duì)能力型、重本質(zhì)、考素質(zhì)的高考試題．固然，每位考生都能做出較難的高考試題，這是不可能的，但是讓不同層次的學(xué)生發(fā)揮出應(yīng)有的較高水平，提高學(xué)生解決新穎問題的能力，這是我們的教學(xué)目標(biāo)．這昭示著我們需要重新審視教學(xué)．

1.追根溯源

從學(xué)生答題中暴露出來的問題說明，學(xué)生缺乏的不是技巧，而是基礎(chǔ)．在考試中，不少學(xué)生對(duì)概念、定理、公理等認(rèn)識(shí)模糊，導(dǎo)致在遇到陌生問題時(shí)不知道如何運(yùn)用所學(xué)知識(shí)去合理地展開聯(lián)想，進(jìn)行有效的探究．他們解答了大量的習(xí)題，但“重復(fù)的大運(yùn)動(dòng)量的訓(xùn)練”不能使他們獲得思考和解決問題的能力．因此，重視概念建構(gòu)，研究每一章節(jié)的典型習(xí)題，以及以往的高考試題，注重“源”與“本”的關(guān)系，才能提高學(xué)生對(duì)“雙基”的靈活運(yùn)用．

2.感悟數(shù)學(xué)

引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)思考、聯(lián)想、轉(zhuǎn)化，善于從多角度解決問題，從中比較各種方法的優(yōu)劣，提煉歸納解題策略及數(shù)學(xué)思想方法，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)；有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問題進(jìn)行引申、拓展，使學(xué)生在探究活動(dòng)中深刻領(lǐng)悟解題原則，由會(huì)解一道題到會(huì)解一類題，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)建模，讓學(xué)生在錯(cuò)綜復(fù)雜的變化中，抓住問題的本質(zhì)特征，培養(yǎng)學(xué)生研究、探索問題的能力．F