☉江蘇省南通市天星湖中學(xué) 王海彬

淺談數(shù)學(xué)教學(xué)中邊緣知識的重要性

☉江蘇省南通市天星湖中學(xué) 王海彬

高中數(shù)學(xué)知識可以分為兩部分，其中一部分是受高考應(yīng)試重視的核心知識，諸如函數(shù)最值、三大性質(zhì)、向量數(shù)量積、立體幾何的角和距離等；另一部分知識往往不太顯山露水，但是卻默默為核心知識提供著保障，諸如集合論中的知識、利用空間向量解決立體幾何問題中的坐標(biāo)系選擇合理與否、三角函數(shù)線等，這些知識卻又無法缺失，筆者將其稱之為邊緣知識．

從教學(xué)的實際情形來看，教師往往對于核心知識存在著反復(fù)講、重點講、天天講，但是對于那些服務(wù)于核心知識的邊緣知識卻往往不聞不問，時不時在應(yīng)試中造成學(xué)生失分．北京十二中數(shù)學(xué)特級教師孫維剛說過：對于學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，首先要手把手教會其緊緊抓住基本知識的一些細(xì)節(jié)，在這些知識中有些盡管不是考試的重點（即本文所敘述的邊緣知識），但是其對于后續(xù)知識的學(xué)習(xí)，以及學(xué)生的學(xué)習(xí)能力、學(xué)習(xí)態(tài)度、情感價值觀等都有著重要的培養(yǎng)．因此，筆者認(rèn)為教學(xué)既要重視核心知識，也要關(guān)注邊緣知識．

一、邊緣知識重要性

邊緣知識在數(shù)學(xué)中暫時未有這樣的名稱，筆者借助物理學(xué)中的名稱來代指數(shù)學(xué)中那些既服務(wù)于核心知識卻又處在不顯山露水地位的知識，因此給出了這樣的界定．在大量研究中對于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的重要性已經(jīng)分析得相當(dāng)完備，對于我國中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的基本知識和基本技能都有了長足的研究，在筆者看來，這些基礎(chǔ)知識和技能中有很多是邊緣知識，華師大張奠宙教授對于重要的基本知識常常這樣感慨：現(xiàn)在的中學(xué)教學(xué)提倡新課程，提倡學(xué)生努力自主發(fā)掘知識，這些都沒有錯．但是不要忘了，有些基本知識本身形成的過程長達(dá)幾十年甚至上百年，用區(qū)區(qū)四十五鐘的課堂去讓學(xué)生挖掘知識的形成根本是癡人說夢話．因此，有些知識教師該怎么傳授還是要怎么傳授，并且要特別注重那些在應(yīng)試中作為給核心知識做鋪墊的基礎(chǔ)知識（即本文所提出的概念——邊緣知識）．張教授的最后一句話應(yīng)特別重視，讓我們看到了對于邊緣知識教學(xué)必須重視的依據(jù)．其重要性體現(xiàn)在哪幾個方面呢？筆者認(rèn)為：

（1）首先，本文所敘述的邊緣知識介于基礎(chǔ)知識和核心知識之間，這些知識是核心知識考查過程中必備的基本知識，沒有這一類邊緣知識無法順利進(jìn)行下一步的分析、演算，比如：用空間向量解決立體幾何中的問題，首先必須建立正確的空間坐標(biāo)系，坐標(biāo)系的建立正體現(xiàn)邊緣知識的重要性.

（2）其次，有助于學(xué)生穩(wěn)定應(yīng)試的基本分?jǐn)?shù)．基礎(chǔ)知識和邊緣知識屬于應(yīng)試的基本分?jǐn)?shù)，牢牢抓住這些分?jǐn)?shù)有助于學(xué)生應(yīng)試有基本保障.

（3）最后，對于邊緣知識的掌握熟悉更有助學(xué)生學(xué)習(xí)知識的全面性，只有將知識學(xué)習(xí)全面和扎實穩(wěn)固，才能對后續(xù)更復(fù)雜的知識有學(xué)習(xí)的潛力．

二、邊緣知識教學(xué)實施

筆者以空間向量解決立體幾何問題中的邊緣知識為例，談?wù)勅绾螌嵤┻@一邊緣知識．我們知道，立體幾何引入空間向量之后，隨之而來的各種垂直、平行證明，以及角或距離的求解，都演變成一種代數(shù)運算．用吳文俊大師的話說：數(shù)學(xué)機械化（即代數(shù)化）是一種趨勢，用代數(shù)的方法解決以前很難的幾何問題，成為流行，向量是一個很好的工具，除此之外我實在想不出有什么比代數(shù)化更好的方法．吳大師的話其實暗示了立體幾何問題解決的一脈相承性、雷同性，因此解決幾何問題也就轉(zhuǎn)變成了解決代數(shù)問題．對于立體幾何而言，代數(shù)化的最主要邊緣知識正是如何建立空間坐標(biāo)系．

（一）空間向量坐標(biāo)系選擇的實施

1.常規(guī)幾何體的選擇

常規(guī)幾何體諸如正方體、長方體、正棱柱、正棱錐等，通過這些幾何體來建構(gòu)坐標(biāo)系一般較為容易，往往教學(xué)中一筆帶過．

例1如圖1所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，側(cè)棱AA1＝2，D、E分別是CC1與A1B的中點，點E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G．求A1B與平面ABD所成角的余弦值．

解析：如圖1所示，建立坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點為C，設(shè)CA＝2a，則A（2a，0，0），B（0，2a，0），D（0，0，1），A1（2a，0，2），E（a，a，1），G）.因為所以因為為平面ABD的法向量，且co．所以A1B與平面ABD所成角的余弦值是

說明：可以發(fā)現(xiàn)，本題的幾何體模型是正規(guī)的直棱柱，且底面三角形是直角三角形，因此對于教學(xué)而言建系并非難點，值得注意的是指導(dǎo)學(xué)生了解重心條件在向量中是如何使用的．

2.非常規(guī)幾何體的選擇

空間向量引入立體幾何之后，對于立體幾何問題而言，相比以往傳統(tǒng)來得容易些，學(xué)會向量的代數(shù)化運算成為解決問題的關(guān)鍵．但是有些幾何體模型存在著建系的困擾，這個步驟無法合理建立導(dǎo)致無法使用空間向量解決問題，因此非常規(guī)幾何體值得我們更多的思考，值得加強此類邊緣知識的教學(xué)．

例2如圖2，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PG⊥平面ABCD，垂足為G，G在AD上，且AG＝GD，BG⊥GC，GB＝GC＝2，E是BC的中點，四面體PBCG的體積為

（1）求異面直線GE與PC所成角的余弦值；

（2）求點D到平面PBG的距離；

（2）平面PBG的單位法向量n0＝（0，±1，0），因為，∠CGD＝45°，所以所以點D到平面PBG的距離為．設(shè)F（0，y， z），則＝（0，y，z）-）＝．因為，所以0，所以）·（0，2，0）＝2）＝0，所以在平面PGC內(nèi)作FM⊥GC，M為垂足，則所以

說明：本題是非正棱錐的建系，考慮到在位置G處存在線面垂直關(guān)系，以及下底面中的線線垂直關(guān)系，因此選擇該處建立空間直角坐標(biāo)系比較合適．筆者用本題進(jìn)行隨堂測試，發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生對于原點的選擇并不清晰，其無法將坐標(biāo)系清楚地建立起來．在坐標(biāo)系的建立上，筆者認(rèn)為上述兩個例題所涉及的邊緣知識是解決立體幾何問題的初步關(guān)鍵，更有甚者我們也看到過坐標(biāo)系建立更為夸張的方式，此處限于篇幅不再贅述．要掌握建系的邊緣知識，最終是從線面垂直和線線垂直入手分析，對于此塊邊緣知識的熟練掌握有助于學(xué)生輕松解決立體幾何問題．

（二）數(shù)列函數(shù)本質(zhì)的認(rèn)知

我們知道數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，高考中對于數(shù)列的考查一般側(cè)重于數(shù)列的基本知識，包括通項公式、求和公式，以及與數(shù)列相關(guān)的不等式，這些是數(shù)列的核心知識．對于數(shù)學(xué)最本質(zhì)的知識，我們的學(xué)生了解反而很少，有時甚至根本不理解．以等差數(shù)列為例，筆者做過測試，很多學(xué)生在沒有復(fù)習(xí)的前提下根本不知道等差數(shù)列的通項公式本質(zhì)是一次函數(shù)的體現(xiàn)，對于等差數(shù)列求和公式是二次函數(shù)（必過原點）的函數(shù)本質(zhì)認(rèn)識則更是鳳毛麟角．這些等差數(shù)列的邊緣知識極大地豐富了學(xué)生解決某些數(shù)列問題時的高效性和簡潔性，卻一直不受重視．

例3（教材習(xí)題）等差數(shù)列{an}的前n項和Sn=m，前m項和Sm=n（m≠n），求前m+n項的和Sm+n．

解法一：設(shè){an}的公差為d，則由Sn=m，Sm=n（m≠n），得

解法二：設(shè)Sn=An2+Bn（n∈N*），則

③-④得A（m2-n2）+B（m-n）=n-m．因為m≠n，所以A（m+n）+B=-1.

所以A（m+n）2+B（m+n）=-（m+n），所以Sm+n=-（m+n）．

說明：解法一是本題的核心知識，我們知道學(xué)生必需掌握等差數(shù)列相關(guān)的求和公式運用及基本的化簡，但是解法二所利用函數(shù)本質(zhì)的邊緣知識卻凸顯了等差數(shù)列前n項和的函數(shù)本質(zhì)，利用其是必過原點的二次函數(shù)這一特性，輕松解決與之相關(guān)的問題．并且可以將類似的數(shù)列邊緣知識進(jìn)行合理的推廣，等比數(shù)列我們知道其通項公式來源于指數(shù)函數(shù)模型，其求和所得到的關(guān)系式體現(xiàn)了一種特殊的函數(shù)，盡管用處不大，但對于我們認(rèn)知數(shù)列本質(zhì)，用其相關(guān)邊緣知識解決問題有著極大的方便．

三、尾聲

邊緣知識蒞臨于一般基礎(chǔ)知識之上，但與核心知識仍舊有一定的差距．但是邊緣知識在解決問題過程中，卻有著非常重要的作用．從案例中，我們認(rèn)識到?jīng)]有坐標(biāo)系建立的合理性就無法快捷地解決立體幾何問題，沒有數(shù)列本質(zhì)的研究就無法輕松地利用函數(shù)觀點解決數(shù)列相關(guān)問題．從知識體系上說，坐標(biāo)系的選擇建立、函數(shù)化本質(zhì)的思索并非是高考應(yīng)試的核心熱點問題，但是它卻對我們繼續(xù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供了基本的保障．因此對于邊緣知識，筆者認(rèn)為：其一，要加強關(guān)注和細(xì)節(jié)上的把握，邊緣知識并非像核心知識一樣困難無法學(xué)習(xí)，但是不重視這些細(xì)節(jié)會致使學(xué)生患得患失，無法取得理想的成績.其二，邊緣知識還有哪些？這個在筆者看來，應(yīng)該由教師進(jìn)行把握和篩選，一般以本省高考內(nèi)容為主的問題中進(jìn)行合理的思考和尋找.最后，引導(dǎo)學(xué)生加強對邊緣知識態(tài)度的認(rèn)知和重視，只有重視邊緣知識，才會有更細(xì)致的問題分析態(tài)度和解決態(tài)度，才會引導(dǎo)學(xué)生在解決復(fù)雜問題中更為重視那些邊緣化的知識，筆者以自身淺顯的一些認(rèn)知以求讀者更精細(xì)的漸漸見解．

1.朱永祥.談數(shù)學(xué)知識的挖掘和運用［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2012（2）.

2.肖凌戇.關(guān)注探究創(chuàng)新考查理性思維——基于數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識的高考命題研究［J］.中國數(shù)學(xué)教育，2013（5）.

3.褚人統(tǒng).數(shù)學(xué)高考難題破解與知識超常聯(lián)系［J］.中國數(shù)學(xué)教育，2009（8）.F