☉江蘇省如皋市薛窯中學(xué) 顧錢睦

從根本教學(xué)談高效教學(xué)的重要性

☉江蘇省如皋市薛窯中學(xué) 顧錢睦

一、根本教學(xué)

高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)較多、紛繁復(fù)雜，在高一、高二環(huán)節(jié)新知教學(xué)階段主要是解決單一的知識(shí)體系，隨著高三復(fù)習(xí)教學(xué)的開始，不僅要復(fù)習(xí)單一章節(jié)知識(shí)體系，還要將多種知識(shí)進(jìn)行整合考查，這使得學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)顯得較為力不從心.筆者也經(jīng)歷過這樣的教學(xué)時(shí)刻：在復(fù)習(xí)教學(xué)中出現(xiàn)非常茫然的時(shí)刻，怎樣有效高效地進(jìn)行數(shù)學(xué)難點(diǎn)的突破？做一些符合高考要求的復(fù)習(xí)教學(xué)？有時(shí)往往無從下手，只能以大量訓(xùn)練來替代.這導(dǎo)致了教師陷入教學(xué)無重點(diǎn)無核心狀態(tài)，學(xué)生陷入重復(fù)訓(xùn)練無效問題環(huán)節(jié)，教學(xué)效率大打折扣.

近年來，根本教學(xué)一詞廣受歡迎.何為根本教學(xué)？人教版主編章建躍先生是這么描述的：“數(shù)學(xué)考查的是核心概念和核心知識(shí)，這些核心即所謂的根本之一.”還有一些根本來自數(shù)學(xué)性質(zhì)及高等數(shù)學(xué)中一些定理，這些東西往往反映在數(shù)學(xué)問題中，并形成了另一種根本.教學(xué)要與時(shí)俱進(jìn)研究當(dāng)下熱點(diǎn)的根本，做好根本教學(xué)才能使復(fù)習(xí)教學(xué)真正地做到有的放矢.不妨總結(jié)近年的高考數(shù)學(xué)核心難點(diǎn)問題，我們可以歸納出一些有效的根本，作為“根本教學(xué)”的基本模型，如：線性規(guī)劃問題，函數(shù)f（x）= m|x-a|+n|x-b|的圖像和性質(zhì)，向量中的向量恒等式，向量背景下三角形的“心”，關(guān)于一元三次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，關(guān)于分式函2值域求解，以及復(fù)合最值（min｛max｛f，g，h｝｝或max｛min｛f，g，h｝｝）問題等.掌握這些根本，可以使學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)歸類記憶，并在數(shù)學(xué)解題中游刃有余、更加自信.

按“根式教學(xué)”的原理，筆者可以形象地將它分為六個(gè)階段.第一階段：確定數(shù)學(xué)根本；第二階段：證明數(shù)學(xué)根本；第三階段：變形數(shù)學(xué)根本；第四階段：完善數(shù)學(xué)根本；第五階段：拓展數(shù)學(xué)根本；第六階段：鏈接其他根本.筆者以近期聆聽的一堂研究向量恒等式問題的公開課為例，談?wù)劯窘虒W(xué)對(duì)于高效教學(xué)的重要性.

二、根本實(shí)施案例

筆者對(duì)本堂課的整體感覺：春風(fēng)化雨，潤(rùn)物無聲.授課王老師用和風(fēng)細(xì)雨的語言，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入知識(shí)的殿堂，使學(xué)生獲得開啟知識(shí)大門的金鑰匙，整堂課語音語調(diào)平和溫柔，態(tài)度和藹，潤(rùn)物無聲，最終使學(xué)生的知識(shí)大樹根深蒂固，枝繁葉茂！

1.課堂教學(xué)目標(biāo)

在“根本教學(xué)”的理念下，對(duì)教學(xué)目標(biāo)的制定應(yīng)該首先確定本節(jié)課教學(xué)的“根”具體是什么？你的“根”要扎在哪里？扎多深？然后緊緊圍繞這個(gè)“根”來制定全面、具體、適宜的教學(xué)目標(biāo).針對(duì)本節(jié)課，課堂設(shè)定的教學(xué)目標(biāo)為：（1）借助向量恒等式解決向量與三角、立體幾何的綜合問題；（2）掌握數(shù)形結(jié)合的思想方法.從本節(jié)課的設(shè)計(jì)來看，其“根”應(yīng)該是向量恒等式（下面介紹），所以首要的教學(xué)目標(biāo)應(yīng)該是理解掌握向量恒等式.針對(duì)目標(biāo)：本節(jié)課設(shè)定的教學(xué)目標(biāo)是“借助向量恒等式解決向量與三角、立體幾何的綜合問題”，在掌握理解向量恒等式的基礎(chǔ)上，應(yīng)用這個(gè)結(jié)論同時(shí)需要數(shù)形結(jié)合的思想方法，因此這個(gè)目標(biāo)的設(shè)計(jì)合情合理.

2.課堂教材處理

王老師設(shè)計(jì)的是高三復(fù)習(xí)課，但對(duì)教材的深層挖掘是“根本教學(xué)”中“根”的土壤，她決定了根的深度和廣度，最終能不能真正實(shí)現(xiàn)枝繁葉茂，很大程度上是要看它與教材聯(lián)系的緊密程度.與教材結(jié)合的好，“根深蒂固”，與教材脫節(jié)，則終會(huì)枯枝敗葉.針對(duì)本節(jié)課，課堂設(shè)定的“回歸課本”環(huán)節(jié)：利用了課本的習(xí)題（必修4，P120：B組2）已知向量a，b為非零向量，求證：a⊥b?|a+b|=|ab|.這本是一個(gè)簡(jiǎn)單的問題，然后讓學(xué)生在處理本題的基礎(chǔ)上尋找a·b與a+b，a-b三者之間的聯(lián)系，這三者也是向量恒等式的三元素，通過探究發(fā)現(xiàn)本節(jié)課的教學(xué)之“根”——向量恒等式.引入十分自然，從課本出發(fā)，根的土壤十分肥沃，學(xué)生信手拈來，渾然天成.

當(dāng)然，在這個(gè)教學(xué)根的深度和廣度上，還有待改進(jìn)：比如向量恒等實(shí)數(shù)模式a·b）2+（a-b）2=2（a2+b2），另外，要讓學(xué)生欣賞這個(gè)恒等式的特點(diǎn)：數(shù)量積都變成了模！最后，在解釋向量恒等式的幾何意義方面，課堂處理顯得不夠系統(tǒng)全面，應(yīng)該從平行四邊形和三角形兩個(gè)維度來分析：①平行四邊形：向量的數(shù)量積可表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線”與“差對(duì)角線”平方差的四分之一；②平行四邊形兩條對(duì)角線的平方和等于四條邊的平方和；③三角形：中線的平方和對(duì)邊一半平方差.

3.課堂教學(xué)程序

（1）思路設(shè)計(jì).

在“根本教學(xué)”指導(dǎo)下，教學(xué)思路應(yīng)該由點(diǎn)連線，由線及面，逐步加深拓展，推而廣之.從而映射由根成林的程序，即根深蒂固，根繁葉茂，節(jié)外生枝，嫁接成林.其中每一步都要結(jié)合學(xué)生的實(shí)際，選擇合適的內(nèi)容，注意銜接的自然，詳略得當(dāng)，難度適中，使教學(xué)過程層層遞進(jìn)，步步為營(yíng)，最后自然水到渠成.針對(duì)本節(jié)課，筆者認(rèn)為，王老師對(duì)選題已經(jīng)作了精心的設(shè)計(jì)，由易到難，其中既有高考題，也有最新的模擬題，既有平面的問題，又有空間的問題（只可惜時(shí)間關(guān)系，最后沒來得及講），題目雖然不多，但個(gè)個(gè)都是精挑細(xì)選的好題.有待改進(jìn)的是各題的連接比較生硬，不夠自然潤(rùn)滑.

事實(shí)上，可以再將所選的題目進(jìn)行分類歸納，理出它們之間的內(nèi)在區(qū)別和聯(lián)系，如此就能達(dá)到銜接的自然了.例如可以這樣：

例1 （基本式）在△ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM=3，BC=10，則A→→B·A→→C=_______.

例2（綜合式）（改編1）已知a·b=0，向量c滿足（ca）·（c-b）=0，|a-b|=5，|a-c|=3，則a·c的最大值為_______.

例3（變型式）（改編2）設(shè)△ABC，P0是邊AB上一定

A.∠ABC=90°B.∠BAC=90°C.AB=AC D.AC=BC

例4（空間式）（改編3）正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，MN是它的內(nèi)切球的一條弦（把球面上任意兩點(diǎn)之間的線段稱為球的弦），P為正方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)弦MN最長(zhǎng)時(shí)，P→→M·P→→N的最大值為________.

（2）教學(xué)結(jié)構(gòu).

一般地，課堂結(jié)構(gòu)，是指一節(jié)課的教學(xué)過程各部分的確立，以及它們之間的聯(lián)系、順序和時(shí)間分配.課堂結(jié)構(gòu)也稱為教學(xué)環(huán)節(jié)或步驟.課堂結(jié)構(gòu)的不同，也會(huì)產(chǎn)生不同的課堂效果.可見課堂結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)是十分重要的.通常，一節(jié)好課的結(jié)構(gòu)是：結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)、環(huán)環(huán)相扣，過渡自然，時(shí)間分配合理，密度適中，效率高.而“根本教學(xué)”指導(dǎo)下的教學(xué)結(jié)構(gòu)首先應(yīng)該特別重視根的深度，也即基礎(chǔ)有沒有打扎實(shí)，打得牢不牢；其次，應(yīng)該把重心放在“根”的應(yīng)用層面，作為解決問題的工具，應(yīng)該盡量將它的應(yīng)用能力發(fā)揮出來.

針對(duì)本節(jié)課，從教學(xué)環(huán)節(jié)的時(shí)間分配來看：1分鐘引導(dǎo)語，10分鐘的“向量恒等式”，15分鐘的例1，10分鐘的例2，7分鐘的例3，以及3分鐘的小結(jié).從教學(xué)環(huán)節(jié)時(shí)間分配來看，有“前松后緊”的現(xiàn)象，但是講與練的時(shí)間搭配比較合理，筆者建議：由于例1難度不大，可適當(dāng)減少例1的講解時(shí)間，而增加學(xué)生對(duì)例3的思考時(shí)間；從教師活動(dòng)與學(xué)生活動(dòng)分配來看：既有教師的講解和提煉，也有學(xué)生的思考與練習(xí)，分配比較合理；從學(xué)生的個(gè)人活動(dòng)時(shí)間與學(xué)生集體活動(dòng)時(shí)間的分配來看：學(xué)生個(gè)人活動(dòng)、小組活動(dòng)和全班活動(dòng)時(shí)間分配比較合理，課前利用學(xué)案的優(yōu)勢(shì)讓學(xué)生通過自學(xué)、獨(dú)立思考和獨(dú)立完成部分作業(yè)，課堂主要進(jìn)行集體思考，集體問答；從優(yōu)差生活動(dòng)時(shí)間的分配來看：總體比較合理，主要是優(yōu)、中、后進(jìn)生活動(dòng)時(shí)間分配恰當(dāng)，沒有出現(xiàn)優(yōu)等生占用時(shí)間過多，后進(jìn)生占用時(shí)間太少的現(xiàn)象；從非教學(xué)時(shí)間的比例來看：本節(jié)課教師在課堂上有沒有脫離教學(xué)內(nèi)容，做別的事情，以及浪費(fèi)寶貴的課堂教學(xué)時(shí)間的現(xiàn)象，語言簡(jiǎn)潔，符合教學(xué)內(nèi)容.

4.課堂教學(xué)方法

在“根本教學(xué)”理念之下，所謂教學(xué)方法不是教師孤立的單一活動(dòng)方式，它包括教師“教學(xué)活動(dòng)方式”，還包括學(xué)生在教師指導(dǎo)下“學(xué)”的方式，是“教”的方法與“學(xué)”的方法的統(tǒng)一.它要求靈活運(yùn)用各種方法，尤其是引導(dǎo)法，以及體驗(yàn)學(xué)習(xí)教學(xué)法的應(yīng)用.針對(duì)本節(jié)課，筆者認(rèn)為其采用了：

（1）教學(xué)方法的合理化.本節(jié)課，教師充分積極引導(dǎo)學(xué)生的思維，利用學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，鼓勵(lì)學(xué)生產(chǎn)生思維風(fēng)暴，探索發(fā)現(xiàn)新的知識(shí)，感受“根”的發(fā)展和能效.

（2）教學(xué)方法的多樣化.沒有堅(jiān)持單一的教學(xué)方法，而是各種方法相互交融，使學(xué)生在學(xué)習(xí)“根本問題”之后，能夠盡快地利用這個(gè)“根本問題”解決新的問題，從而產(chǎn)生積極的學(xué)習(xí)體驗(yàn).

（3）教學(xué)方法的現(xiàn)代化.能很好地利用多媒體PPT課件進(jìn)行課堂教學(xué)，同時(shí)又不拘泥于做好的課件，教師能夠在恰當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)對(duì)恰當(dāng)?shù)膬?nèi)容在黑板上板書演示，能夠做到傳統(tǒng)方法與現(xiàn)代教學(xué)手段相結(jié)合，實(shí)屬不易.

三、根本教學(xué)的重要性

“根本教學(xué)”的課堂教學(xué)效果的評(píng)價(jià)應(yīng)該是多元立體的，首先，從課堂教學(xué)目標(biāo)的完成情況來看，學(xué)生是否對(duì)這個(gè)“根本”知識(shí)有了良好的感受，會(huì)不會(huì)應(yīng)用到其他領(lǐng)域中去，有沒有學(xué)習(xí)的欣快感，這是一個(gè)維度，另一個(gè)維度是學(xué)生的發(fā)展情況如何，他們?cè)诮窈笕绻龅筋愃频膯栴}，還會(huì)不會(huì)用今天的“根”去解決，即使想到去用，還會(huì)不會(huì)像今天課堂上那樣熟練.這兩個(gè)維度的評(píng)價(jià)對(duì)課堂教學(xué)的有效性來說非常關(guān)鍵，很大程度上關(guān)系到后來能不能真正綠樹成蔭.

“根本教學(xué)”強(qiáng)調(diào)“根”的作用，因此，在學(xué)法指導(dǎo)方面應(yīng)該幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)問題的根本，掌握根本問題的學(xué)習(xí)規(guī)律，并饒有興趣地應(yīng)用到其他問題中去，同時(shí)對(duì)此類問題養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，逐步提高學(xué)習(xí)能力，有效地提高學(xué)習(xí)效率.所以，事實(shí)上不必在問題的講解中穿插其他很多的方法，只要集中訓(xùn)練根本問題，并將問題輻射到數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，比如二維、三維，比如代數(shù)、幾何，比如三角形、數(shù)列等，從而發(fā)揮根系的作用，真正達(dá)到嫁接成林的局面.

根本教學(xué)讓教學(xué)真正有了“靈魂”，是一種符合當(dāng)下高效教學(xué)、帶有明確性指導(dǎo)方向的教學(xué)方式，至少從數(shù)學(xué)熱點(diǎn)問題的解決上來看，根本教學(xué)是一種有靈魂的教學(xué)，它讓復(fù)習(xí)教學(xué)不再出現(xiàn)毫無目的、盲目的訓(xùn)練，從這樣的困境中走出來，做一些與時(shí)俱進(jìn)的數(shù)學(xué)問題，既提高了數(shù)學(xué)教學(xué)的效率，也讓教師自身的專業(yè)化成長(zhǎng)走出了一條較為創(chuàng)新的道路.

1.宋衛(wèi)東.從生“動(dòng)”到生動(dòng)，詮釋思維品質(zhì)的提升［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2013（5）.

2.方厚石.向量教學(xué)詮釋思維品質(zhì)［J］.數(shù)學(xué)通訊，2014（1）.F