☉江蘇省常熟市滸浦高級中學(xué) 殷偉康

·江蘇省常熟市殷偉康名師工作室·

同課異構(gòu)，讓數(shù)學(xué)教學(xué)更貼近數(shù)學(xué)本質(zhì)
——“指數(shù)函數(shù)（第1課時）”同課異構(gòu)的教學(xué)反思

☉江蘇省常熟市滸浦高級中學(xué) 殷偉康

張奠宙教授認(rèn)為數(shù)學(xué)本質(zhì)是指：①數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系；②數(shù)學(xué)規(guī)律的形成過程；③數(shù)學(xué)思想方法的提煉；④數(shù)學(xué)人文精神的體驗.其中數(shù)學(xué)思維能力是核心.2014年9月某市首屆優(yōu)秀青年骨干教師高級研修班A、B兩位學(xué)員對同一課題：“指數(shù)函數(shù)（第1課時）”進(jìn)行了同課異構(gòu)，展現(xiàn)了不同的教學(xué)風(fēng)格和處理教材的教學(xué)智慧，讓數(shù)學(xué)教學(xué)更貼近數(shù)學(xué)本質(zhì).

一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

學(xué)員A教學(xué)片斷1

情境問題1：某細(xì)胞分裂時，由一個分裂成2個，2個分裂成4個，4個分裂成8個，……如果細(xì)胞分裂x次，相應(yīng)的細(xì)胞個數(shù)為y，如何描述這兩個變量的關(guān)系？

情境問題2：某種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì)，每經(jīng)過一年，這種物質(zhì)剩余的質(zhì)量是原來的84%.如果經(jīng)過x年，該物質(zhì)剩余的質(zhì)量為y，如何描述這兩個變量的關(guān)系？

引導(dǎo)學(xué)生分析，找到兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系，并得到解析式y(tǒng)=2x和y=0.84x.

學(xué)員B教學(xué)片斷1

情境問題：網(wǎng)上有人說，將一張白紙對折50次以后，其厚度超過地球到月球的距離，你認(rèn)為是真的嗎？設(shè)白紙每張厚度為0.01 mm，已知地球到月球的距離約為380 000 km.

請各小組將課前準(zhǔn)備好的報紙拿出來，你認(rèn)為可以將其對折多少次？

問題1：若設(shè)對折次數(shù)為x，報紙的層數(shù)為y，則y與x的關(guān)系是什么？

問題2：設(shè)報紙的原面積為1，則報紙的面積y與對折次數(shù)x的關(guān)系又是什么？

評析：學(xué)員A通過學(xué)生感興趣的指數(shù)函數(shù)的具體實例，讓學(xué)生感受指數(shù)函數(shù)與實際生活的聯(lián)系，明確指數(shù)函數(shù)模型的實際背景.引導(dǎo)學(xué)生從具體實例中概括其典型特征，初步形成指數(shù)函數(shù)的概念，并用數(shù)學(xué)符號表示.學(xué)員B從學(xué)生感興趣的一個生活實例（對折50次后紙厚度的驟變）出發(fā)，引發(fā)學(xué)生爭議，由此創(chuàng)設(shè)折紙實驗活動情境，更好地激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探究的熱情，強(qiáng)化了學(xué)生內(nèi)在的學(xué)習(xí)需求，巧妙地導(dǎo)入了新課.

二、抽象特征，建構(gòu)概念

學(xué)員A教學(xué)片斷2

師：類似的函數(shù)，你能再舉出一些例子嗎？這些函數(shù)有什么共同特點？能否寫成一般形式？

師：函數(shù)式y(tǒng)=ax中的a、x的取值范圍有沒有限制？你能規(guī)范地構(gòu)建出一種新函數(shù)模型嗎？這種新的函數(shù)怎樣命名比較貼切？

學(xué)生依據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的相關(guān)知識，很快發(fā)現(xiàn)：若a≤0時，x就不能取任意實數(shù)了，因此規(guī)定a＞0.當(dāng)a=1時，函數(shù)就是常數(shù)函數(shù)y=1.對于y=1這個函數(shù)，已經(jīng)比較了解了，所以通常還規(guī)定a≠1.由學(xué)生嘗試歸納出新的概念：一般地，函數(shù)y=ax（a＞0且a≠1）稱為指數(shù)函數(shù)，它的定義域是R.

學(xué)員B教學(xué)片斷2

師：這樣的函數(shù)你見過嗎？是一次函數(shù)嗎？二次函數(shù)？這樣的函數(shù)有什么特點？你能再舉幾個例子嗎？

師：板書學(xué)生舉例（停頓），好像有不同意見.

生：底數(shù)不能取負(fù)數(shù).

師：為什么？

生：如果底數(shù)取負(fù)數(shù)或0，x就不能取任意實數(shù)了.

師：我們已經(jīng)將指數(shù)的取值范圍擴(kuò)充到了R，我們希望這些函數(shù)的定義域就是R.

師：這些函數(shù)有什么共同特點？

生：都有指數(shù)運算.底數(shù)是常數(shù)，自變量在指數(shù)位置.

師：能否抽象、概括出具備上述特征的函數(shù)更一般的模型嗎？

生：y=ax（a＞0）.

師：當(dāng)a=1時，函數(shù)就是常數(shù)函數(shù)y=1.對于這個函數(shù)，我們已經(jīng)比較了解了.通常我們還規(guī)定a≠1.能否規(guī)范地構(gòu)建出這種新的函數(shù)模型？這種新的函數(shù)如何命名比較貼切？

通過探討、交流，得到體現(xiàn)自變量在指數(shù)位置這一本質(zhì)特征的最基本、最簡潔的形式：y=ax（a＞0且a≠1），從而完成對指數(shù)函數(shù)概念的建構(gòu).

評析：概念教學(xué)應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生感受形成過程，了解知識的來龍去脈，那種直接拋出定義后輔以“三項注意”的做法剝奪了學(xué)生參與概念形成過程的機(jī)會.兩位老師都能注重讓學(xué)生經(jīng)歷從特殊的指數(shù)函數(shù)抽象概括指數(shù)函數(shù)的模型、建構(gòu)指數(shù)函數(shù)概念的過程，并探討底數(shù)a的取值范圍.指數(shù)函數(shù)的本質(zhì)是自變量出現(xiàn)在指數(shù)上，應(yīng)促使學(xué)生對概念本質(zhì)的理解.指數(shù)函數(shù)概念的形成，經(jīng)歷了一個由特殊到一般，由具體到抽象的漸進(jìn)過程，這樣更加符合學(xué)生的認(rèn)知心理和思維歷程.

三、師生互動，探索新知

學(xué)員A教學(xué)片斷3

師：我們定義了一個新的函數(shù)，接下來該研究什么呢？

生：研究其性質(zhì).

師：（稍等片刻）我們一般要研究哪些性質(zhì)呢？

生：變量取值范圍（定義域、值域）、單調(diào)性、奇偶性.

師：如何研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)呢？能否類比以前研究的函數(shù)性質(zhì)的方法展開探究呢？

生：畫出函數(shù)圖像，觀察圖像，分析函數(shù)性質(zhì).

生：先研究幾個具體的指數(shù)函數(shù)，再研究一般情況.

師：選取合理數(shù)據(jù)，畫出函數(shù)圖像，觀察圖像特征，歸納函數(shù)性質(zhì).

學(xué)生自主選取數(shù)據(jù)，利用繪圖軟件作出底數(shù)0＜a＜1和a＞1的指數(shù)函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系中的圖像，觀察它們之間的異同，總結(jié)指數(shù)函數(shù)的圖像特征與性質(zhì).

生：當(dāng)a＞1時，指數(shù)函數(shù)在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增；當(dāng)0＜a＜1時，指數(shù)函數(shù)在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減.而且它們的圖像都經(jīng)過定點（0，1）.

生：因為y=ax總是大于零的，所以圖像始終在x軸上方，也就是說值域為（0，+∞）.

生：圖像既不關(guān)于y軸對稱，也不關(guān)于原點對稱，所以指數(shù)函數(shù)是非奇非偶函數(shù).

生：（補(bǔ)充）當(dāng)a＞1時，若x＞0，則y＞1；若x＜0，則0＜y＜1.當(dāng)0＜a＜1時，若x＞0，則0＜y＜1；若x＜0，則y＞1.

生：（補(bǔ)充）當(dāng)a＞1時，底數(shù)越大，圖像越陡峭.

生：函數(shù)y=2x與函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱.

生：底數(shù)a（a＞0且a≠1）互為倒數(shù)的指數(shù)函數(shù)（即函數(shù)y=ax與y=a-x）的圖像關(guān)于y軸對稱.

師：你能不能將這一特殊的現(xiàn)象推廣一下？

生：函數(shù)y=f（x）與y=f（-x）的圖像關(guān)于y軸對稱.

師：從現(xiàn)象到本質(zhì)，居然能提煉出如此優(yōu)美的數(shù)學(xué)結(jié)論，這是一次重大的發(fā)現(xiàn)，值得學(xué)習(xí)和借鑒.這些結(jié)論是否正確？

生：還須證明.

師：由圖像特征歸納猜想得到的結(jié)論，還須證明或說明.如單調(diào)性，還應(yīng)通過f（x1）與f（x2）的大小比較進(jìn)行代數(shù)證明，我們將在以后用代數(shù)方法進(jìn)行驗證.

學(xué)員B教學(xué)片斷3

師：我們已經(jīng)學(xué)過了函數(shù)的哪些性質(zhì)？

生：單調(diào)性、奇偶性、定義域和值域.

師：研究函數(shù)的性質(zhì)通常用怎樣的方法？

生：通過圖像入手，展開研究.

師：可惜現(xiàn)在對指數(shù)函數(shù)還不夠了解，那么怎樣去描繪其圖像呢？

生：通過列表、描點、連線的方法.

通過學(xué)生分組合作，分工協(xié)作，描點作圖，觀察它們之間的異同，組內(nèi)交流、整理指數(shù)函數(shù)的圖像特征與性質(zhì).分層展示各小組研究成果（用實物投影儀展示學(xué)生所畫圖像及結(jié)論），匯報交流，將函數(shù)圖像的直觀感知與數(shù)學(xué)理性思維相結(jié)合，逐步有序歸納指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，并從函數(shù)表達(dá)式角度對其結(jié)論進(jìn)行說明.

評析：學(xué)員A引導(dǎo)學(xué)生討論，歸納出研究函數(shù)性質(zhì)的基本步驟：①選取數(shù)據(jù)；②畫出圖像；③觀察特征；④歸納性質(zhì)；⑤證明或說明.學(xué)員B先讓學(xué)生自己動手畫一下函數(shù)圖像，對指數(shù)函數(shù)的圖像建立直觀認(rèn)識.然后教師通過四個函數(shù)圖像引導(dǎo)學(xué)生分析得出指數(shù)函數(shù)圖像的變化完全由底數(shù)a來控制的結(jié)論，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生按照底數(shù)0＜a＜1和a＞1兩種情況對指數(shù)函數(shù)進(jìn)行分類探究并加以說明這些性質(zhì)成立的合理性，在此過程中培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析問題的能力.

四、新知運用，深化理解

學(xué)員A教學(xué)片斷4

例1比較下列各組數(shù)中兩個值的大小.

①1.52.5，1.53.2；②0.5-1.2，0.5-1.5；③1.50.3，0.81.2．

其中第③小題中兩個數(shù)的底數(shù)不一樣，如何比較兩者大小？

師：你考慮利用哪個函數(shù)？是y=1.5x還是y=0.8x？這兩個函數(shù)有什么關(guān)聯(lián)？

生：它們的圖像都過點（0，1）．

師：也就是說，可以將1轉(zhuǎn)化為指數(shù)形式，即1=1.50= 0.80．那接下來呢？

生：比較1.50.3，0.81.2和1的大?。?/p>

師：這樣，我們就找到了一個比大小的中間量．以往我們計算出冪的值來比較大小，現(xiàn)在我們利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，不用計算就可以比較兩個冪的大小．

師：有無其他方法？

生：老師，只要作出y=1.5x和y=0.8x圖像，觀察圖像，也不用計算，就可以比較兩者大小.

師：很好！通過觀察圖像，比較大小，這樣求解更加直觀、形象化，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.

學(xué)員B教學(xué)片斷4

例2比較下列各組數(shù)中兩個值的大小.

①1.52.5，1.53.2；②0.5-1.2，0.5-1.5；③1.50.3，0.81.2．

生：①②構(gòu)造相應(yīng)的指數(shù)函數(shù)模型，利用其單調(diào)性解決問題.

師：第③小題與①②兩小題有什么不同？

生：底數(shù)不同，指數(shù)也不同.

師：能不能借助指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大??？

生：不能，因為底數(shù)不同，不能構(gòu)造同一個指數(shù)函數(shù).

師：能否借助指數(shù)函數(shù)的其他性質(zhì)比較大?。?/p>

學(xué)生通過重新審視發(fā)現(xiàn)：指數(shù)函數(shù)的圖像都經(jīng)過定點（0，1），即1=1.50=0.80．再根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，1.50.3＞1.50=1，0.81.2＜0.80=1，進(jìn)而比較大小.

師：這種解法有什么特點？

生：尋找中間量，通過中間量過渡，利用不等式的傳遞性比較大小.

師：性質(zhì)是由圖像得來的，能否通過作圖比較大?。?/p>

生：作出y=1.5x和y=0.8x的圖像，借助圖像，發(fā)現(xiàn)1.50.3所對應(yīng)的點在直線y=1的上方，而0.81.2所對應(yīng)的點在直線y=1的下方，所以1.50.3＞0.81.2.

評析：兩位學(xué)員對第③小題的處理都能引導(dǎo)學(xué)生回到定義、圖像和性質(zhì)中尋找解題突破口．讓學(xué)生認(rèn)識到利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是比較兩個冪大小的常用方法，還可以通過數(shù)形結(jié)合，觀察圖像的變化規(guī)律，比較大小.

五、課堂小結(jié)，畫龍點睛

學(xué)員A教學(xué)片斷5

師：本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了什么知識？

生：指數(shù)函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)．

師：回顧我們的研究過程，我們是怎樣研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)？

生：先確定研究的內(nèi)容：定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性和其他性質(zhì)．然后從幾個具體的指數(shù)函數(shù)開始，畫出圖像，列出性質(zhì)，最后歸納出一般情況．

師：這是一種從特殊到一般的研究方法．研究指數(shù)函數(shù)的方法，也是研究函數(shù)的一般方法，今后我們還會運用這樣的方法研究其他新的函數(shù)．

學(xué)員B教學(xué)片斷5

問題1：本節(jié)課在知識層面上，你有哪些收獲？

問題2：研究函數(shù)的一般方法和步驟是怎樣的？

問題3：本節(jié)課積累了哪些數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗或數(shù)學(xué)思想方法？（分類討論、數(shù)形結(jié)合）

問題4：你體驗到了什么？你感悟到了什么？（有學(xué)生提出“心中有圖”，方能應(yīng)對如流）

評析：課堂總結(jié)不是對所學(xué)知識的簡單回顧，應(yīng)讓學(xué)生在知識、方法和策略上多層次地整理，促進(jìn)學(xué)生理解所用學(xué)習(xí)方法的合理性與普遍性，使學(xué)生獲得知識與能力的共同進(jìn)步．學(xué)員B誘導(dǎo)學(xué)生通過反思，對課堂學(xué)習(xí)的內(nèi)容有一個完整、清晰而深刻的認(rèn)識，感悟數(shù)學(xué)知識中所蘊含的思想方法，掌握研究函數(shù)的方法，從而對指數(shù)函數(shù)的概念和性質(zhì)進(jìn)行有效地意義建構(gòu).

六、名師點評，誘發(fā)反思

名師1：兩位老師都能緊扣教學(xué)目標(biāo)，對教材進(jìn)行了二次開發(fā)，抓住自變量在指數(shù)位置這一本質(zhì)，通過實際情境引入，得到新的函數(shù)關(guān)系，讓學(xué)生自主舉例，分析共同特征，形式化表示等過程，師生共同完成指數(shù)函數(shù)概念的建構(gòu).如何處理好信息技術(shù)與傳統(tǒng)教學(xué)的關(guān)系？兩位學(xué)員給出了詮釋.學(xué)員A利用繪圖軟件作圖，讓學(xué)生觀察圖像，歸納出指數(shù)函數(shù)圖像特征與性質(zhì).而學(xué)員B注重引導(dǎo)探討研究函數(shù)性質(zhì)的方法，通過學(xué)生親自作圖，在直觀感悟中形成對指數(shù)函數(shù)圖像特征與性質(zhì)的認(rèn)識，這樣的教學(xué)更利于對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，掌握研究函數(shù)性質(zhì)的科學(xué)方法.對例題的處理大同小異，借助于“中間量”進(jìn)行比較大小.史寧中教授認(rèn)為：“通過創(chuàng)設(shè)情境及數(shù)學(xué)活動，讓學(xué)生感悟出其中蘊含的數(shù)學(xué)思想方法，乃是數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì).”因而學(xué)員B的課堂小結(jié)中設(shè)置的問題更有啟發(fā)性、更加有效.值得商榷之處：指數(shù)函數(shù)概念概括出來后，應(yīng)該對概念有一個辨析的過程，這樣更利于學(xué)生對指數(shù)函數(shù)概念的理解和領(lǐng)悟.

名師2：蘇霍姆林斯基曾說：“任何一個教師都不可能是一切優(yōu)點的全面體現(xiàn)者，每一位教師都有他的優(yōu)點，有別人所不具備的長處，能夠在精神生活的某一個領(lǐng)域里比別人更突出、更完善地表現(xiàn)自己.”同課異構(gòu)正是基于展現(xiàn)每個教師處理教材的能力和教學(xué)智慧，啟迪教師更深入地“理解教材，理解學(xué)生，理解教學(xué)”（章建躍博士提出的“三個理解”），改變教學(xué)方式，注重回歸本源，揭示數(shù)學(xué)概念的發(fā)生、發(fā)展過程和本質(zhì)，凸顯本真數(shù)學(xué)教學(xué).兩位學(xué)員都能圍繞“核心主線”，精心設(shè)計數(shù)學(xué)問題，展開合作學(xué)習(xí)和自主探究，有效地實施了“核心概念”的教學(xué).引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到實例的共同特征是自變量在指數(shù)的位置，獲得對指數(shù)函數(shù)本質(zhì)的認(rèn)識.進(jìn)而將這一本質(zhì)數(shù)學(xué)化，建立數(shù)學(xué)模型，探討底數(shù)的取值范圍，從而完成從特殊到一般、具體到抽象的數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)過程.怎樣研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)？適度暗示，讓學(xué)生主動地聯(lián)想，探索研究函數(shù)性質(zhì)的方法，并付諸研究實踐，學(xué)員A的教法更到位.運用信息技術(shù)作出相關(guān)的圖像，歸納出其相應(yīng)的性質(zhì)，這樣給學(xué)生的概括活動提供更豐富的具體例證的支持；若用技術(shù)僅作為驗證歸納性質(zhì)的手段，可能少妥.而學(xué)員B的教法則樸實一點，貼近學(xué)生的思維，讓學(xué)生通過作圖，直觀歸納出指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，并對結(jié)論進(jìn)行理性思考，顯得比較自然，但缺少引領(lǐng)學(xué)生尋找“研究函數(shù)的性質(zhì)”方法的指導(dǎo)過程，不利于學(xué)生對研究函數(shù)的性質(zhì)一般方法的認(rèn)識與掌握.

教學(xué)反思：數(shù)學(xué)教學(xué)的核心是教出“數(shù)學(xué)味”，也就是說要把“面對一個新的數(shù)學(xué)對象，應(yīng)如何入手和展開研究”作為教學(xué)設(shè)計重點，使學(xué)生在建構(gòu)數(shù)學(xué)概念過程中，逐步學(xué)會認(rèn)識和解決問題的方法.因而，數(shù)學(xué)概念教學(xué)要挖掘、揭示其本質(zhì)屬性．?dāng)?shù)學(xué)概念的形成，基于“三個理解”的基礎(chǔ)，創(chuàng)設(shè)貼近學(xué)生思維水平的情境引入，引發(fā)學(xué)生展開有效的思維和探究，讓學(xué)生經(jīng)過從感性認(rèn)識到理性認(rèn)識，才能有效地建構(gòu)數(shù)學(xué)概念.如何讓學(xué)生產(chǎn)生感性認(rèn)識，需要教師在教學(xué)設(shè)計時創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)膯栴}情境，激趣啟智，嘗試提出問題，并引導(dǎo)學(xué)生對概念的辨析，使學(xué)生思維自然過渡，逐漸感悟數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，以達(dá)水到渠成之功效.教學(xué)不僅要關(guān)注知識的落實，還要關(guān)注如何揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)和學(xué)生思維能力的發(fā)展.因而，要把提出問題的機(jī)會留給學(xué)生，把尋找方法的空間讓給學(xué)生，把自主探究的權(quán)力還給學(xué)生，讓學(xué)生在思考與探究中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)，感悟思想，掌握方法，發(fā)展思維，使數(shù)學(xué)課堂更加精彩、有效.

1.邢瑋，章建躍.遷思回慮，一得之功——對“指數(shù)函數(shù)（第一課時）”教學(xué)設(shè)計的再思考與評析［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)教育（高中版），2013（1-2）.

2.劉明.“指數(shù)函數(shù)”該怎樣上——來自第六屆全國高中青年教師優(yōu)質(zhì)課的“同課異構(gòu)”［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2014（3）．F