●江蘇省如東豐利中學(xué) 戴榮春

淺談直線與圓位置關(guān)系的題目類型

●江蘇省如東豐利中學(xué) 戴榮春

在直線和圓的位置關(guān)系章節(jié)，我們要求學(xué)生熟練地掌握直線與圓的位置關(guān)系及性質(zhì)、判定定理，在對(duì)性質(zhì)與判定的探究過(guò)程中，既要有歸納概括的能力，也要有思維轉(zhuǎn)換的能力，所以這是本章節(jié)的一個(gè)難點(diǎn).另外對(duì)“相切”要分清直線和圓有唯一公共點(diǎn)是指有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，這和有一個(gè)公共點(diǎn)的含義是完全不同的，這一點(diǎn)在直線與曲線相切時(shí)是非常重要的，一般情況下學(xué)生比較難理解.直線和圓的位置關(guān)系通過(guò)直線的方程和圓的方程表示，既是深入研究圓有關(guān)性質(zhì)的基礎(chǔ)知識(shí)，也是為圓與圓的位置關(guān)系打下階段性的鋪墊.在近幾年數(shù)學(xué)高考中，直線與圓位置關(guān)系的考題多數(shù)出現(xiàn)在解答題和填空題中.筆者結(jié)合高三綜合測(cè)試卷，分析探究直線和圓的位置關(guān)系的題目類型.

一、直線與圓的位置關(guān)系的判定

直線與圓的位置關(guān)系的判定方法比較簡(jiǎn)單，判斷直線與圓的位置關(guān)系有兩種方法.一種是幾何法：根據(jù)圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小關(guān)系來(lái)判斷.如果dr，則直線與圓相離.第二種是代數(shù)法：根據(jù)直線的方程與圓的方程組成的方程組解的情況來(lái)判斷．如果有兩組實(shí)數(shù)解，則直線與圓相交；如果有一組實(shí)數(shù)解，則直線與圓相切；如果無(wú)實(shí)數(shù)解，則直線與圓相離.

例1 對(duì)任意實(shí)數(shù)λ，直線l1：x+λy-m-λn=0與圓C：x2+y2=r2總相交于兩不同點(diǎn)，則直線l2：mx+ny=r2與圓C的位置關(guān)系是_____．

分析：由直線l1的方程可得它經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（m，n），結(jié)合條件可得點(diǎn)（m，n）在圓C的內(nèi)部，故有m2+n2＜r2．再求得圓心C到直線l2的距離為可得直線l與2圓C的位置關(guān)系是相離.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，直線和圓的位置關(guān)系的判斷，屬于中檔題.

二、圓上的點(diǎn)到直線的距離

對(duì)于求圓上的點(diǎn)到直線的距離問(wèn)題，學(xué)生沒(méi)遇到過(guò)，往往不知道從何處下手，點(diǎn)到直線的距離即點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)，對(duì)于何時(shí)達(dá)到最大或最小值，要引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析、猜測(cè)、驗(yàn)證、下結(jié)論.

例2 圓x2+y2=1上的點(diǎn)到直線3x+4y-25=0的距離的最小值是______.

分析：先看圓心到直線的距離，結(jié)果大于半徑，可知直線與圓相離，進(jìn)而可知圓上的點(diǎn)到直線的最小距離為圓心到直線的距離減去圓的半徑.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想及轉(zhuǎn)化與化歸思想.

三、截距相等問(wèn)題

對(duì)于截距相等問(wèn)題，首先考慮截距都為0的情況，截距不為0時(shí)要考慮符號(hào)必須相同，截距不同于距離，距離是非負(fù)的，而截距可以是負(fù)的.

例3 與圓（x-3）2+（y-3）2=8相切，且在x、y軸上截距相等的直線有（ ）.

A.4條 B.3條 C.2條 D.1條

分析：與圓（x-3）2+（y-3）2=8相切，且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線，必有過(guò)原點(diǎn)的2條直線，還有斜率為-1的兩條直線.

點(diǎn)評(píng)：本題考查學(xué)生理解直線與圓相切時(shí)圓心到直線的距離等于半徑，需要靈活運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式解決實(shí)際問(wèn)題.

四、直線與圓相交

直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直線和圓相交.

例4 若直線l與圓（x+1）2+（y-2）2=100相交于A、B兩點(diǎn)，弦AB的中點(diǎn)為（-2，3），則直線l的方程為_(kāi)____.

分析：由圓的方程找出圓心C的坐標(biāo)，連接圓心與弦AB的中點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理的逆定理得此直線與直線l垂直，根據(jù)兩直線垂直時(shí)斜率的乘積為-1，由圓心與弦AB的中點(diǎn)的連線的斜率，求出直線l的斜率，再由直線l過(guò)AB的中點(diǎn)，即可得到直線l的方程.

點(diǎn)評(píng)：本題是基礎(chǔ)題，考查直線方程的求法，正確處理直線與圓的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力.

在解析幾何中，直線和圓的位置關(guān)系是一個(gè)非常重要的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)學(xué)生的思維方式有著很好的鍛煉.考試中出現(xiàn)的題型往往不是浮于表面的，這就要求學(xué)生在掌握概念的同時(shí)，也要靈活地運(yùn)用方法，通過(guò)仔細(xì)觀察圖形來(lái)找到切入點(diǎn)，達(dá)到數(shù)形結(jié)合的目的，從而更快、更準(zhǔn)確地找出解題方法.

1.徐飛翔.直線與圓的位置關(guān)系的若干問(wèn)題［J］.高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2012（4）.

2.周棟梁.“顯而易見(jiàn)”下的缺失——《直線與圓的位置關(guān)系》聽(tīng)課后的感想［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2013（1）.A