☉湖北省嘉魚縣第一中學(xué) 成云勇

淺談柯西不等式及其應(yīng)用

☉湖北省嘉魚縣第一中學(xué) 成云勇

柯西不等式是高中不等式內(nèi)容的一個重要知識點(diǎn)，是高中不等式內(nèi)容的升華，其具有非常鮮明的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，形式優(yōu)美，通過柯西不等式的學(xué)習(xí)，可以提升學(xué)生的探究與創(chuàng)新能力，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)整體素質(zhì).柯西不等式在不等式的證明、最值的求解、參數(shù)范圍的求解等方面有重要的運(yùn)用.

柯西不等式：若ai、bi∈R+（i=1、2…、n），則：（當(dāng)且僅當(dāng)bi=0或存在唯一實(shí)數(shù)k，使得ai=kbi時，等號成立.

變式1：若ai∈R，bi∈R+（i=1、2、…、n），則：當(dāng)且僅當(dāng)存在唯一實(shí)數(shù)k，使得bi=kai時，等號成立.

變式2：若ai、bi同號（i=1、2…、n），則：當(dāng)且僅當(dāng)b1=b2=…=bn時，等號成立.

柯西不等式主要有以下方面的應(yīng)用.

一、證明不等式

例1 設(shè)a、b、c∈R+，且不全相等，求證：

分析：觀察其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，可運(yùn)用變式2證明.

證明：由a、b、c∈R+，得當(dāng)且僅當(dāng)a+b=b+c=a+c，即a=b=c時，等號成立.又 a、b、c不全相等，則

二、運(yùn)用柯西不等式求最值

例2（1）設(shè)正數(shù)x、y、z滿足x+y+z=1，求函數(shù)u=2x2+ 3y2+z2的最小值.

分析：柯西不等式經(jīng)常用于求多元變量的最值，求最值時，一定要把握住不等號的方向，通過添、湊等方法，配湊出定值.（1）中要配出關(guān)于定值x+y+z的表達(dá)式，（2）中要通過配湊將變量x消掉.

解 ：（1） 由 （2x2+3y2+z2）（x+y+z）2=1，得u≥等號成立的條件是：2x=3y=z.又x+y+z=1，則當(dāng)x=時，u取得最小值

三、求參數(shù)的取值范圍

例3 已知實(shí)數(shù)a、b、c滿足a+2b+c=1，a2+b2+c2=1，求c的取值范圍.

分析：觀察兩個式子的特點(diǎn)，可根據(jù)柯西不等式建立關(guān)于c的一元二次不等式，從而求出c的取值范圍.

解：由（a2+b2）（12+22）≥（a+2b）2，得5（1-c）2≥（1-c）2（1-c）2，即3c2-c-2≤0，解得-≤c≤1.

注意：有些同學(xué)在解題過程中，可能出現(xiàn)類似于以下的解法.

由（a2+b2+c2）（12+22+22）≥（a+2b+2c）2，得（1+c）2≤9，則-4≤c≤2.

上述解法中忽視了柯西不等式等號成立的條件，所求結(jié)果兩邊取不到等號，從而將范圍擴(kuò)大了.

四、充分利用柯西不等式等號成立的條件解題

例4 設(shè)x、y、z∈R，且滿足：x2+y2+z2=1，x+2y+3z=求x+y+z的值.

分析：通過柯西不等式建立兩個已知量之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)等號剛好成立，再運(yùn)用柯西不等式等號成立的條件，求解出x、y、z的值.

解：（x2+y2+z2）（12+22+32）≥（x+2y+3z）2（1）.

又x2+y2+z2=1，x+2y+3z=，則（1）式等號成立.

五、與柯西不等式有關(guān)的綜合問題

（1）設(shè)F（x）=f（x）+g（x），求函數(shù)F（x）的圖像在x=1處的切線方程；

（2）求證：ef（x）≥g（x）對任意x∈（0，+∞）恒成立；

（3）若a、b、c∈R+，且a2+b2+c2=3，求證：≤6.

分析：第三問涉及多元不等式的證明，具有明顯的對稱性，可用柯西不等式證明，證明過程中注意對（2）中結(jié)論的運(yùn)用，運(yùn)用柯西不等式要注意對不等號方向的把握，注重對定值的配湊.

解：（1）和（2）解答略.

（3）由（2）得：xx≥

聯(lián)立上述三不等式即可得證.A