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        法出自然,思揭本源
        ——2014年北京市高考第19題賞析

        2015-07-01 20:05:14北京市豐臺(tái)區(qū)第二中學(xué)孫泰鄭新春
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2015年3期
        關(guān)鍵詞:圓心入口橢圓

        ☉北京市豐臺(tái)區(qū)第二中學(xué) 孫泰 鄭新春

        法出自然,思揭本源
        ——2014年北京市高考第19題賞析

        ☉北京市豐臺(tái)區(qū)第二中學(xué) 孫泰 鄭新春

        2014年高考北京試卷理科第19題,保持了北京卷簡(jiǎn)捷、優(yōu)美的一貫風(fēng)格,讀罷研磨,發(fā)現(xiàn)該題入口平實(shí)、思路寬泛、底蘊(yùn)深厚,緊扣解析幾何的思想精髓,堪稱精品之作.賞析第(Ⅱ)問(wèn)的解法,探尋一般結(jié)論,進(jìn)而類比推廣,無(wú)疑對(duì)激發(fā)學(xué)習(xí)興趣、提升解題能力、豐厚解析幾何教學(xué)資源大有裨益.

        一、原題呈現(xiàn)

        題目已知橢圓C:x2+2y2=4.

        (Ⅰ)求橢圓C的離心率;

        (Ⅱ)設(shè)O為原點(diǎn),若點(diǎn)A在橢圓C上,點(diǎn)B在直線y=2上,且OA⊥OB,試判斷直線AB與圓x2+y2=2的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

        二、解法研究

        解析幾何較歐氏幾何,最大的優(yōu)勢(shì)是把“運(yùn)動(dòng)變化引進(jìn)了數(shù)學(xué)”,使我們實(shí)現(xiàn)了“用點(diǎn)的坐標(biāo)刻畫運(yùn)動(dòng)”這一基本代數(shù)手段研究幾何問(wèn)題的設(shè)想.而本題的解決過(guò)程淋漓盡致地展示了這一優(yōu)勢(shì).

        觀察第(Ⅱ)問(wèn),如圖1,直線AB是一條動(dòng)直線,研究該動(dòng)直線與圓x2+y2=2的位置關(guān)系,實(shí)則判斷原點(diǎn)到直線AB的距離與√2的大小,而原點(diǎn)到直線的距離可由“點(diǎn)到直線的距離公式”或“等面積法”獲得,這是解決問(wèn)題的基本思路.在我們追溯直線AB因何而動(dòng)的過(guò)程中,自然產(chǎn)生了三類解題策略,展現(xiàn)出多種平實(shí)之入口(僅以入口1為例,闡述完整的解題過(guò)程).

        圖1

        1.視點(diǎn)A為主動(dòng)點(diǎn)

        從題設(shè)看,點(diǎn)A在橢圓C上的運(yùn)動(dòng)是主動(dòng)的,而點(diǎn)B是受條件“OA⊥OB”的制約,在直線y=2上被動(dòng)地運(yùn)動(dòng).所以,我們?cè)O(shè)參數(shù)刻畫點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng),并用該參數(shù)表示點(diǎn)B的坐標(biāo),進(jìn)而得到直線AB的方程或OA、OB及AB之長(zhǎng),即成為自然的選擇.

        入口1:設(shè)點(diǎn)A(x0,y0),由題意知x0≠0,由OA⊥OB,

        解法1:利用點(diǎn)到直線的距離公式解題.

        解法2:利用等面積法解題.

        入口4:設(shè)直線OA的斜率為k,則直線OA的方程為y= kx,代入橢圓C的方程,解得

        當(dāng)k=0時(shí),點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(2,0),(0,2),圓心O到直線AB的距離

        2.視點(diǎn)B為主動(dòng)點(diǎn)

        就本題而言,我們不受題設(shè)干擾,轉(zhuǎn)換角度,可以發(fā)現(xiàn),視點(diǎn)B在直線y=2上主動(dòng)運(yùn)動(dòng),完全不悖題意,異曲同工,還有運(yùn)算更簡(jiǎn)的收獲.

        入口5:設(shè)點(diǎn)B(m,2),當(dāng)m=0時(shí),由OA⊥OB得點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0)或(2,0),易得圓心O到直線AB的距離為,此時(shí)直線AB與圓x2+y2=2相切;當(dāng)m≠0時(shí),由OA⊥ OB得OA的方程為

        入口7:當(dāng)直線OB的斜率k不存在時(shí),點(diǎn)B坐標(biāo)為(0,2),點(diǎn)A坐標(biāo)為(2,0)或(-2,0),圓心到直線AB的距離d=,結(jié)論成立.

        當(dāng)直線OB的斜率k存在時(shí),直線OB、OA的方程分別為y=kx(顯然k≠0)(下面求點(diǎn)A、B的坐標(biāo),建立直線AB的方程,與解法1類似,或求OA、OB的長(zhǎng)與解法2類似)

        3.淡化點(diǎn)A、B的主從地位

        研究題設(shè),發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A、B被條件“OA⊥OB”一肩挑起,這又為我們淡化它們的主從地位,產(chǎn)生如下解法提供了方便.

        入口8:設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(x0,y0),(t,2),其中x0≠0.因?yàn)镺A⊥OB,所以,即tx0+2y0=0,解得.余下同解法1.

        入口9:令OA=r1,OB=r2,圓心O到直線AB的距離為d,則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(r1cosθ,r1sinθ),點(diǎn)B的坐標(biāo)為,根據(jù)點(diǎn)A、B分別在橢圓C和直線y=2上,故有此同解法2,不過(guò)要得需要對(duì)解題過(guò)程有一定的前瞻意識(shí).

        三、從合情推理到演繹證明

        解罷本題,筆者被它簡(jiǎn)捷優(yōu)美的結(jié)構(gòu)和豐富多彩的入口深深震撼,不禁捫心發(fā)問(wèn),如此精妙的問(wèn)題是天成偶得還是內(nèi)含玄機(jī)?高考命題的源與流是什么?我們?cè)趯㈩}中涉及的曲線一般化,一探究竟的過(guò)程中,竟得如下一系列令人興奮的命題.

        1.從特殊到一般

        從命題1出發(fā),變化不同的思維角度,可得如下推論.

        (1)從度量角度得推論1.

        注:2014年北京市高考理科第19題顯然是此命題的特殊情況.

        (2)逆向思考,得推論2和推論3.

        2.類比推廣

        研究至此,筆者對(duì)能否把上述結(jié)論中的直線、或者圓、甚至橢圓分別換成其他曲線,相應(yīng)結(jié)論是否成立,發(fā)生了鍥而不舍的興趣,反復(fù)嘗試、研磨,終得正果.

        (1)若點(diǎn)B的軌跡由直線變換為其他曲線

        選特殊的位置觀察,對(duì)于圓x2+y2=m2,當(dāng)OA是橢圓的長(zhǎng)半軸時(shí),AB與圓相切交y軸于點(diǎn);同理,當(dāng)OA是橢圓的短半軸時(shí),推測(cè)點(diǎn)B所在曲線方程為,遂得命題2.

        證明:令OA=r1,OB=r2,圓心O到直線AB的距離為d,則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(r1cosθ,r1sinθ),點(diǎn)B的坐標(biāo)為由點(diǎn)A在橢圓C1上,點(diǎn)B在曲線C2上得因此圓心O到直線AB的距離=m.所以直線AB與圓x2+y2=m2相切.

        注:當(dāng)m=b得到2014年北京高考理科第19題的推廣命題1;當(dāng)?shù)玫?009年山東高考理科第22題的推廣,至此發(fā)現(xiàn)兩道高考試題“同根同源”.當(dāng)m<b時(shí),曲線C2為橢圓,橢圓、橢圓和圓三圓相伴;當(dāng)b<m<a時(shí),曲線C2為雙曲線,雙曲線、橢圓和圓珠聯(lián)璧合.

        (2)點(diǎn)A的軌跡由橢圓變換為其他曲線.

        命題4已知點(diǎn)A在拋物線C:y2=2px(p>0)上,點(diǎn)B在直線上,設(shè)O為原點(diǎn),且OA⊥OB,則直線AB與圓相切.

        (3)與直線AB相切的曲線由圓變換為其他曲線.

        =1(0<m<a)上,點(diǎn)B在曲線上,設(shè)O為原點(diǎn),直線OA、OB的斜率分別為則直線AB的包絡(luò)曲線C2的方程

        四、結(jié)束語(yǔ)

        面對(duì)當(dāng)今高考幾近統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn),用“棋譜定式”般的演繹推理來(lái)解決“成型”的試題,已成為我們的“強(qiáng)項(xiàng)”,“高效數(shù)學(xué)課堂”也常被誤讀為“速解問(wèn)題”的代名詞,學(xué)生很少嘗試數(shù)學(xué)研究的過(guò)程,很難體會(huì)到數(shù)學(xué)在發(fā)現(xiàn)、類比、歸納、證明過(guò)程中的思維之美,更體驗(yàn)不到創(chuàng)造的激情,這樣的教學(xué),很難培養(yǎng)出善于提出問(wèn)題和解決問(wèn)題的創(chuàng)新人才.數(shù)學(xué)先哲畢達(dá)哥拉斯說(shuō):“在數(shù)學(xué)的天地里,重要的不是我們知道什么,而是我們?cè)趺粗朗裁础?,張飴慈教授、章建躍先生分別著文1、文2告誡我們一線的教師要發(fā)揮數(shù)學(xué)內(nèi)在的力量,大數(shù)學(xué)家高斯說(shuō)出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的真境界:“給我最大快樂(lè)的,不是已懂得知識(shí),而是不斷的學(xué)習(xí);不是已有的東西,而是不斷的獲??;不是已達(dá)到的高度,而是繼續(xù)不斷的攀登.”所以,挖掘教學(xué)“礦點(diǎn)”,探索過(guò)程與結(jié)論并重的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式,是我們工作的重要目標(biāo).站在長(zhǎng)遠(yuǎn)的角度,我們甚至可以說(shuō):結(jié)論可以無(wú)用,過(guò)程斷然無(wú)價(jià).

        最后,誠(chéng)摯感謝北京市數(shù)學(xué)特級(jí)教師連春興老師的幫助.

        1.張飴慈.解數(shù)學(xué)題不應(yīng)是公式、規(guī)則的演繹游戲[J].數(shù)學(xué)通報(bào),2010(6).

        2.章建躍.發(fā)揮數(shù)學(xué)的內(nèi)在力量為學(xué)生謀求長(zhǎng)期利益[J].數(shù)學(xué)通報(bào),2013(2).FH

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