☉北京市豐臺(tái)區(qū)第二中學(xué) 孫泰 鄭新春

法出自然，思揭本源
——2014年北京市高考第19題賞析

☉北京市豐臺(tái)區(qū)第二中學(xué) 孫泰 鄭新春

2014年高考北京試卷理科第19題，保持了北京卷簡(jiǎn)捷、優(yōu)美的一貫風(fēng)格，讀罷研磨，發(fā)現(xiàn)該題入口平實(shí)、思路寬泛、底蘊(yùn)深厚，緊扣解析幾何的思想精髓，堪稱精品之作.賞析第（Ⅱ）問的解法，探尋一般結(jié)論，進(jìn)而類比推廣，無疑對(duì)激發(fā)學(xué)習(xí)興趣、提升解題能力、豐厚解析幾何教學(xué)資源大有裨益.

一、原題呈現(xiàn)

題目已知橢圓C：x2+2y2=4.

（Ⅰ）求橢圓C的離心率；

（Ⅱ）設(shè)O為原點(diǎn)，若點(diǎn)A在橢圓C上，點(diǎn)B在直線y=2上，且OA⊥OB，試判斷直線AB與圓x2+y2=2的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

二、解法研究

解析幾何較歐氏幾何，最大的優(yōu)勢(shì)是把“運(yùn)動(dòng)變化引進(jìn)了數(shù)學(xué)”，使我們實(shí)現(xiàn)了“用點(diǎn)的坐標(biāo)刻畫運(yùn)動(dòng)”這一基本代數(shù)手段研究幾何問題的設(shè)想.而本題的解決過程淋漓盡致地展示了這一優(yōu)勢(shì).

觀察第（Ⅱ）問，如圖1，直線AB是一條動(dòng)直線，研究該動(dòng)直線與圓x2+y2=2的位置關(guān)系，實(shí)則判斷原點(diǎn)到直線AB的距離與√2的大小，而原點(diǎn)到直線的距離可由“點(diǎn)到直線的距離公式”或“等面積法”獲得，這是解決問題的基本思路.在我們追溯直線AB因何而動(dòng)的過程中，自然產(chǎn)生了三類解題策略，展現(xiàn)出多種平實(shí)之入口（僅以入口1為例，闡述完整的解題過程）.

圖1

1.視點(diǎn)A為主動(dòng)點(diǎn)

從題設(shè)看，點(diǎn)A在橢圓C上的運(yùn)動(dòng)是主動(dòng)的，而點(diǎn)B是受條件“OA⊥OB”的制約，在直線y=2上被動(dòng)地運(yùn)動(dòng).所以，我們?cè)O(shè)參數(shù)刻畫點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)，并用該參數(shù)表示點(diǎn)B的坐標(biāo)，進(jìn)而得到直線AB的方程或OA、OB及AB之長(zhǎng)，即成為自然的選擇.

入口1：設(shè)點(diǎn)A（x0，y0），由題意知x0≠0，由OA⊥OB，

解法1：利用點(diǎn)到直線的距離公式解題.

解法2：利用等面積法解題.

入口4：設(shè)直線OA的斜率為k，則直線OA的方程為y= kx，代入橢圓C的方程，解得

當(dāng)k=0時(shí)，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（2，0），（0，2），圓心O到直線AB的距離

2.視點(diǎn)B為主動(dòng)點(diǎn)

就本題而言，我們不受題設(shè)干擾，轉(zhuǎn)換角度，可以發(fā)現(xiàn)，視點(diǎn)B在直線y=2上主動(dòng)運(yùn)動(dòng)，完全不悖題意，異曲同工，還有運(yùn)算更簡(jiǎn)的收獲.

入口5：設(shè)點(diǎn)B（m，2），當(dāng)m=0時(shí)，由OA⊥OB得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0）或（2，0），易得圓心O到直線AB的距離為，此時(shí)直線AB與圓x2+y2=2相切；當(dāng)m≠0時(shí)，由OA⊥ OB得OA的方程為

入口7：當(dāng)直線OB的斜率k不存在時(shí)，點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)A坐標(biāo)為（2，0）或（-2，0），圓心到直線AB的距離d=，結(jié)論成立.

當(dāng)直線OB的斜率k存在時(shí)，直線OB、OA的方程分別為y=kx（顯然k≠0）（下面求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，建立直線AB的方程，與解法1類似，或求OA、OB的長(zhǎng)與解法2類似）

3.淡化點(diǎn)A、B的主從地位

研究題設(shè)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A、B被條件“OA⊥OB”一肩挑起，這又為我們淡化它們的主從地位，產(chǎn)生如下解法提供了方便.

入口8：設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（x0，y0），（t，2），其中x0≠0.因?yàn)镺A⊥OB，所以，即tx0+2y0=0，解得.余下同解法1.

入口9：令OA=r1，OB=r2，圓心O到直線AB的距離為d，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（r1cosθ，r1sinθ），點(diǎn)B的坐標(biāo)為，根據(jù)點(diǎn)A、B分別在橢圓C和直線y=2上，故有此同解法2，不過要得需要對(duì)解題過程有一定的前瞻意識(shí).

三、從合情推理到演繹證明

解罷本題，筆者被它簡(jiǎn)捷優(yōu)美的結(jié)構(gòu)和豐富多彩的入口深深震撼，不禁捫心發(fā)問，如此精妙的問題是天成偶得還是內(nèi)含玄機(jī)？高考命題的源與流是什么？我們?cè)趯㈩}中涉及的曲線一般化，一探究竟的過程中，竟得如下一系列令人興奮的命題.

1.從特殊到一般

從命題1出發(fā)，變化不同的思維角度，可得如下推論.

（1）從度量角度得推論1.

注：2014年北京市高考理科第19題顯然是此命題的特殊情況.

（2）逆向思考，得推論2和推論3.

2.類比推廣

研究至此，筆者對(duì)能否把上述結(jié)論中的直線、或者圓、甚至橢圓分別換成其他曲線，相應(yīng)結(jié)論是否成立，發(fā)生了鍥而不舍的興趣，反復(fù)嘗試、研磨，終得正果.

（1）若點(diǎn)B的軌跡由直線變換為其他曲線

選特殊的位置觀察，對(duì)于圓x2+y2=m2，當(dāng)OA是橢圓的長(zhǎng)半軸時(shí)，AB與圓相切交y軸于點(diǎn)；同理，當(dāng)OA是橢圓的短半軸時(shí)，推測(cè)點(diǎn)B所在曲線方程為，遂得命題2.

證明：令OA=r1，OB=r2，圓心O到直線AB的距離為d，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（r1cosθ，r1sinθ），點(diǎn)B的坐標(biāo)為由點(diǎn)A在橢圓C1上，點(diǎn)B在曲線C2上得因此圓心O到直線AB的距離=m.所以直線AB與圓x2+y2=m2相切.

注：當(dāng)m=b得到2014年北京高考理科第19題的推廣命題1；當(dāng)?shù)玫?009年山東高考理科第22題的推廣，至此發(fā)現(xiàn)兩道高考試題“同根同源”.當(dāng)m＜b時(shí)，曲線C2為橢圓，橢圓、橢圓和圓三圓相伴；當(dāng)b＜m＜a時(shí)，曲線C2為雙曲線，雙曲線、橢圓和圓珠聯(lián)璧合.

（2）點(diǎn)A的軌跡由橢圓變換為其他曲線.

命題4已知點(diǎn)A在拋物線C：y2=2px（p＞0）上，點(diǎn)B在直線上，設(shè)O為原點(diǎn)，且OA⊥OB，則直線AB與圓相切.

（3）與直線AB相切的曲線由圓變換為其他曲線.

=1（0＜m＜a）上，點(diǎn)B在曲線上，設(shè)O為原點(diǎn)，直線OA、OB的斜率分別為則直線AB的包絡(luò)曲線C2的方程

四、結(jié)束語

面對(duì)當(dāng)今高考幾近統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)，用“棋譜定式”般的演繹推理來解決“成型”的試題，已成為我們的“強(qiáng)項(xiàng)”，“高效數(shù)學(xué)課堂”也常被誤讀為“速解問題”的代名詞，學(xué)生很少嘗試數(shù)學(xué)研究的過程，很難體會(huì)到數(shù)學(xué)在發(fā)現(xiàn)、類比、歸納、證明過程中的思維之美，更體驗(yàn)不到創(chuàng)造的激情，這樣的教學(xué)，很難培養(yǎng)出善于提出問題和解決問題的創(chuàng)新人才.數(shù)學(xué)先哲畢達(dá)哥拉斯說：“在數(shù)學(xué)的天地里，重要的不是我們知道什么，而是我們?cè)趺粗朗裁础?，張飴慈教授、章建躍先生分別著文1、文2告誡我們一線的教師要發(fā)揮數(shù)學(xué)內(nèi)在的力量，大數(shù)學(xué)家高斯說出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的真境界：“給我最大快樂的，不是已懂得知識(shí)，而是不斷的學(xué)習(xí)；不是已有的東西，而是不斷的獲取；不是已達(dá)到的高度，而是繼續(xù)不斷的攀登.”所以，挖掘教學(xué)“礦點(diǎn)”，探索過程與結(jié)論并重的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，是我們工作的重要目標(biāo).站在長(zhǎng)遠(yuǎn)的角度，我們甚至可以說：結(jié)論可以無用，過程斷然無價(jià).

最后，誠(chéng)摯感謝北京市數(shù)學(xué)特級(jí)教師連春興老師的幫助.

1.張飴慈.解數(shù)學(xué)題不應(yīng)是公式、規(guī)則的演繹游戲［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2010（6）.

2.章建躍.發(fā)揮數(shù)學(xué)的內(nèi)在力量為學(xué)生謀求長(zhǎng)期利益［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2013（2）.FH