徐瑾

軸對(duì)稱是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，這部分知識(shí)不僅是中考的必考內(nèi)容. 而且應(yīng)用這部分知識(shí)能解決生活中的一些實(shí)際問題，在近幾年的中考中，利用軸對(duì)稱性質(zhì)求最短距離的試題經(jīng)常出現(xiàn)，試題雖然花樣翻新，但其實(shí)質(zhì)還是一樣的，下面舉幾個(gè)例子說明，以幫助同學(xué)們學(xué)習(xí).

例1 （2013·大連）如圖1，正方形ABCD的面積為16，△ABE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，在對(duì)角線AC上有一點(diǎn)P，使PD+PE的和最小，則這個(gè)最小值為（ ）.

A. B. 3

C. 4 D.

【分析】正方形是軸對(duì)稱圖形，點(diǎn)B與D關(guān)于AC對(duì)稱，所以BE與AC的交點(diǎn)即為P點(diǎn).而等邊△ABE的邊BE=AB，由正方形ABCD的面積為16，求AB的長從而得出結(jié)果.

解：設(shè)BE與AC交于點(diǎn)P′，連接BD、P′D，如圖2.

∵點(diǎn)B與D關(guān)于AC對(duì)稱，∴P′D=P′B，

∴P′D+P′E=P′B+P′E=BE.

∵正方形ABCD的面積為16，

∴AB=4，又∵△ABE是等邊三角形，

∴BE=AB=4.故選C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是正方形的性質(zhì)和軸對(duì)稱中的最短路線問題，要熟知“兩點(diǎn)之間，線段最短”.

例2 （2009·連云港）如圖3，四邊形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AD⊥AB，點(diǎn)P是腰AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，要使PC+PB的值最小，則點(diǎn)P應(yīng)該滿足（ ）.

A. PB=PC B. PA=PD

C. ∠BPC=90° D. ∠APB=∠DPC

【分析】本題關(guān)鍵首先確定P點(diǎn)的位置，根據(jù)軸對(duì)稱的知識(shí)，可知作點(diǎn)C關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)E，連接BE，BE與AD的交點(diǎn)就是點(diǎn)P的位置，再利用軸對(duì)稱和對(duì)頂角相等的性質(zhì)可得.

解：如圖4，作點(diǎn)C關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)E，連接BE交AD于P，連接CP.

∴∠DPC=∠EPD，

∵∠APB=∠EPD，

∴∠APB=∠DPC.故選D.

【點(diǎn)評(píng)】此題的關(guān)鍵是應(yīng)知點(diǎn)P是怎樣確定的.要找直線上一個(gè)點(diǎn)和直線同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)的距離之和最小，則需要利用軸對(duì)稱的性質(zhì)進(jìn)行確定.

例3 （2015·賀州）如圖5，等腰三角形ABC底邊BC的長為4 cm，面積是12 cm2，腰AB的垂直平分線EF交AC于點(diǎn)F，若D為BC邊上的中點(diǎn)，M為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，則△BDM的周長最短為_______cm.

【分析】如圖6，連接AD，由于△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，故AD⊥BC.根據(jù)三角形的面積公式求出AD的長，再根據(jù)EF是線段AB的垂直平分線可知，點(diǎn)B關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A，故AD的長為BM+MD的最小值，由此可得出結(jié)論.

解：∵△ABC是等腰三角形，D是BC邊的中點(diǎn)，∴S△ABC=BC·AD=×4×AD=12，

∴ AD=6 cm.

∵EF是線段AB的垂直平分線，

∴點(diǎn)B和點(diǎn)A關(guān)于直線EF對(duì)稱，

∴AD的長為BM+MD的最小值，

∴△BDM的周長最短=（BM+MD）+BD =AD+BC=6+×4=6+2=8（cm）.

故答案為：8.

【總結(jié)】已知兩定點(diǎn)與一直線，欲在直線上取一點(diǎn)，使該點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離和最小.這種題可分兩類：一類是當(dāng)兩點(diǎn)在該直線的兩側(cè)時(shí)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可連接這兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)連線與這條直線的交點(diǎn)就是所求點(diǎn)，另一類當(dāng)兩點(diǎn)在同側(cè)時(shí)，任作一定點(diǎn)關(guān)于該直線的對(duì)稱點(diǎn)，再連接對(duì)稱點(diǎn)與另一定點(diǎn)，其連接線與該直線的交點(diǎn)就是要求的點(diǎn).

例4 （2012·蘭州）如圖7，四邊形ABCD中∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分別找一點(diǎn)M、N，使△AMN周長最小時(shí)，則∠AMN+∠ANM的度數(shù)為（ ）.

A. 130° B. 120°

C. 110° D. 100°

【分析】要使△AMN的周長最小，利用點(diǎn)的軸對(duì)稱，讓三角形的三邊轉(zhuǎn)換到同一直線上，作出A關(guān)于BC和CD的對(duì)稱點(diǎn)A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=∠HAA′=60°，進(jìn)而得出∠AMN+∠ANM=2（∠AA′M+∠A″）即可得出答案.

解：如圖8，作A關(guān)于BC和CD的對(duì)稱點(diǎn)A′、A″，連接A′A″，交BC于M，交CD于N，則A′A″的長度即為△AMN的周長最小值.作DA延長線AH.

∵∠DAB=120°，∴∠HAA′=60°，

∴∠AA′M+∠A″=∠HAA′=60°，

∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，

∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）

=2×60°=120°，故選B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱確定最短路線問題、軸對(duì)稱的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，確定出點(diǎn)M、N的位置是解題的關(guān)鍵.

【小結(jié)】兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)難以把握，關(guān)鍵是如何使變化的三條邊的和最小，我們只需要利用軸對(duì)稱，將變化的三條邊能組成一條線段，便可利用“兩點(diǎn)之間線段最短”求解.

（作者單位：江蘇省常熟市興隆中學(xué)）