梁樹星

(黑龍江農(nóng)業(yè)工程職業(yè)學(xué)院 人文學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150088)

0 引言

在研究物理問題時(shí)通常需要用到數(shù)學(xué)方法，沒有較好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和手段，即使物理過程很清楚，雖然也能正確列出方程，但數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不好也很難計(jì)算出我們需要的結(jié)果。下面由幾類落體運(yùn)動(dòng)的研究來體會(huì)微分方程在解題過程中應(yīng)用，以此來領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)和物理的密切聯(lián)系，使讀者在學(xué)習(xí)過程領(lǐng)悟各科目間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)。

落體運(yùn)動(dòng)無非包括以下幾方面:一是自由落體運(yùn)動(dòng)，此種運(yùn)動(dòng)是最簡(jiǎn)單、最原始的理想運(yùn)動(dòng);二是有阻力的落體運(yùn)動(dòng);三是變質(zhì)量(變力)的落體運(yùn)動(dòng)。下面我們分別來研究三種落體運(yùn)動(dòng)的速度、位移等規(guī)律。

1 自由落體運(yùn)動(dòng)的微分方程

自由落體運(yùn)動(dòng)是無初速的只受重力的運(yùn)動(dòng)。假定取向上為x 的正方向，地面高度為零，初始高度為h，重力與此方向相反為負(fù)，由牛頓第二定律可知:

v= －gt(負(fù)號(hào)表示速度方向與規(guī)定的正方向相反)。

2 有阻力無初速的落體運(yùn)動(dòng)的微分方程

仿照上例，仍假定取向上為x 的正方向，地面高度為零，初始高度為h，若下落過程阻力與速度成正比，比例系數(shù)為k，則，重力為－mg，阻力為(負(fù)號(hào)是以速度方向相反得到，真實(shí)阻力方向向上)，仍研究下落的速度和位移。

對(duì)上式再一次積分，并帶入初始條件:t=0，x=h 得到位移表達(dá)式:

提示:若阻力與速度平方成正比，其運(yùn)動(dòng)方程如何，解法如何，請(qǐng)讀者思考。

說明與討論:仔細(xì)觀察速度表達(dá)式，會(huì)發(fā)現(xiàn):當(dāng)時(shí)間足夠長(zhǎng)，速度v 的極限為，也就是說，經(jīng)過較長(zhǎng)時(shí)間后速度不再增加，而穩(wěn)定為的常量。其原因?yàn)椋枇ο入S速度的增加而增加，隨著阻力增加，質(zhì)點(diǎn)的合外力減少，加速度也隨之減少，但速度仍在增加，只不過增加的幅度已經(jīng)減小。當(dāng)阻力增加到與重力相等時(shí)，合外力為零，加速度為零，速度不再增加，而保持的恒定速度。在實(shí)際問題中也可體會(huì)到這一點(diǎn)，例如當(dāng)雨滴不受阻力時(shí)從高空下落，其速度較大，甚至可以傷害到生命和物體，實(shí)際上雨滴下落過程中有阻力，經(jīng)過一段時(shí)間后，穩(wěn)定在一定的較小的速度落到地面。降落傘下落過程與此相仿，正是因?yàn)橛凶枇?，降落傘才能保護(hù)跳傘者的安全。以上解法亦適用于質(zhì)點(diǎn)在粘滯液體中的下落過程。

3 變質(zhì)量無阻力無初速的落體運(yùn)動(dòng)的微分方程

下面簡(jiǎn)要討論變質(zhì)量的落體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。假如某物體(例如雨滴或冰雹)，在下落過程中質(zhì)量隨時(shí)間的均勻改變量為k，若k 為正表示質(zhì)量增加，反之表示減少。取最高點(diǎn)高度為零，向下為正方向，設(shè)在下落過程中不受阻力，討論該質(zhì)點(diǎn)的下落速度和位移。

對(duì)時(shí)間t 積分，并帶入初始條件:t=0，v=0，解出任意時(shí)刻的速度:

對(duì)上式再次積分，帶入初始條件:t=0，x=0，解出任意時(shí)刻的下落位移:

4 結(jié)語

在學(xué)習(xí)落體運(yùn)動(dòng)過程中，首先要善于分析物理過程，善于將物理過程分類研究，及時(shí)總結(jié)，準(zhǔn)確列出微分方程;其次能準(zhǔn)確辨別方程的類型，并采用相應(yīng)的解法，解決問題時(shí)既要細(xì)心又要掌握一定的技巧。只有這樣才能將物理與數(shù)學(xué)聯(lián)系到一起，相得益彰。

［1］周衍柏．理論力學(xué)教程( 第二版) ［M］．北京:高等教育出版社，1986:39—40．