歐陽競+魏漢陵

“綜合與實踐”是當今數學教壇名家們熱捧的教學內容，之所以這么吸引人，就在于這部分內容能充分體現(xiàn)學生的主觀能動性，發(fā)展學生的數學思維能力。在思維挑戰(zhàn)性很大的學習內容教學中，如何讓每個學生學有所獲？在執(zhí)教“綜合與實踐”內容的時候，我們應當追求什么？是追求知識點的熟練掌握？是追求解決問題方法的多種應用？還是追求對數學知識價值的不斷挖掘？

一、對新學知識的掌握，我們該追求怎樣的目標？

《比賽場次》一課的知識點對于學生來說，是全新的。這一課也體現(xiàn)了教材對“綜合應用”板塊編寫的特色，那就是將以前我們只會在“培優(yōu)”中見到的內容，大膽且合理地安排在相應年級來學習。本課就是對加法原理的滲透和蘊含。

既然這一內容對于訓練學生的數學思維能力有很好的幫助，那么在教學時就不應該僅僅是以讓學生會做這類型題目為目的。首先，還是應該讓學生盡可能地經歷知識產生和發(fā)展的過程。在前面的描述中可以知道，教師應尊重學生已有的知識經驗，預估到部分學生已經掌握了一定的數學課外知識，讓他們先嘗試解答。這一舉措收到了良好的效果，大部分學生都能利用列舉等方法得出結果，然后找到從7開始的連加方法。

教學片斷：

教師由介紹每兩人賽一場的規(guī)則開始，引導學生理解題意后獨立解決問題，再交流。問題：六（1）班8名同學進行乒乓球比賽，如果每兩名同學之間都進行一場比賽，一共要比賽多少場？

學生交流解法后，有以下三種：

解法一：

[生1][生2][生3][生4][生5][生6][生7][生8]

解法二：將8人順次編號，逐一列舉解決問題。

[①][②][③][④][②③④⑤⑥⑦⑧][③④⑤⑥⑦⑧][④⑤⑥⑦⑧][⑤⑥⑦⑧]

……

解法三：

7+6+5+4+3+2+1=28。

針對解法三，教師組織學生討論：為什么是從7加到1？

絕大多數學生都能根據解法一和二來說明解法三的道理。

到了這里，仿佛就可以結束了。但總覺得差點什么。究竟還缺點啥？重新審視得到解法三的過程：學生利用以前學習過的搭配、列舉等方法找到答案，歸納出一道加法算式。這道代表解題規(guī)律的算式，的確是本課的重要知識點。當得出這道算式后，學生也及時反思了得出結論的過程，理解了為什么從7開始加?？墒堑竭@一步，還不算是實現(xiàn)了“綜合運用”對本節(jié)課的目標。

歌德有句名言：“疑惑隨著知識而增長”，有了前面的基礎，教師就是應該激發(fā)學生的疑惑之心，開啟智慧之門。

教學片斷：

教師再問：“那是不是說①號同學比賽了7場，②號同學比賽了6場，③號同學比賽了5場……所以合起來就是28場呢？”

這個問題引起了學生們的爭議。

生1：是啊，圖上就是這樣表示的。

學生們一開始都贊成，教師這時沒有給任何的回應，馬上就又有人發(fā)言了。

生2：不對，他們每個人都比賽了7場。

生3：是啊，②號一開始已經和①比了，所以不是6場，應該是7場。

生4：對，要不然⑧號一場都沒有比嗎？

教師追問：“那8人都比7場，應該比了56場啊，怎么會算出來是28場呢？你還想到了什么？”

此時，得到了解法四：8×7÷2=28（場）。

教師問：“說說你對這些解法的理解?！睂W生再次體驗解決過程。

在新知識的教學中，需盡可能地讓學生經歷知識產生的創(chuàng)造過程。這樣的過程，并不是簡單的直觀歸納過程，應該是建立在直觀之上、提煉在規(guī)律之中、演繹在深究之處。因此，如果只定位于得到解法三，那么這個知識的掌握就不完全，缺乏思維能力提升的價值。

于是，教師提出了一個新問題，引導學生辨析這八個人到底分別比賽了幾場，明白雖然總共只比了28場，但實際上每個人都比了八場。由于規(guī)則是每兩人比一場，也就是記為一場，所以還可以用8×7÷2=28場來表示。

這個解法的揭示是必須的，首先是因為它避免了不必要的誤會。在日常的檢測中，還真的有一部分學生受到7+6+5+4+3+2+1=28的影響，認為每個人比的場次不一樣。其次，8×7÷2=28，還為乘法原理（雙循環(huán)賽制）奠定了基礎。最后，也是最重要的是這種解法使學生的數學思維能力得到了進一步的提升。之所以這樣說，是因為7+6+5+4+3+2+1=28的得出是建立在直觀列舉之上的，與知識的本質聯(lián)系不大，對六年級學生的數學思維能力的挑戰(zhàn)性不強。而8×7÷2=28就緊扣了比賽場次這節(jié)課知識的本質：8人都分別和其他7人比賽了，根據規(guī)則，總場次需再除以2。并且，要得出這道算式，更多的是借助于學生的理性思考，因此對學生思維能力的提升有更大的好處。

在“綜合應用”部分，對新學知識的掌握，我們應該有追本溯源的意識，以訓練學生的數學思維能力為追求的目標。

二、對已有知識的運用，我們該追求怎樣的過程？

《起跑線》一課，挖掘了傳統(tǒng)數學內容“圓的周長”的實踐意義，突出圓周長的應用性，讓學生體驗到它的價值。學生對研究起跑線的秘密興趣很濃厚，而且解決這樣的問題不存在困難。面對貌似簡單的這節(jié)課，面對已有知識的運用，該設計怎樣的過程才能讓學生體驗知識的價值最大化呢？

首先需要弄清楚什么是知識價值？感覺這個問題很大，但落腳到具體的內容上就不難理解了?！镀鹋芫€》中的知識就是圓周長的求法已及比大小。也就是說，本節(jié)課絕不應僅是解決完問題就完了，還需要想方設法讓學生體會圓周長的學習對解決身邊問題，如奧運會上運動員的起跑問題等是有幫助的。

其次是如何最大化？過于深奧的理論就不提了，我認為學習了眾多復雜的知識后，能夠用簡約的思維和知識來解決生活問題，也是數學知識價值最大化的表現(xiàn)。

教學片斷：

在和學生一起了解了在短跑比賽中，不同跑道的運動員的起跑線位置不一樣后，先讓學生猜一猜是為什么，然后出示情境圖，提問：他們兩人走的路程一樣長嗎？差多少？

學生獨立解答后，交流做法。方法比較統(tǒng)一：

3.14×（10+1）-3.14×10=3.14（m）

教師問：“剛才同學們都做得很好，現(xiàn)在我們思考一個問題，他們兩人相差的路程和彎道的什么有關？有什么樣的關系？”

生1：我發(fā)現(xiàn)與彎道的半徑差有關。

生2：彎道半徑差的π倍就是路程差。

結合生2的回答，教師再問：“在前面的算式中，能找到這位同學所說的想法嗎？”學生繼續(xù)交流。

所以，從前面的教學片斷中可以看到，教師并沒有滿足于“大周長減小周長”的方法，逐步引導學生找到“半徑差乘π”的方法。顯然這個方法要比最初的方法運用起來要更簡單，但思維就更能有深度。

在“綜合應用”部分，有很多是考驗學生綜合運用所學知識和方法來解決問題的。在這里，我們不應該把過程僅僅定位于解決問題，更需要從所學知識中提煉出規(guī)律，逐步幫助學生形成由繁至簡的思維方式的過程。

三、對數學與生活的聯(lián)系，我們該追求怎樣的理解？

長見識，增閱歷，也應該是“實踐與綜合應用”的一個價值取向。問題在于，是不是看上去很生活的問題，都能被學生生活化地接受呢？

《營養(yǎng)配餐》一課，溝通了數學與營養(yǎng)學的聯(lián)系，使得學生能從更廣闊的背景下體察數學。這節(jié)課所涵蓋的數學知識不難，也就是小數相關知識的運用。從課堂寫真中可以發(fā)現(xiàn)，教師遇到了麻煩。學生要回答小明的午餐達到營養(yǎng)要求沒有，并不難，小數乘法一算，再比個大小就能得出結果。麻煩出在給小明一些建議。

教學片斷：

教師出示下表：

完成這張統(tǒng)計表之前，師生們共同了解了關于營養(yǎng)配餐方面的知識，緊接著就是完成此表，并對小明的這份午餐從營養(yǎng)搭配的角度進行評價。

生1：我覺得這頓午飯不好，因為脂肪含量和碳水化合物含量都不夠。

生2：我認為要加200克牛肉，這樣脂肪含量就達標了。

生3：我不同意，這樣加了牛肉，蛋白質就遠遠超標了。

生4：那就不加牛肉，多加米飯。

生5：可是這樣的話脂肪含量還是很低啊。我發(fā)現(xiàn)總是顧此失彼。

……

教師總結：“看來啊，營養(yǎng)配餐還真是一門學問。大家有興趣的話可以去多查查資料?！?/p>

學生眾說紛紜，卻又真的很難找到符合營養(yǎng)要求的方案。這個麻煩，是我每次教這節(jié)課的時候都會遇到的。

所以我很疑惑，在這節(jié)課上，對數學與生活的聯(lián)系。我們該有怎樣的理解？是嚴格按照營養(yǎng)指標來，大費周章的指導學生精打細算出菜譜，就像個營養(yǎng)學家一樣？還是就該點到為止，讓學生了解到數學在營養(yǎng)學中的運用，能大概的算一算就行了呢？如果是這樣，那教師最后的結語會不會又太蒼白了呢？

洛克威爾在著作里寫道：“真知灼見，首先來自多思善疑”。我的理解是培養(yǎng)學生，一定要做到讓他們喜歡思考，善于質疑。本課的教學更應該要凸顯這一點，我們絕對不能僅僅滿足于把具體問題給解答完畢，更重要的是促進學生的數學思考、數學疑惑、數學歸納等能力得到進一步的發(fā)展。

美國數學教育界提出的“問題解決”，影響著全世界，如今我們將問題解決融于日常的數學教學中，也特意體現(xiàn)在“綜合與實踐”領域。我們在努力強調數學知識的綜合、數學與其他學科知識的綜合。于是不同教師的課堂上出現(xiàn)了不同的層面：

第一層面：把這部分的課當成練習課。這一層面已經很難見到。

第二層面：利用學生的已有經驗，提出問題，激發(fā)學生的思考，使得不同層次的學生在課堂上都有思考和探索的空間。

第三層面：在第二層面的基礎上，還要多關注和啟發(fā)學生自己產生疑惑，提出問題并加以解答。

第四層面：教學時，教師關注問題的數學本質，有意識的幫助學生整理清楚自己的解決思路，并能有條理的表述。

總之，對于“綜合與實踐”部分的教學，還是要以提升學生的思維能力為核心。提升的方法有很多，找到最合適的，就是我們所追求的。

責任編輯 陳建軍

教學片斷：

在和學生一起了解了在短跑比賽中，不同跑道的運動員的起跑線位置不一樣后，先讓學生猜一猜是為什么，然后出示情境圖，提問：他們兩人走的路程一樣長嗎？差多少？

學生獨立解答后，交流做法。方法比較統(tǒng)一：

3.14×（10+1）-3.14×10=3.14（m）

教師問：“剛才同學們都做得很好，現(xiàn)在我們思考一個問題，他們兩人相差的路程和彎道的什么有關？有什么樣的關系？”

生1：我發(fā)現(xiàn)與彎道的半徑差有關。

生2：彎道半徑差的π倍就是路程差。

結合生2的回答，教師再問：“在前面的算式中，能找到這位同學所說的想法嗎？”學生繼續(xù)交流。

所以，從前面的教學片斷中可以看到，教師并沒有滿足于“大周長減小周長”的方法，逐步引導學生找到“半徑差乘π”的方法。顯然這個方法要比最初的方法運用起來要更簡單，但思維就更能有深度。

在“綜合應用”部分，有很多是考驗學生綜合運用所學知識和方法來解決問題的。在這里，我們不應該把過程僅僅定位于解決問題，更需要從所學知識中提煉出規(guī)律，逐步幫助學生形成由繁至簡的思維方式的過程。

三、對數學與生活的聯(lián)系，我們該追求怎樣的理解？

長見識，增閱歷，也應該是“實踐與綜合應用”的一個價值取向。問題在于，是不是看上去很生活的問題，都能被學生生活化地接受呢？

《營養(yǎng)配餐》一課，溝通了數學與營養(yǎng)學的聯(lián)系，使得學生能從更廣闊的背景下體察數學。這節(jié)課所涵蓋的數學知識不難，也就是小數相關知識的運用。從課堂寫真中可以發(fā)現(xiàn)，教師遇到了麻煩。學生要回答小明的午餐達到營養(yǎng)要求沒有，并不難，小數乘法一算，再比個大小就能得出結果。麻煩出在給小明一些建議。

教學片斷：

教師出示下表：

完成這張統(tǒng)計表之前，師生們共同了解了關于營養(yǎng)配餐方面的知識，緊接著就是完成此表，并對小明的這份午餐從營養(yǎng)搭配的角度進行評價。

生1：我覺得這頓午飯不好，因為脂肪含量和碳水化合物含量都不夠。

生2：我認為要加200克牛肉，這樣脂肪含量就達標了。

生3：我不同意，這樣加了牛肉，蛋白質就遠遠超標了。

生4：那就不加牛肉，多加米飯。

生5：可是這樣的話脂肪含量還是很低啊。我發(fā)現(xiàn)總是顧此失彼。

……

教師總結：“看來啊，營養(yǎng)配餐還真是一門學問。大家有興趣的話可以去多查查資料。”

學生眾說紛紜，卻又真的很難找到符合營養(yǎng)要求的方案。這個麻煩，是我每次教這節(jié)課的時候都會遇到的。

所以我很疑惑，在這節(jié)課上，對數學與生活的聯(lián)系。我們該有怎樣的理解？是嚴格按照營養(yǎng)指標來，大費周章的指導學生精打細算出菜譜，就像個營養(yǎng)學家一樣？還是就該點到為止，讓學生了解到數學在營養(yǎng)學中的運用，能大概的算一算就行了呢？如果是這樣，那教師最后的結語會不會又太蒼白了呢？

洛克威爾在著作里寫道：“真知灼見，首先來自多思善疑”。我的理解是培養(yǎng)學生，一定要做到讓他們喜歡思考，善于質疑。本課的教學更應該要凸顯這一點，我們絕對不能僅僅滿足于把具體問題給解答完畢，更重要的是促進學生的數學思考、數學疑惑、數學歸納等能力得到進一步的發(fā)展。

美國數學教育界提出的“問題解決”，影響著全世界，如今我們將問題解決融于日常的數學教學中，也特意體現(xiàn)在“綜合與實踐”領域。我們在努力強調數學知識的綜合、數學與其他學科知識的綜合。于是不同教師的課堂上出現(xiàn)了不同的層面：

第一層面：把這部分的課當成練習課。這一層面已經很難見到。

第二層面：利用學生的已有經驗，提出問題，激發(fā)學生的思考，使得不同層次的學生在課堂上都有思考和探索的空間。

第三層面：在第二層面的基礎上，還要多關注和啟發(fā)學生自己產生疑惑，提出問題并加以解答。

第四層面：教學時，教師關注問題的數學本質，有意識的幫助學生整理清楚自己的解決思路，并能有條理的表述。

總之，對于“綜合與實踐”部分的教學，還是要以提升學生的思維能力為核心。提升的方法有很多，找到最合適的，就是我們所追求的。

責任編輯 陳建軍

教學片斷：

在和學生一起了解了在短跑比賽中，不同跑道的運動員的起跑線位置不一樣后，先讓學生猜一猜是為什么，然后出示情境圖，提問：他們兩人走的路程一樣長嗎？差多少？

學生獨立解答后，交流做法。方法比較統(tǒng)一：

3.14×（10+1）-3.14×10=3.14（m）

教師問：“剛才同學們都做得很好，現(xiàn)在我們思考一個問題，他們兩人相差的路程和彎道的什么有關？有什么樣的關系？”

生1：我發(fā)現(xiàn)與彎道的半徑差有關。

生2：彎道半徑差的π倍就是路程差。

結合生2的回答，教師再問：“在前面的算式中，能找到這位同學所說的想法嗎？”學生繼續(xù)交流。

所以，從前面的教學片斷中可以看到，教師并沒有滿足于“大周長減小周長”的方法，逐步引導學生找到“半徑差乘π”的方法。顯然這個方法要比最初的方法運用起來要更簡單，但思維就更能有深度。

在“綜合應用”部分，有很多是考驗學生綜合運用所學知識和方法來解決問題的。在這里，我們不應該把過程僅僅定位于解決問題，更需要從所學知識中提煉出規(guī)律，逐步幫助學生形成由繁至簡的思維方式的過程。

三、對數學與生活的聯(lián)系，我們該追求怎樣的理解？

長見識，增閱歷，也應該是“實踐與綜合應用”的一個價值取向。問題在于，是不是看上去很生活的問題，都能被學生生活化地接受呢？

《營養(yǎng)配餐》一課，溝通了數學與營養(yǎng)學的聯(lián)系，使得學生能從更廣闊的背景下體察數學。這節(jié)課所涵蓋的數學知識不難，也就是小數相關知識的運用。從課堂寫真中可以發(fā)現(xiàn)，教師遇到了麻煩。學生要回答小明的午餐達到營養(yǎng)要求沒有，并不難，小數乘法一算，再比個大小就能得出結果。麻煩出在給小明一些建議。

教學片斷：

教師出示下表：

完成這張統(tǒng)計表之前，師生們共同了解了關于營養(yǎng)配餐方面的知識，緊接著就是完成此表，并對小明的這份午餐從營養(yǎng)搭配的角度進行評價。

生1：我覺得這頓午飯不好，因為脂肪含量和碳水化合物含量都不夠。

生2：我認為要加200克牛肉，這樣脂肪含量就達標了。

生3：我不同意，這樣加了牛肉，蛋白質就遠遠超標了。

生4：那就不加牛肉，多加米飯。

生5：可是這樣的話脂肪含量還是很低啊。我發(fā)現(xiàn)總是顧此失彼。

……

教師總結：“看來啊，營養(yǎng)配餐還真是一門學問。大家有興趣的話可以去多查查資料?！?/p>

學生眾說紛紜，卻又真的很難找到符合營養(yǎng)要求的方案。這個麻煩，是我每次教這節(jié)課的時候都會遇到的。

所以我很疑惑，在這節(jié)課上，對數學與生活的聯(lián)系。我們該有怎樣的理解？是嚴格按照營養(yǎng)指標來，大費周章的指導學生精打細算出菜譜，就像個營養(yǎng)學家一樣？還是就該點到為止，讓學生了解到數學在營養(yǎng)學中的運用，能大概的算一算就行了呢？如果是這樣，那教師最后的結語會不會又太蒼白了呢？

洛克威爾在著作里寫道：“真知灼見，首先來自多思善疑”。我的理解是培養(yǎng)學生，一定要做到讓他們喜歡思考，善于質疑。本課的教學更應該要凸顯這一點，我們絕對不能僅僅滿足于把具體問題給解答完畢，更重要的是促進學生的數學思考、數學疑惑、數學歸納等能力得到進一步的發(fā)展。

美國數學教育界提出的“問題解決”，影響著全世界，如今我們將問題解決融于日常的數學教學中，也特意體現(xiàn)在“綜合與實踐”領域。我們在努力強調數學知識的綜合、數學與其他學科知識的綜合。于是不同教師的課堂上出現(xiàn)了不同的層面：

第一層面：把這部分的課當成練習課。這一層面已經很難見到。

第二層面：利用學生的已有經驗，提出問題，激發(fā)學生的思考，使得不同層次的學生在課堂上都有思考和探索的空間。

第三層面：在第二層面的基礎上，還要多關注和啟發(fā)學生自己產生疑惑，提出問題并加以解答。

第四層面：教學時，教師關注問題的數學本質，有意識的幫助學生整理清楚自己的解決思路，并能有條理的表述。

總之，對于“綜合與實踐”部分的教學，還是要以提升學生的思維能力為核心。提升的方法有很多，找到最合適的，就是我們所追求的。

責任編輯 陳建軍