廣西壯族自治區(qū)柳城縣實驗高級中學數(shù)學組 羅 程

數(shù)形結(jié)合在解題中的應用

廣西壯族自治區(qū)柳城縣實驗高級中學數(shù)學組 羅 程

數(shù)形結(jié)合是指將抽象的數(shù)學語言與直觀圖形結(jié)合起來，使抽象思想與形象思維結(jié)合起來，發(fā)揮數(shù)形轉(zhuǎn)換及其優(yōu)勢互補與整合的思想。本文就數(shù)形結(jié)合思想在解析幾何、函數(shù)、不等式與方程中的應用進行論述。

數(shù)形結(jié)合 函數(shù) 不等式

許多數(shù)量關(guān)系的抽象概念和解析式若賦予幾何意義，往往變得非常直觀形象，使一些關(guān)系明朗化、簡單化。而一些圖形的性質(zhì)又可以賦予數(shù)量意義，尋找恰當表示問題的數(shù)量關(guān)系式，即可使幾何問題代數(shù)化，以數(shù)助教，用代數(shù)的方法使問題得以解決。數(shù)形結(jié)合思想實質(zhì)上是指將抽象的數(shù)學語言與直觀圖形結(jié)合起來，使抽象思想與形象思維結(jié)合起來，發(fā)揮數(shù)與形的轉(zhuǎn)換及其優(yōu)勢互補與整合的思想。

關(guān)于數(shù)形結(jié)合，華羅庚教授評價說：“數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛；數(shù)無形時少直覺，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休；切莫忘，集合代數(shù)流一體，永遠聯(lián)系切莫分離?！?/p>

一、數(shù)形結(jié)合思想在解析幾何中的應用

在解析幾何中，許多“長度”“數(shù)式”都具有一定的幾何意義，挖掘題目中隱含的幾何意義，采用數(shù)形結(jié)合的思想方法可解決某些最值及取值范圍問題。另外，解析幾何本身就是“以數(shù)解形”的良好典范。

數(shù)形結(jié)合是研究函數(shù)最有利的工具，對掌握函數(shù)的性質(zhì)、理解題意、尋找解題思路有很大幫助，特別是研究抽象函數(shù)更為方便。

例2，(2007.四川高考)函數(shù)f( x) =1 +log2x 與g( x ) =2-x+1在同一直角坐標系下的圖象大致是_______。

解析：f( x) =1 +log2x 的圖象由y =log2x圖象向上平移1個單位得到，g( x) =2-x+1的圖象由g( x ) =2-x的圖象向上平移1個單位得到，C滿足題意。

例3，（2007.遼寧高考）若函數(shù)y f( x)的反函數(shù)的圖象過點(1,5)，則y =f( x)的圖象必過點_________。

A.（1，1） B.（1，5） C.（5，1） D.（5，5）

解析：原函數(shù)與反函數(shù)圖象關(guān)于直線y =x對稱，點(1,5)在反函數(shù)圖象上，則(5,1)在原函數(shù)圖象上。

例4，在y=2x，y =logx,y =x2,這三個函數(shù)中，當

A.0 B.1 C.2 D.3

圖2

a1f2(x) =logax的下方即可。當0 ＜ ＜1時，由圖象知顯然不成立。

當a＞1時，如圖4。要使在(1,2)上,f(x ) = (x -1)2的圖象在

解析：畫出約束條件所表示的平面區(qū)域，如圖5所示A部分表示的區(qū)域為可行域。作直線l∶ 8x +9y=0，把直線l 向右上方平移至l1的位置時，直線經(jīng)過可行域上的點M，且與原點距離最大，此時z =8x +9y取得最大值。解方程組4x+y=5得點M 的坐標為x=,y =。故z的最大值2x+3y=6為。

數(shù)無形時少直覺，形少數(shù)時難入微，利用數(shù)形結(jié)合的思想方法，“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”，使復雜的問題簡單化，抽象的問題具體化，從而達到優(yōu)化解題途徑的目的。

ISSN2095-6711/Z01-2015-07-0060