趙必大， 劉成清， 章圣冶， 張建勝

(1. 浙江工業(yè)大學(xué)建筑工程學(xué)院，浙江 杭州310014;2. 西南交通大學(xué)土木工程學(xué)院，四川 成都610031;3. 浙江大學(xué)建筑工程學(xué)院，浙江 杭州310058)

圓鋼管相貫連接節(jié)點(diǎn)具有施工便利、建筑視覺效果美觀等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于各種建筑結(jié)構(gòu). 國(guó)內(nèi)現(xiàn)行有關(guān)設(shè)計(jì)規(guī)范［1-2］依然將連接節(jié)點(diǎn)視為理想的剛性連接或鉸接，然而，鋼管相貫節(jié)點(diǎn)在工程常見幾何參數(shù)范圍內(nèi)是一種典型的半剛性連接.節(jié)點(diǎn)連接的非剛性對(duì)整體結(jié)構(gòu)的受力性能有影響［3-7］，較精確的分析計(jì)算需要考慮節(jié)點(diǎn)連接的非剛性效應(yīng)，其中最基本的參數(shù)就是節(jié)點(diǎn)初始剛度.

關(guān)于鋼管相貫節(jié)點(diǎn)初始剛度的研究，早期較缺乏，且主要采用試驗(yàn)手段［8-9］.隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，有限元法成為研究節(jié)點(diǎn)剛度的主要手段，近年來(lái)取得了一些成果［4，10-11］.

已有的相關(guān)研究存在以下不足:散點(diǎn)數(shù)據(jù)少(正交模型所致)導(dǎo)致擬合結(jié)果與實(shí)際可能存在不小差異，無(wú)法反映節(jié)點(diǎn)幾何參數(shù)之間可能存在的相互影響，節(jié)點(diǎn)剛度計(jì)算公式缺乏理論支撐，使工程設(shè)計(jì)人員難以理解.

本文建立了Y 型圓鋼管相貫節(jié)點(diǎn)在支管軸力作用下局部變形的簡(jiǎn)化力學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)了節(jié)點(diǎn)剛度的理論公式;通過(guò)對(duì)理論公式的簡(jiǎn)化并結(jié)合多元回歸分析，建立了Y 型圓鋼管相貫節(jié)點(diǎn)軸向初始剛度參數(shù)化實(shí)用計(jì)算公式;將實(shí)用公式的計(jì)算結(jié)果與有限元分析結(jié)果和已有試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，證明了公式的合理性.

1 相貫節(jié)點(diǎn)軸向剛度模型

在受荷較小的線彈性狀態(tài)下，節(jié)點(diǎn)剛度可定義為廣義力與節(jié)點(diǎn)局部變形之比.關(guān)于節(jié)點(diǎn)局部變形的定義和獲取方法，可分直接法［4］和間接法［12］兩大類，2 類方法獲得的節(jié)點(diǎn)初始剛度差異不大［13］.從構(gòu)建力學(xué)模型以推導(dǎo)節(jié)點(diǎn)剛度的角度出發(fā)，直接法比間接法更適合，因此，本文中無(wú)論是有限元分析還是理論推導(dǎo)，都采用直接法確定節(jié)點(diǎn)剛度.

借鑒Togo 關(guān)于X 型圓鋼管相貫節(jié)點(diǎn)強(qiáng)度計(jì)算的環(huán)模型思想［14］，并考慮到Y(jié) 型節(jié)點(diǎn)的局部變形發(fā)生在與支管相連接那一側(cè)的主管管壁(上半部分)，可將Y 型節(jié)點(diǎn)在支管軸力作用下節(jié)點(diǎn)局部變形計(jì)算的理論模型簡(jiǎn)化為截面高度和寬度分別為T 和Be的半圓拱模型(Be為環(huán)模型［14］的有效寬度，取Be=ηD，η 為一常數(shù))，見圖1.為簡(jiǎn)化推導(dǎo)，將環(huán)模型中鞍腳附近2 個(gè)力F=0.5Nsin θ(沿拱截面寬度Be均布)的間距由cd 改為d-t.

此外，在支管軸力作用下，主管上半部分產(chǎn)生局部變形，下半部分(無(wú)支管相連側(cè)主管管壁)則對(duì)上半部分存在轉(zhuǎn)動(dòng)、水平和豎向3 種約束. 工程實(shí)際中，豎向可近似為完全約束，而水平(剪切)與轉(zhuǎn)動(dòng)約束應(yīng)為彈性約束，為對(duì)比分析，考慮水平、轉(zhuǎn)動(dòng)方向完全約束和無(wú)約束2 種極端情況.

圖1 Y 型圓鋼管相貫節(jié)點(diǎn)在支管軸力作用下的剛度計(jì)算模型Fig.1 Calculating models for rigidity of a CHS Y-type joint under branch axial load

2 節(jié)點(diǎn)剛度的理論推導(dǎo)與修正

推導(dǎo)過(guò)程:(1)根據(jù)圖1(a)中主管下半部分受力圖，利用桿系結(jié)構(gòu)力學(xué)方法，獲得模型1 支座端的扭轉(zhuǎn)約束剛度r1=2EI/D0、剪切約束剛度r2=2EI/，其中D0=(D -T)/2，E 為材料彈性模量，I=BeT3/12(D、T 見圖1(a)). (2)根據(jù)桿系結(jié)構(gòu)力學(xué)中的力法原理，忽略軸力和剪力引起的變形以簡(jiǎn)化計(jì)算，求出1 ～4 點(diǎn)的變形Δ1～Δ4，此即為支主管相貫線處的冠點(diǎn)、鞍點(diǎn)在支主管平面內(nèi)垂直主管軸線方向的主管管壁局部變形.(3)根據(jù)直接法關(guān)于節(jié)點(diǎn)軸向局部變形δ 的定義［4］和剛度定義，求出節(jié)點(diǎn)軸向初始剛度KN. 整個(gè)推導(dǎo)過(guò)程相當(dāng)復(fù)雜繁瑣，這里不再贅述，僅列出結(jié)果:

式中，χ 為常系數(shù).

最后一步是將拱截面的慣性矩I=BeT3/12 =ηDT3/12、D0=(D-T)/2 和T =D/(2γ)代入后化簡(jiǎn)而得.

式中:c0～c12為常系數(shù);

對(duì)于支座邊界條件極端的模型2 和模型3，其節(jié)點(diǎn)剛度表達(dá)式類似模型1，僅f(β0)的具體形式略有差異以及相應(yīng)常系數(shù)的值不同.

此外，對(duì)模型1 中2 個(gè)力F 的間距由d -t 改為cd 后進(jìn)行推導(dǎo)，結(jié)果與式(1)類似，但f(β0)變成f(β0，βc)(其中βc=β -0.5β/(γ -0.5))，且常系數(shù)更多.從式(3)來(lái)看，無(wú)論是f(β0)還是f(β0，βc)，最終都轉(zhuǎn)化成關(guān)于β、γ-0.5 和τ 的復(fù)雜表達(dá)式f(β，γ-0.5，τ).

由于f(β0)的表達(dá)式比較復(fù)雜，故式(1)無(wú)法直接用于工程實(shí)踐. 但式(1)表明，節(jié)點(diǎn)剛度KN與E、D 和1/sin2θ 成正比.結(jié)合式(2)和(3)，KN存在關(guān)于β、γ-0.5 和τ 中兩者或三者的相互影響.從數(shù)學(xué)角度看，反三角函數(shù)、平方根函數(shù)可通過(guò)泰勒級(jí)數(shù)展開為多項(xiàng)式，故f(β0)可近似展開為β0的多項(xiàng)式，而多項(xiàng)式又是指數(shù)函數(shù)的泰勒展開式. 再結(jié)合式(3)，可將式(1)分母中的f(β0)(γ -0.5)3近似為關(guān)于β、γ -0.5 和τ 的指數(shù)函數(shù)與關(guān)于(γ -0.5)的冪函數(shù)(γ-0.5)a的乘積(a 是β 和τ 的函數(shù)).由此，式(1)可簡(jiǎn)化為

式中:C 為常系數(shù);f1和f2為反映節(jié)點(diǎn)參數(shù)β、γ 與τ 間相互影響的函數(shù).

f1和f2常見的函數(shù)形式是多項(xiàng)式，尤以線性函數(shù)最簡(jiǎn)單，則式(1)可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為

式中，C0～C6為常系數(shù).

3 待定常系數(shù)的確定

需確定半圓拱模型獲得的Y 型圓鋼管相貫節(jié)點(diǎn)軸向剛度計(jì)算式(式(5))中的待定常系數(shù)C0～C6，這7 個(gè)常系數(shù)涉及節(jié)點(diǎn)的3 個(gè)無(wú)量綱參數(shù)β、γ和τ.先定性分析β、γ 和τ 對(duì)節(jié)點(diǎn)剛度的影響:僅γ增大而其他參數(shù)不變時(shí)，主管壁厚T 減小，相貫面(半圓拱的截面)的抗彎剛度EI 將急劇下降，故γ對(duì)節(jié)點(diǎn)剛度影響很大;僅β 增大時(shí)，支管直徑d 增大，d-t 增大明顯，力F 更靠近支座，故1 ～4 點(diǎn)撓度減小，節(jié)點(diǎn)剛度增大明顯;僅τ 增大時(shí)，支管壁厚t 增大，但t 通常遠(yuǎn)小于d，d -t 變化小，故節(jié)點(diǎn)剛度變化較小.

然后，采用有限元法進(jìn)行單參數(shù)分析，定量分析這3 個(gè)參數(shù)對(duì)節(jié)點(diǎn)剛度的影響. 有限元模型中，固定D=245 mm，θ =90°，支管和主管長(zhǎng)度分別為6d 和10D，材料彈性模量E = 206 GPa;采用ABAQUS 中的S4R 殼單元，主管兩端完全固定約束，沿支管軸線方向施加荷載. 圖2 給出了有限元單參數(shù)分析獲得的節(jié)點(diǎn)剛度隨β、γ 和τ 的變化以及文獻(xiàn)［4］關(guān)于τ 的單參數(shù)有限元分析(采用ANSYS 中的殼單元shell93)結(jié)果.

圖2 參數(shù)β、γ 和τ 對(duì)節(jié)點(diǎn)軸向剛度的影響Fig.2 Effects of parameters β，γ and τ on joint axial rigidity

從圖2 可見，節(jié)點(diǎn)剛度KN與β 之間大致呈指數(shù)函數(shù)關(guān)系，與γ(γ -0.5 可視為坐標(biāo)平移，并不影響曲線形狀)大致呈冪函數(shù)關(guān)系，與文獻(xiàn)［4］的單參數(shù)分析結(jié)果類似，證明節(jié)點(diǎn)剛度KN采用式(5)的形式較合理.

式(5)與文獻(xiàn)［4］中節(jié)點(diǎn)剛度表達(dá)式的不同之處:指數(shù)函數(shù)的自變量是多個(gè)，而非僅僅1 個(gè)(β);冪函數(shù)的指數(shù)a 不再是一個(gè)常系數(shù)，而是與節(jié)點(diǎn)的幾何參數(shù)有關(guān)，這反映了節(jié)點(diǎn)幾何參數(shù)之間可能的相互影響，故式(5)更合理.

從圖2 還可以看出，參數(shù)τ 對(duì)KN的影響很小.本文中單參數(shù)τ 分析的范圍為0.35≤τ≤1.00，所得KN的最大值與最小值之間相差約6. 7%;文獻(xiàn)［4］中單參數(shù)τ 分析的范圍為0.22≤τ≤0.84，KN最大值與最小值之間相差約12%.

從KN-τ 關(guān) 系 曲 線 看，在 工 程 中0. 3 ≤τ ≤0. 8的常見范圍內(nèi)，上述差異將更小.因此，從工程實(shí)用出發(fā)，可忽略參數(shù)τ 對(duì)節(jié)點(diǎn)剛度的影響，即取式(5)中待定常系數(shù)C5和C6為0，則式(1)進(jìn)一步簡(jiǎn)化為

根據(jù)式(6)，固定D =245 mm，E =206 GPa，θ=90°，τ=0.8，并結(jié)合工程實(shí)際中常見的幾何參數(shù)范圍，取β=0.30，0.45，0.60，0.75，0.90，γ =7，15，22，30，建立共計(jì)20 個(gè)節(jié)點(diǎn)的有限元模型(模型中單元、材性、邊界條件等同前).

根據(jù)有限元計(jì)算獲得的20 個(gè)散點(diǎn)數(shù)據(jù)，通過(guò)置信度為95%的多元非線性回歸確定常系數(shù)C0～C4，最終得

4 節(jié)點(diǎn)剛度計(jì)算公式校驗(yàn)

4.1 參數(shù)E、D 和θ 的校驗(yàn)

可用于工程實(shí)際的節(jié)點(diǎn)剛度參數(shù)化計(jì)算式(式(7))表明，節(jié)點(diǎn)剛度KN與E、D 和1/sin2θ 成正比，但前提是將工程實(shí)際中復(fù)雜的三維殼節(jié)點(diǎn)簡(jiǎn)化為二維半圓拱模型.因此，需要對(duì)E、D 和1/sin2θ進(jìn)行校驗(yàn).

文獻(xiàn)［4］通過(guò)單參數(shù)分析和量綱分析，得KN與D 成正比.筆者也進(jìn)行了類似分析，建立了5 個(gè)單參數(shù)D 的有限元模型(D=100，200，…，500 mm)，結(jié)果5 個(gè)模型獲得的KN/D 的最大值與最小值的相對(duì)誤差小于0.5%，可以認(rèn)為KN與D 成正比.

對(duì)單參數(shù)E(E =20 ～206 GPa)進(jìn)行類似分析，結(jié)果KN/E 的最大值與最小值的相對(duì)誤差為0.3%，可以認(rèn)為KN與E 成正比.

關(guān)于參數(shù)θ，固定參數(shù)D =245 mm，β =0.6，γ=15，τ=0.8，改變?chǔ)?取θ =30° ～90°(具體取值見表1)足以涵蓋工程范圍)進(jìn)行單參數(shù)分析，結(jié)果見表1.

表1 節(jié)點(diǎn)剛度關(guān)于θ 的單參數(shù)分析結(jié)果Tab.1 Joint axial rigidity as a function of parameter θ

表1 中，誤 差 為(KNsin2θ - KN90)/KN90×100%，其中KN90為θ=90°時(shí)的節(jié)點(diǎn)剛度.從表1 可知，誤差均為負(fù)值，且隨θ 減小而增大，更準(zhǔn)確的說(shuō)法是節(jié)點(diǎn)剛度KN與1/sinξθ 成正比，ξ 為略大于2且隨θ 減小而增大的變量. 但誤差均不超過(guò)7%(表1)，且隨θ 增大呈現(xiàn)較快下降的趨勢(shì)，故從實(shí)用出發(fā)，完全可取ξ=2.

為更全面驗(yàn)證KN與1/sin2θ 的關(guān)系，在已有θ=90°的20 個(gè)有限元模型基礎(chǔ)上，固定其他參數(shù)不變，增加θ =30°，45°，65°三組共60 個(gè)有限元模型，將這3 組所得節(jié)點(diǎn)剛度值乘以1/sin2θ 后分別與θ=90°組的數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，得到類似表1 的相對(duì)誤差，見圖3.可見，除4 個(gè)點(diǎn)的誤差略大于0 以外，其他都小于0;僅有2 點(diǎn)的誤差接近-12%，其余介于0 ～-10%(且大部分在0 ～-5%)之間.從圖3 還可見，誤差隨θ 增大急劇減小，相對(duì)較大的誤差基本上集中在工程實(shí)際中較少采用的θ =30°的極端情況，故可以認(rèn)為KN與1/sin2θ 成正比.

圖3 節(jié)點(diǎn)剛度KN 與1/sin2θ 成正比的誤差Fig.3 The error resulted from KN proportional to 1/sin2θ

4.2 與有限元分析結(jié)果和已有試驗(yàn)數(shù)據(jù)的比較

圖4 為按式(7)計(jì)算的節(jié)點(diǎn)剛度與上述所有節(jié)點(diǎn)有限元模型計(jì)算結(jié)果的相對(duì)誤差.有限元模型中節(jié)點(diǎn)幾何參數(shù)范圍:0.3≤β≤0. 9，7 ≤γ≤30，30°≤θ ≤90°，0. 22 ≤τ ≤1. 00，100 mm ≤D ≤500 mm.

從圖4 可見，除3 個(gè)點(diǎn)的誤差相對(duì)較大(約10% ～14%)外，其余都在9%以內(nèi)，且大部分小于6%，說(shuō)明與有限元結(jié)果吻合較好.

圖4 剛度計(jì)算值與有限元分析結(jié)果的誤差Fig.4 The error between stiffness values obtained by FEA and the formula

為進(jìn)一步校驗(yàn)，表2 給出了部分節(jié)點(diǎn)軸向初始剛度的已有試驗(yàn)數(shù)據(jù)［4］、有限元計(jì)算結(jié)果［4，15］及與式(7)計(jì)算值的比較.表2 中，試件A1 ～A4 為反復(fù)加載試驗(yàn)，故同時(shí)給出了抗拉和抗壓剛度;試件FE1 ～FE6 為采用ANSYS 中殼單元shell93 的計(jì)算結(jié)果;KNT和KNF分別為試驗(yàn)(或有限元)、式(7)計(jì)算的節(jié)點(diǎn)剛度(單位為kN/mm);誤差為(KNF-KNT)/KNT×100%.

從表2 可見，Y 型圓鋼管相貫節(jié)點(diǎn)軸向剛度簡(jiǎn)化公式(式(7))計(jì)算的節(jié)點(diǎn)剛度與已有試驗(yàn)數(shù)據(jù)和有限元計(jì)算結(jié)果吻合.

表2 剛度計(jì)算值與試驗(yàn)結(jié)果、有限元結(jié)果的比較Tab.2 Stiffness values obtained by the formula，F(xiàn)EA and existing tests

5 支管拉力、主管受力的影響分析

式(7)是建立在支管承受軸向壓力、主管不受力基礎(chǔ)上的.節(jié)點(diǎn)軸向剛度按支管受力可分為軸向抗拉和抗壓2 種.有限元分析結(jié)果表明［7］:在工程常用參數(shù)范圍內(nèi)，X 型節(jié)點(diǎn)的抗拉剛度僅略大于抗壓剛度(絕大部分在10%以內(nèi)).對(duì)Y 型節(jié)點(diǎn)可進(jìn)行類似分析，取D、β、γ 和θ 四個(gè)影響較大的參數(shù)進(jìn)行單參數(shù)有限元分析(共35 個(gè)模型)，獲得節(jié)點(diǎn)的抗拉剛度，并與節(jié)點(diǎn)抗壓剛度進(jìn)行比較，見圖5(相對(duì)誤差以抗壓剛度為基礎(chǔ)計(jì)算).可見，相對(duì)誤差隨β、γ 增大而增大，但絕大部分在6%以內(nèi). 因此，在工程應(yīng)用中，可將抗壓剛度作為節(jié)點(diǎn)軸向剛度的下限，用其代替抗拉剛度.

圖5 節(jié)點(diǎn)軸向抗拉與抗壓剛度的相對(duì)誤差Fig.5 The relative error of axial tensile rigidity and axial compressive rigidity for a joint

工程實(shí)際中，主管也受荷載作用，因此對(duì)主管受荷對(duì)節(jié)點(diǎn)初始剛度的影響進(jìn)行了有限元分析.分析時(shí)，先給主管施加軸力，讓其分別處于較低(0.3fy，fy為主管屈服強(qiáng)度)、中等(0.5fy)和較高(0.7fy)3 種應(yīng)力狀態(tài)，每種應(yīng)力狀態(tài)又分為拉和壓2 種情況，然后再施加支管軸壓力. 計(jì)算結(jié)果表明，主管受力與不受力時(shí)節(jié)點(diǎn)軸向剛度最大相差不到3%，因此完全可以忽略主管受荷對(duì)節(jié)點(diǎn)初始軸向剛度的影響.

6 函數(shù)f1 和f2 的進(jìn)一步討論

式(7)中，f1和f2分別簡(jiǎn)化為線性函數(shù)C1β +C2(γ -0.5)和C3+ C4β. 筆者對(duì)f1(β，γ-0.5)和f2(β)的形式進(jìn)行了多種嘗試，以考察能否進(jìn)一步簡(jiǎn)化，以及f1和f2采用更復(fù)雜的多項(xiàng)式時(shí)能否明顯提高精度.

嘗試如下:

(1)f1簡(jiǎn)化為C1β，f2不變;

(2)f1簡(jiǎn)化為C1β，f2變?yōu)殛P(guān)于β 的二次多項(xiàng)式;

(3)f1不變，f2變?yōu)殛P(guān)于β 的二次多項(xiàng)式;

(4)f1變?yōu)镃1β + C2(γ -0. 5)+ C7β(γ -0.5)，f2不變;

(5)f1變?yōu)殛P(guān)于β 和(γ -0.5)的完全二次多項(xiàng)式，f2不變.

通過(guò)多元非線性回歸分析，將得到的常系數(shù)代入剛度計(jì)算式，并與前述有限元計(jì)算結(jié)果和試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，結(jié)果表明:

(1)f2采用β 的線性函數(shù)就能獲得足夠精度，即使變?yōu)殛P(guān)于β 的二次多項(xiàng)式，總體上誤差降低很小.但若f2變成常數(shù)，則誤差急劇增大(絕大部分增大8 ～13 個(gè)百分點(diǎn)，少數(shù)增大15 個(gè)百分點(diǎn)). 這再一次說(shuō)明β 與γ 之間存在不可忽視的相互影響.

(2)f1采用關(guān)于β 和(γ -0.5)的線性函數(shù)就能獲得足夠精度，但若忽略(γ -0.5)項(xiàng)，而將f1變成僅僅是β 的函數(shù)，即使是β 的二次多項(xiàng)式，誤差將明顯增大(大部分增大約10%)，這符合前文關(guān)于節(jié)點(diǎn)剛度公式數(shù)學(xué)形式的分析.

可見，將f1和f2定義為線性函數(shù)不僅與實(shí)際較符合，能獲得較高精度，而且表達(dá)式相對(duì)簡(jiǎn)單，便于工程應(yīng)用.

7 結(jié) 論

基于彈性約束支座的半圓拱簡(jiǎn)化模型，導(dǎo)出了Y 型圓鋼管相貫節(jié)點(diǎn)軸向剛度理論公式;運(yùn)用泰勒級(jí)數(shù)等數(shù)學(xué)手段，忽略次要因素，對(duì)理論公式進(jìn)行簡(jiǎn)化;通過(guò)多元非線性回歸分析，建立了實(shí)用的Y型圓鋼管相貫節(jié)點(diǎn)軸向初始剛度計(jì)算公式，并用有限元計(jì)算結(jié)果和已有試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了校驗(yàn).研究獲得以下結(jié)論:

(1)節(jié)點(diǎn)剛度與E、D 和1/sin2θ 成正比，與參數(shù)β、γ -0.5 和τ 之間呈現(xiàn)較復(fù)雜且相互影響的關(guān)系.

(2)已有試驗(yàn)數(shù)據(jù)和有限元計(jì)算結(jié)果驗(yàn)證了節(jié)點(diǎn)初始剛度計(jì)算式在0.3≤β≤0.9、7≤γ≤30、30°≤θ≤90°和0.22≤τ≤1.0 的工程常見幾何參數(shù)范圍內(nèi)的合理性

(3)主管受力對(duì)節(jié)點(diǎn)軸向初始剛度影響小，支管受軸向拉、壓的剛度差異較小，因此導(dǎo)出的節(jié)點(diǎn)初始剛度計(jì)算式也可以用于主管受荷載作用、支管受軸向拉力作用的情況.

［1］ 北京鋼鐵設(shè)計(jì)研究總院. GB 50017—2003 鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范及條文說(shuō)明［S］. 北京:中國(guó)計(jì)劃出版社，2003.

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