李小珍， 劉楨杰， 辛莉峰， 劉德軍

(西南交通大學土木工程學院，四川 成都610031)

斜拉索作為斜拉橋的主要受力構(gòu)件，具有剛度小、阻尼較低的特點. 由于斜拉橋主梁質(zhì)量遠大于斜拉索，在列車或風荷載作用下，主梁、橋塔振動作為激勵將導致斜拉索大幅振動，這種振動稱為索梁相關(guān)(耦合)振動［1-2］. 隨著斜拉橋技術(shù)的進步，作用在斜拉橋上的車輛荷載越來越大，而列車荷載作為一個長期的動力荷載，若由于橋梁本身特性的原因，使其在車橋動力作用下發(fā)生明顯的索梁相關(guān)振動，從而導致拉索長期大幅振動，將嚴重影響拉索的耐用性，并對橋梁的安全性造成威脅.

車輛荷載作用下斜拉橋索梁振動的相關(guān)性已越來越受到關(guān)注，取得了一些研究成果［3-6］. 如Yang Fuheng 等考慮斜拉索振動過程中大位移及索力變化的非線性特性，采用離散索單元建立斜拉索模型，研究了移動荷載作用下主跨150 m 的斜拉橋拉索的非線性振動［3］;張鶴等采用有限元法，通過車橋耦合振動分析，獲得了主梁、橋塔的振動響應，并采用子結(jié)構(gòu)方法提取拉索端點的振動時程研究拉索振動，討論了梁、塔與拉索振動的相關(guān)性［4］.研究表明，對于大跨斜拉橋，在斜拉索主要自振頻率范圍內(nèi)，梁、塔端支點和拉索中點振動頻譜沒有明顯的相關(guān)性，在車輛荷載作用下索橋耦合振動的可能性不大［4］.然而，拉索振動響應均包含端部位移響應成分，對斜拉索非線性振動的上述分析并未從斜拉索局部振動特性出發(fā)，探討列車通過時斜拉索局部振動與橋梁整體振動之間的相關(guān)性.

本文基于列車-線路-橋梁耦合振動理論與動力學模型，以某主跨115 m+95 m 的鐵路矮塔斜拉橋為工程背景，考慮斜拉索與橋梁整體結(jié)構(gòu)之間的相互作用，通過數(shù)值積分得到梁體、橋塔振動響應以及斜拉索局部振動響應，探討了不同列車速度下拉索與橋梁整體振動之間的相關(guān)性.

1 列車-線路-橋梁耦合振動模型

按照一定的輪軌、橋軌作用關(guān)系，將車輛、軌道和橋梁三大子系統(tǒng)組合而成的耦合大系統(tǒng)稱為列車-線路-橋梁耦合振動系統(tǒng)，見圖1.

圖1 列車-軌道-橋梁耦合振動模型Fig.1 Dynamic model of train-track-bridge coupling system

1.1 車輛動力學模型

車輛為二系懸掛四軸車輛(35 個自由度的質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng))，包括1 個車體、2 個轉(zhuǎn)向架和4 個輪對共7 個剛體，每個剛體均考慮橫移、沉浮、側(cè)滾、點頭和搖頭5 個自由度，剛體與剛體之間通過彈簧-阻尼元件連接［7-8］. 根據(jù)D'Alembert 原理，可推導出車輛各自由度的動力平衡方程，表達式詳見文獻［9］.車輛子系統(tǒng)的運動方程為

式中:Mv、Cv和Kv分別為車輛子系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣;¨uv、˙uv和uv分別為車輛各自由度的加速度、速度和位移列向量;Pv為軌道子系統(tǒng)作用在車輛子系統(tǒng)上的荷載.

1.2 軌道動力學模型

采用文獻［10］介紹的板式軌道模型模擬無碴軌道結(jié)構(gòu).橋上板式軌道中，軌道振動主要體現(xiàn)在鋼軌和軌道板的振動上，混凝土底座的作用以參振質(zhì)量的形式在橋梁動力學模型中加以考慮.考慮鋼軌振動的邊界條件影響后，可將鋼軌的無限長Euler 梁模型簡化為有限長簡支梁模型. 軌道板垂向振動按彈性地基上的等厚度矩形薄板考慮，而橫向可視為剛體運動.軌道子系統(tǒng)的運動方程為

式中:Mt、Ct和Kt分別為軌道子系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣;¨ut、˙ut和ut分別為軌道各自由度的加速度、速度和位移列向量;Pt為車輛和橋梁子系統(tǒng)作用在軌道子系統(tǒng)上的荷載.

1.3 橋梁動力學模型

鐵路矮塔斜拉橋采用空間梁-桿系有限元模型模擬，其中橋塔、主梁采用空間梁單元模擬，斜拉索用空間桿單元模擬.為探討矮塔斜拉橋索梁振動的相關(guān)性，分析列車-線路-橋梁耦合振動時，需考慮斜拉索振動的非線性.斜拉索單元的模擬采用與文獻［3］相同的方法，將單根斜拉索離散為多段桿單元，相鄰桿單元鉸接. 斜拉索因自重垂曲引起的非線性效應(采用Ernst 公式)通過折減其彈性模量來考慮;恒載初始內(nèi)力對結(jié)構(gòu)剛度的影響通過在桿單元剛度矩陣的基礎(chǔ)上疊加幾何剛度矩陣實現(xiàn)［7］.

橋梁邊界條件的模擬方法:墩梁之間的聯(lián)結(jié)采用主從關(guān)系模擬，承臺底采用點彈簧支撐，以模擬承臺底總的基樁約束.橋面二期恒載按均布質(zhì)量分配于主梁單元.橋梁子系統(tǒng)的運動方程為

式中:Mb、Cb和Kb分別為橋梁子系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣;¨ub、˙ub和ub分別為橋梁結(jié)構(gòu)各自由度的加速度、速度和位移列向量;Pb為車輛作用在橋梁各自由度上的荷載.

1.4 輪軌、橋軌相互作用關(guān)系

若輪軌、橋軌相互作用關(guān)系確定，即可由式(1)～(3)用數(shù)值積分方法求得各子系統(tǒng)的動力響應.輪軌關(guān)系是車輛與軌道子系統(tǒng)聯(lián)系的紐帶，包括輪軌接觸幾何關(guān)系和輪軌間力的關(guān)系. 計算中，假設(shè)輪軌剛性接觸，并允許發(fā)生脫離，其法相接觸力采用Hertz 非線性彈性接觸理論求解，切向作用力采用Kalker 線性蠕滑理論求解，并通過Johnson-Vermeulen 理論進行非線性修正［8］.橋軌關(guān)系是軌道與橋梁子系統(tǒng)聯(lián)系的紐帶，包括橋枕間的幾何相容和靜力平衡條件.軌道板位移通過橋梁節(jié)點位移插值得到，并由軌道板位移求出作用在其上的橫向力和垂向力.

2 計算條件

2.1 結(jié)構(gòu)概況

以某主跨為115 m +95 m 的客運專線鐵路矮塔斜拉橋為工程背景，總體布置見圖2. 主橋結(jié)構(gòu)為獨塔雙索面預應力混凝土矮塔斜拉橋.橋塔為墩梁塔固結(jié)形式，邊跨引橋為簡支梁形式. 索塔在主梁頂面以上結(jié)構(gòu)高27.8 m，實心截面，橫橋向?qū)?.0 m;斜拉索橫向為雙索面，立面半扇形布置，索塔兩側(cè)各9 對斜拉索，塔上索距1.1 m，梁上索距8.0 m，斜拉索在塔頂通過鞍座，兩側(cè)對稱錨于梁體;主梁為變高度預應力混凝土連續(xù)梁，截面為直腹板單箱雙室結(jié)構(gòu)，中支點梁高7.6 m，跨中及端支點梁高5.0 m;主墩墩身為板式墩，支座為球形支座;塔墩基礎(chǔ)為樁徑2.0 m 的鉆孔灌注樁基礎(chǔ)，邊墩采用樁徑1.5 m 的鉆孔灌注樁基礎(chǔ).

圖2 主橋總體布置(單位:cm)Fig.2 General layout of main bridge (unit:cm)

2.2 計算參數(shù)

為研究不同列車速度下索梁振動的相關(guān)性，列車模型采用CRH3 動車組，車輛編組為重聯(lián)(動車+拖車+動車+動車+動車+動車+拖車+動車)，共16 節(jié)，速度分別為225、250、275、300、325 和350 km/h(設(shè)計時速范圍).

橋梁阻尼采用瑞利阻尼模式，結(jié)構(gòu)阻尼比取2%，參考頻率分別考慮第1 階和第20 階［11］.

計算時，列車、軌道和橋梁動力響應均不濾波，積分時間步長為0.000 1 s.

3 算 例

3.1 自振特性

根據(jù)文獻［12-13］，通過對比全橋振動與拉索振動的計算結(jié)果，可初步判斷拉索發(fā)生索梁相關(guān)振動的可能性.針對全橋整體和斜拉索分別進行自振特性分析，為方便起見，對斜拉索進行編號，見圖3(斜拉索從左至右編號，即橋塔兩側(cè)最長的分別為1 號索和18 號索). 表1 和表2 分別給出了全橋(整體)自振頻率和部分斜拉索的自振頻率，圖4為1 號斜拉索的典型模態(tài).

表2 部分斜拉索的自振頻率Tab.2 Vibration frequency of some cables

圖3 斜拉索編號Fig.3 The serial number of cables

圖4 1 號斜拉索的典型模態(tài)Fig.4 The typical modals of No.1 cable

3.2 斜拉索局部振動

斜拉索兩端點分別連接在橋塔和主梁上，在列車荷載作用下，主梁和橋塔發(fā)生振動，從而激勵斜拉索振動，而斜拉索局部振動直接引起拉索索力變化.故對斜拉索在列車荷載作用下的響應，應重點關(guān)注其局部振動.

圖2 中，OXYZ 為總體坐標系，O0X0Y0Z0為斜拉索局部坐標系(X0方向與各拉索軸向平行).由式(3)，采用Newmark-β 法可求得橋梁系統(tǒng)的動力響應，即可得到拉索在整體坐標系下的位移響應.而要得到其局部振動響應，可將扣除端點位移后的斜拉索響應向Y0和Z0方向投影(程序中通過坐標轉(zhuǎn)換矩陣得到拉索局部振動響應).

在列車荷載作用下，梁體、橋塔主要在XY 平面內(nèi)振動，斜拉索也主要受到X0Y0面內(nèi)的端點激勵.經(jīng)計算，拉索在Z0方向的局部振動位移幅值遠小于Y0方向，故分析列車荷載作用下索梁振動的相關(guān)性時，主要分析OXY 面內(nèi)的橋梁振動響應，并取斜拉索中間節(jié)點的響應作為拉索局部振動分析對象.

3.3 不同列車速度下橋梁的動力響應

考察CRH3 動車組以225 ～350 km/h 的速度通過橋梁時梁體、橋塔的動力響應規(guī)律. 圖5 為CRH3 動車組以350 km/h 的速度通過橋梁時主梁第1 跨跨中位移響應時程及其位移響應頻譜曲線，表3 給出了不同列車速度下梁體、橋塔位移響應幅值和位移頻譜的分析結(jié)果.

圖5 主梁第1 跨跨中位移時程和頻譜Fig.5 Displacement time history and frequency spectrum of the first span

表3 不同列車速度下主梁、橋塔的動力響應Tab.3 Dynamic responses of main beam and pylon vs. train running speed

從 圖5 和 表3 可 見，CRH3 動 車 組 以225 ～350 km/h 的速度運行時，主梁、橋塔振動包含的主要頻率以低頻為主. 隨主要頻率值增大，其對應的位移幅值減小，且主要頻率值均小于全橋整體一階自振頻率(0.78 Hz)，表明主梁、橋塔振動包含的主要頻率為列車經(jīng)過橋梁時的等效激勵頻率;主梁、橋塔位移響應和響應幅值包含的主要頻率及其對應的位移幅值均隨列車速度提高而增大. 其中，位移響應對列車速度不如頻率敏感，這主要是由于位移響應受振動頻率對應的位移幅值控制.

從表3 可見，頻率對應的位移幅值越大(頻率值占振動頻率的比重越大)，受列車速度影響越小.

圖6 為CRH3 動車組以225 ～325 km/h 的速度經(jīng)過橋梁時1 號斜拉索的局部振動位移時程和位移響應頻譜曲線，表4 給出了不同列車速度下斜拉索的局部振動位移響應和位移頻譜的分析結(jié)果.

從圖6 和表4 可見，與主梁和橋塔相比，斜拉索局部振動頻率分布更集中，且其振動位移響應和響應幅值包含的主要頻率和頻率幅值均對列車速度較敏感.

圖6 1 號斜拉索局部振動位移時程和頻譜Fig.6 Displacement time history and frequency spectrum of No.1 cable

比較表3 和表4 中振動主要頻率與拉索自振頻率可知，斜拉索局部振動包含的主要頻率是與拉索自振頻率最接近的斜拉索端點位移激勵頻率——梁體、橋塔振動包含的頻率成分(列車速度為225 ～275 km/h 時，2 號和17 號斜拉索局部振動包含的主要頻率也為端點激勵頻率，因所占比重小，表3 中未給出).

從主梁和橋塔動力響應的分析結(jié)果可知，位移響應受列車速度影響較小，而拉索局部振動位移響應對車速較敏感(表4).這主要是由于斜拉索振動源于拉索端部梁體、橋塔的位移激勵，而梁體、橋塔激勵頻率主要由列車速度控制，且當激勵頻率與拉索自身基頻非常接近時，將引起斜拉索共振，從而導致拉索振動位移增大. 如CRH3 動車組以275 km/h 的速度運行時，1 號拉索局部振動位移響應大于列車以325 ～350 km/h 的速度運行時.而比較頻率幅值，列車速度275 km/h 時的頻率值0.47 Hz 對應的梁體、橋塔激勵頻率幅值小于列車速度325 ～350 km/h 時的頻率值0.60、0.55 Hz 對應的梁體、橋塔激勵頻率幅值. 由此可判定1 號斜拉索產(chǎn)生了共振(與列車速度225 和325 km/h 相比，列車速度275 km/h 時斜拉索的局部振動響應幅值并未迅速衰減，反而增大，見圖6). 當拉索長24 ～85 m，直徑118.71 ～129.87 mm 時，在列車荷載作用下，其局部振動位移幅值小于3 mm.

目前，斜拉索振動控制要求的容許振幅等于拉索直徑或等于索長的1/1 700 ～1/300［14］.可見，雖然部分拉索產(chǎn)生了共振，但振動位移幅度較小. 實際上拉索產(chǎn)生索梁相關(guān)振動導致大幅共振的現(xiàn)象較少見［1］，這主要受拉索阻尼的影響［2，15］.

表4 不同列車速度下斜拉索的局部振動響應Tab.4 Local vibration responses of cables vs. train running speed

4 結(jié) 論

基于列車-線路-橋梁耦合振動理論與動力學模型，以某主跨115 m+95 m 的鐵路矮塔斜拉橋為工程背景，考慮索與橋梁整體結(jié)構(gòu)之間的相互作用，研究了列車以不同速度(CRH3 動車組，速度為225 ～350 km/h)通過橋梁時，斜拉索振動與橋梁整體振動之間的相關(guān)性. 研究表明，當列車在設(shè)計時速范圍內(nèi)通過橋梁時:

(1)全橋振動包含的主要頻率為列車的等效外激勵頻率，其值小于全橋一階振動頻率，未引起全橋發(fā)生一階及一階以上大幅振動.

(2)全橋振動包含的主要頻率和振動位移幅值均隨列車速度提高而增大.振動位移響應幅值受各振動頻率對應的位移幅值控制，其對列車速度的變化不如頻率敏感;在列車荷載作用下，斜拉索局部振動源于拉索端部主梁、橋塔位移激勵(全橋振動)，故斜拉索局部振動位移響應和響應幅值包含的主要頻率和頻率幅值均對列車速度較敏感.

(3)斜拉索局部振動包含的主要頻率為與拉索自振頻率最接近的斜拉索端點位移激勵頻率，說明列車荷載作用下索梁振動的相關(guān)性問題實質(zhì)上是一個能量傳遞過程，當拉索端點位移激勵頻率與其自振頻率接近時，能量易于在索梁間傳遞.

(4)當列車荷載的等效外激勵頻率與斜拉索自振頻率接近時，斜拉索在外激勵作用下會發(fā)生共振，但共振幅值不大(斜拉索局部振動位移幅值小于3 mm).

致謝:西南交通大學揚華之星資助項目.

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