含集中參數(shù)彈性梁振動特性解析與實(shí)驗(yàn)識別*

王 壯1，2，洪 明2，許俊臣2，崔洪宇2

（1.中國艦船研究設(shè)計中心 武漢，430064）（2.大連理工大學(xué)船舶工程學(xué)院 大連，116024）

基于Laplace變換推導(dǎo)出含集中質(zhì)量與集中剛度彈性梁的振型函數(shù)和典型邊界條件對應(yīng)的頻率方程，針對有一個集中質(zhì)量與一個集中剛度的懸臂梁，求解出其固有特性，并利用基于自然激勵技術(shù)（natural excitation technique，簡稱NEx T）的特征系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)算法（eigensystem realization algorithm，簡稱ERA），即NEx T-ERA法對相應(yīng)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)進(jìn)行了模態(tài)識別。通過對比解析結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果，分別討論了集中質(zhì)量與集中剛度大小變化和位置變化時對梁振動特性的影響，得出了集中質(zhì)量和集中剛度在懸臂梁上位置和大小變化時，懸臂梁固有頻率的相應(yīng)變化規(guī)律，為工程中具有集中質(zhì)量和集中剛度等直彈性梁的振動分析方法和集中參數(shù)布置設(shè)計提供了參考。

彈性梁；集中質(zhì)量；集中剛度；自然激勵技術(shù)的特征系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)算法（NEx T-ERA）；模態(tài)識別

引 言

工程中一些結(jié)構(gòu)可以簡化成具有集中質(zhì)量和集中剛度的等直彈性梁，設(shè)計中布置集中質(zhì)量和集中剛度，追求優(yōu)良的振動特性是非常有意義的。

具有集中質(zhì)量與集中剛度的彈性梁的固有振動特性引起了國內(nèi)外學(xué)者的研究興趣［1-2］。Rossit等［3］用解析法推導(dǎo)出了懸臂梁自由端含有一個彈性支撐質(zhì)量情況下的頻率方程。Banerjee［4］采用動剛度法分析了相同問題。Chang［5］考慮了集中質(zhì)量轉(zhuǎn)動慣性的影響，分析了含有一個集中質(zhì)量簡支梁的振動特性。Low［6］采用特征分析法和Rayleigh法對比分析了僅含有集中質(zhì)量的歐拉梁的固有頻率。對同樣的模型，Low［7］用Laplace變換的方法推導(dǎo)出了頻率方程，并編寫了計算程序。夏季等［8］采用Laplace變換推導(dǎo)出同時含有任意多個集中質(zhì)量和集中剛度的彈性梁的振動特性的解析表達(dá)式，但表達(dá)式較為復(fù)雜，只適用于計算含有少量集中參數(shù)的情況。彭獻(xiàn)等［9］在Low的基礎(chǔ)上采用符號運(yùn)算，推導(dǎo)出了便于計算的頻率方程解析表達(dá)式，可計算含有集中質(zhì)量較多情況下的頻率方程，但未考慮含有集中剛度的情況。Wu等［10］采用解析和數(shù)值分析相結(jié)合的方法求出了含有任意集中質(zhì)量和集中剛度的歐拉梁的固有頻率和振型。Li等［11］用Ritz法求解了梁兩自由端含有集中質(zhì)量和彈性支撐的柔性梁的固有特性。以上研究只針對固有特性的求解，沒有探討集中質(zhì)量和集中剛度大小或者位置布放對梁振動特性的影響，而這個研究認(rèn)識對指導(dǎo)工程中相應(yīng)結(jié)構(gòu)減振是非常有必要的。

筆者基于Laplace變換的方法，針對典型邊界條件，推導(dǎo)了含有任意集中質(zhì)量與集中剛度的彈性梁彎曲振動的固有頻率及振型的解析表達(dá)式。采用NEx T-ERA法［12］對含有集中參數(shù)的梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行了模態(tài)識別實(shí)驗(yàn)，理論解析結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合較好。利用驗(yàn)證的理論算法系統(tǒng)地討論了集中質(zhì)量和集中剛度的大小以及它們在梁上位置的改變對懸臂梁固有特性的影響，為工程中具有集中質(zhì)量和集中剛度的等直梁提供了振動分析方法。

1 振型函數(shù)及頻率方程推導(dǎo)

對于均勻等直彈性梁，其結(jié)構(gòu)質(zhì)量與剛度分布是均勻連續(xù)的。如果梁上含有集中質(zhì)量與集中剛度，那么其系統(tǒng)質(zhì)量與剛度在某一點(diǎn)會產(chǎn)生集中突變，此時可利用δ函數(shù)來描述集中質(zhì)量與集中剛度對均勻梁的振動微分方程的影響，由于方程中δ函數(shù)的存在，求解將變得復(fù)雜。

1.1 采用δ函數(shù)描述集中質(zhì)量與剛度的梁固有振型函數(shù)推導(dǎo)

圖1所示為含有r個集中質(zhì)量和s個線彈簧的

等直彈性梁，其自由振動微分方程為

圖1 含集中質(zhì)量與集中剛度彈性梁示意圖Fig.1 Elastic beam with lumped masses and springs

其中：前兩項為均勻直梁的彈性與慣性項；后兩項為集中質(zhì)量和集中剛度的影響項。

設(shè)解為w（xˉ，t）=Y（x）sinωt，采用無量綱形

對式（2）作拉普拉斯逆變換，得到振型函數(shù)表達(dá)式為

其中：

其中：H（x）為單位階躍函數(shù)。

為推導(dǎo)簡便，作如下形式的符號代換，令式（3）中

則滿足以下導(dǎo)數(shù)關(guān)系

1.2 集中質(zhì)量和彈簧在梁中位置時梁的頻率方程

為得到頻率方程，考慮梁上含有一個集中質(zhì)量和一個集中剛度并位于梁中的簡單情況，即式（6）中r=1，s=1，xM1=0.5和xK1=0.5，下面分別推導(dǎo)懸臂梁和簡支梁振動的頻率方程。

懸臂梁的邊界條件為Y（0）=Y＇（0）=0，Y″（1）=Y?（1）=0，將xM1和xK1分別代入振型函數(shù)式（6）的對應(yīng)階導(dǎo)函數(shù)式，令x=1，整理可得

其中：

根據(jù)邊界條件，式（7）和式（8）可以寫成矩陣形式

由此得到相應(yīng)的頻率方程

同上推導(dǎo)，即可得出其他簡單邊界條件的頻率方程，這里不再贅述。

1.3 集中質(zhì)量和彈簧在任意位置時梁的頻率方程

在任意位置處含有一個質(zhì)量和一個集中剛度的懸臂梁如圖2所示。

同理可得簡支梁的頻率方程為

圖2 集中質(zhì)量與集中剛度位于梁任意位置示意圖Fig.2 Beam with lumped masses and springs in random position

根據(jù)式（6）及懸臂梁的邊界條件得振型函數(shù)為

其中：

當(dāng)ξ1＞ξ2時，得到頻率方程

其中：

當(dāng)ξ1＜ξ2，則有

2 模態(tài)參數(shù)識別方法

采用基于自然激勵技術(shù)的特征系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)算法（NEx T-ERA）對梁模態(tài)進(jìn)行識別。

2.1 自然激勵技術(shù)

自然激勵技術(shù)針對平穩(wěn)白噪聲激勵下的線性系統(tǒng)，結(jié)構(gòu)上兩點(diǎn)響應(yīng)信號的互相關(guān)或自相關(guān)函數(shù)與脈沖響應(yīng)函數(shù)具有相近的表達(dá)式［13］。因此可應(yīng)用互相關(guān)或自相關(guān)函數(shù)代替脈沖響應(yīng)函數(shù)數(shù)據(jù)。

假設(shè)一個N自由度的線性系統(tǒng)，若在系統(tǒng)的第l階上作用一個穩(wěn)態(tài)的純白噪聲激勵信號fl（t），則在結(jié)構(gòu)上第n階和第p階的響應(yīng)信號xnl（t）和xpl（t）的互相關(guān)函數(shù)［14］為

其中：ψnr為第r階模態(tài)振型的第n階成分；λr為第r階特征值；apr為一常量。

根據(jù)模態(tài)理論，若在系統(tǒng)的第p階自由度上作用一個脈沖激勵力，那么在系統(tǒng)的第n階自由度處的脈沖響應(yīng)為

其中：bpr為第r階模態(tài)的參與因子。

比較式（15）和式（16），發(fā)現(xiàn)二者形式相同，僅差兩個常數(shù)項apr和bpr。應(yīng)用NEx T-ERA方法識別系統(tǒng)模態(tài)時，可用互相關(guān)函數(shù)代替脈沖響應(yīng)函數(shù)。

2.2 特征系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)算法

特征系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)算法利用結(jié)構(gòu)的脈沖響應(yīng)函數(shù)矩陣構(gòu)建廣義Hankel矩陣，對其進(jìn)行奇異值分解得到系統(tǒng)的最小實(shí)現(xiàn)，以此識別系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)［15］。

對N自由度的線性系統(tǒng)，其離散時間的系統(tǒng)狀態(tài)空間方程在tk+1時刻表示為

其中：k為離散時間步；x（k）為狀態(tài)向量；u（k）= u（ kΔt）為輸入向量；y（k）=y（ kΔt）為輸出向量；A，B和C分別為系統(tǒng)矩陣、輸入矩陣和輸出矩陣。

假設(shè)系統(tǒng)在S個自由度上有脈沖輸入，在M個自由度上有傳感器輸出，則ERA算法的數(shù)學(xué)模型為

設(shè)已經(jīng)得到脈沖響應(yīng)矩陣h（k），構(gòu)造廣義Hankel矩陣

其中：P=［C CA…CAα-1］T為αM×2N階可觀矩陣；Q=［B AB…Aβ-1B］為2N×βS階可控矩陣；α和β分別為可觀指數(shù)和可控指數(shù)。

當(dāng)k=1時，對H（0）進(jìn)行奇異值分解，得

將式（18）代入式（19）中，整理可得

其中：Σ=［Σn0］為2N×2N階矩陣。0 0同理，當(dāng)k=2時，有

設(shè)兩個輔助矩陣

其中：IM和0M，IS和0S分別為M階和S階單位陣和零矩陣。

得到系統(tǒng)的最小實(shí)現(xiàn)為

對于離散時間系統(tǒng)，設(shè)系統(tǒng)矩陣A的特征值矩陣為Z，特征向量矩陣為ψ，對A做特征值分解，得

對于連續(xù)時間系統(tǒng)，Ac的特征向量與A的特征向量相同，特征值滿足

其中：zi為特征值矩陣Z的對角元素；λi為Ac的特征值。

根據(jù)模態(tài)理論，系統(tǒng)的模態(tài)頻率、阻尼比和振型為

3 數(shù)值算例及模態(tài)實(shí)驗(yàn)

3.1 集中質(zhì)量和集中剛度大小對固有頻率的影響

表1 梁各項參數(shù)Tab.1 Material properties of the beam

表2 3種集中質(zhì)量和彈簧參數(shù)Tab.2 Properties of the masses and springs

表3 α=0.075 68和β取不同值時的前4階固有頻率ωiTab.3 The first four natural frequenciesωiwhenα=0.075 68，βhas different values Hz

表4 α=0.123 39和β取不同值時的前4階固有頻率ωiTab.4 The first four natural frequenciesωiwhenα=0.123 39，βhas different values Hz

表5 α=0.185 09和β取不同值時的前4階固有頻率ωiTab.5 The first four natural frequenciesωiwhenα=0.185 09，βhas different values Hz

實(shí)驗(yàn)時彈簧兩端設(shè)計有固定裝置，可以安裝在懸臂梁任意位置處，質(zhì)量塊可用磁座吸附在梁上不同位置。在接近懸臂梁固定端處施加白噪聲激勵，梁上布置有傳感器可測得各點(diǎn)的加速度響應(yīng)值。實(shí)驗(yàn)儀器及模型示意圖如圖3，4所示。

圖3 實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ褪疽鈭DFig.3 The experimental model

圖4 實(shí)驗(yàn)現(xiàn)場Fig.4 Testing ground

分析表3～5可以看出，隨著β值的增大，各階固有頻率ωi逐漸增大，即在集中質(zhì)量和集中剛度位置不變的前提下，若保持集中質(zhì)量大小不變，當(dāng)彈簧剛度增加時，各階固有頻率增大。對比分析表3～5，隨著α值的增大，各階固有頻率ωi逐漸減小，即當(dāng)彈簧剛度保持不變而集中質(zhì)量增大時，各階固有頻率呈減小趨勢。通常對于一個單自由度系統(tǒng)，其固有頻率與系統(tǒng)剛度成正比，與系統(tǒng)質(zhì)量成反比。可見，對含有一個集中質(zhì)量和一個集中剛度的懸臂梁結(jié)構(gòu)，其固有頻率變化仍符合這一規(guī)律。

將實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論解對比，很好地驗(yàn)證了這一規(guī)律。根據(jù)式（12）計算可得懸臂梁在r=1，s=1，xM1=1和xK1=1/2時振型為

在α=0.123 39和β=21.761 2時，梁前4階模態(tài)振型如圖5所示。實(shí)驗(yàn)識別得到的模態(tài)振型如圖6所示。對比解析結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果，二者十分吻合。

圖5 解析計算得懸臂梁前4階模態(tài)振型Fig.5 The analytical first four mode shapes

圖6 實(shí)驗(yàn)識別得懸臂梁前4階模態(tài)振型Fig.6 The first four mode shapes obtained from experiment

3.2 集中質(zhì)量和集中剛度位置對固有頻率的影響

為了探討集中剛度在梁上位置變化時對梁固有頻率的影響，在懸臂梁自由端固定一集中質(zhì)量，令式（13），（14）中ξ1=1，集中質(zhì)量系數(shù)α1=0.123 39，集中剛度系數(shù)β1=21.761 2，當(dāng)彈簧在梁上的位置為ξ2=0.1，0.2，…，0.9時，分別用本解析方法和實(shí)驗(yàn)識別得到了梁的前4階固有頻率。為便于分析，以集中剛度在梁上的相對位置ξ2為橫坐標(biāo)，以解析和實(shí)驗(yàn)得到的每一階固有頻率ωi（i=1，2，3，4）為縱坐標(biāo)，得到ωi的變化曲線如圖7所示。其中，圖左側(cè)為解析解縱坐標(biāo)，右側(cè)為實(shí)驗(yàn)值縱坐標(biāo)。

同理，探討集中質(zhì)量在梁上位置變化時對梁固有頻率的影響。將彈簧固定在梁中，當(dāng)ξ2=0.5時，令集中質(zhì)量在梁上移動，取ξ1=0.1，0.2，…，0.9時，通過本解析法和實(shí)驗(yàn)得到的各階固有頻率ωi（i=1，2，3，4）隨集中質(zhì)量在梁上相對位置ξ1的變化規(guī)律如圖8所示。

圖7 前四階固有頻率隨集中剛度位置的變化曲線Fig.7 The variation of the first four natural frequencies with the spring in different positions

圖8 前四階固有頻率隨集中質(zhì)量位置的變化曲線Fig.8 The variation of the first four natural frequencies with the mass in different positions

圖9 移動彈簧對梁模態(tài)剛度的影響Fig.9 The modal stiffness when the spring is in different positions

對集中質(zhì)量的位置而言，它對固有頻率的影響和集中剛度相反。如圖10所示，對于一階模態(tài)，當(dāng)集中質(zhì)量從固定端向自由端移動時，使梁的振動慣性越來越大，導(dǎo)致梁的一階模態(tài)質(zhì)量M1越來越大，因而其一階固有頻率ω1逐漸減小，而二階固有頻率ω2先減小后增大。

圖10 移動質(zhì)量對梁模態(tài)質(zhì)量的影響Fig.10 The modal mass when the mass is in different positions

對比實(shí)驗(yàn)結(jié)果和解析解，實(shí)驗(yàn)得到的各階固有頻率的變化趨勢和解析結(jié)果完全吻合，進(jìn)一步驗(yàn)證了本研究結(jié)論的正確性。

4 結(jié)束語

工程中一些結(jié)構(gòu)可以簡化成具有集中質(zhì)量和集中剛度的等直彈性梁，針對這一模型，通過解析方法得出了其在不同邊界條件下的固有頻率方程和振型函數(shù)。通過數(shù)值算例求得了含有不同大小集中質(zhì)量和集中剛度懸臂梁的固有特性解析解，并用NEx TERA法對實(shí)際懸臂梁結(jié)構(gòu)的模態(tài)進(jìn)行識別。

將解析結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對比，實(shí)驗(yàn)結(jié)果和解析結(jié)構(gòu)互相吻合，驗(yàn)證了本解析方法的正確性和模態(tài)識別方法的有效性。討論了集中質(zhì)量和集中剛度大小變化以及它們在梁上的位置變化時對梁固有頻率的影響，為工程中具有集中質(zhì)量和集中剛度的等直彈性梁的振動分析方法和集中參數(shù)布置設(shè)計提供了參考。

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O326；O329；TH113

10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2015.04.022

王壯，男，1988年9月生，工程師。主要研究方向?yàn)榇罢駝釉肼暅y試與控制。曾發(fā)表《含集中質(zhì)量與彈性支撐壓電層合梁振動控制》（《聲學(xué)技術(shù)》2015年第34卷第2期）等論文。E-mail：waitorz@qq.com

*國家自然科學(xué)基金資助項目（51109034）

2013-12-03；

2014-01-25