葉正勇

（浙江省衢州第二中學，浙江 衢州 324000）

彈簧是中學物理中常見的研究對象，大量的中學物理問題中均會涉及到彈簧.彈簧問題往往與高中物理的核心規(guī)律——牛頓運動定理，能量的轉化與守恒規(guī)律以及彈力的規(guī)律密切相關，從而成為高中物理的重點.然而，教學實踐表明，不少的學生在學習了彈簧的相關知識后，在概念、規(guī)律的理解上還存在著不少的誤區(qū).出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因主要不在學生，而與教師對相關知識的講解只浮于表面，沒有深入透徹的分析有關.本文就彈簧知識的幾個核心問題：彈簧模型的特點及彈簧彈力的概念；彈力大小的規(guī)律——胡克定理的準確理解及適用范圍；彈簧彈性勢能的特點等做全面深入的分析，以期提高彈簧知識的教學與學習的效果.

1 在正確建立彈簧模型的基礎上準確把握彈簧彈力的概念

彈簧的本質屬性是具有彈性（形變后能恢復原狀的性質），故彈簧只能模型化為彈性體，而不能模型化為質點或剛體.在中學階段，學生所學習的最重要的（幾乎是唯一的一種）彈性體模型就是彈簧.突出了具有彈性這一本質特征，而忽略了質量、粗細等次要或無關因素的彈簧，稱為理想彈簧（或稱輕質彈簧，簡稱彈簧，中學階段只討論理想彈簧）.對于理想彈簧，若從質點組的角度來看，可視為由無數(shù)個質點（連續(xù)介質）所組成的一種特殊質點組，且相鄰的質點之間存在著相互的作用力.所謂彈簧的彈力，就是這種質點組中任意兩個相鄰的質點之間的相互作用力.

在建立了理想彈簧的模型后，中學階段講授彈簧彈力的概念時應向學生點明：

（1）彈簧彈力的本質.

彈簧中任意相鄰的兩部分之間的相互作用力定義為彈簧的彈力.該力起因于所考查的這兩部分中的每一部分均發(fā)生了彈性形變，且均要恢復原狀的彈性.若彈簧處于伸長狀態(tài)，此時的彈力是相互吸引力；若處于壓縮狀態(tài)，則彈力是相互排斥力.若是只考查彈簧中的某一部分，說到該部分的彈力時，應明確指出是它所受到的彈力還是它所施出的彈力.這樣才有確定的含義.

（2）彈力大小的特點.

鑒于理想彈簧的質量不計，發(fā)生了彈性形變的彈簧中任意兩點的彈力，其大小一定相等.這是因為，以這兩點之間的這段彈簧為研究對象，由牛頓第二定律可知，該段彈簧受到的合力為0，故這兩點的彈力相等.由于彈力大小的等值性特點（其大小與所考查的彈簧上的點無關），講到彈簧彈力的大小時，就無需點明是彈簧中哪一點的，而只是籠統(tǒng)地稱為是整根彈簧的.在中學階段，講到彈簧彈力大小，通常指的是所考察的彈簧兩端點的彈力大?。磸椈蓪ν庾饔昧Φ拇笮』蛘邚椈墒艿酵饨缱饔玫牧Φ拇笮。?一旦將形變的理想彈簧任一端點所受的外力撤去，即該點的彈力為0，則整根彈簧（其上各點）的彈力均變?yōu)?，這時，彈簧的形變將立即消失而恢復原長.此外，彈簧彈力大小等值性的特點與所研究的彈簧所處的運動狀態(tài)無關，即無論彈簧是否處于平衡狀態(tài)，其上各點彈力的大小均相等.

（3）彈力變化的漸變性特點.

彈簧的彈力起因于它的彈性形變，當受彈簧彈力作用的物體（高中段通常均模型化為剛體）受到的其它力（不含彈簧的彈力）發(fā)生變化的瞬間，由于該物體的位置來不及改變，該瞬間彈簧的形變也來不及改變，故它的彈力幾乎不變，此即彈簧彈力變化的漸變性，換句話說，此時彈簧的彈力不能發(fā)生突變.這是彈簧彈力明顯不同于理想輕繩的彈力的重要特征.值得注意的是，不要將彈簧彈力變化的漸變性與彈力大小等值性中所說的彈簧的彈力隨著它一端彈力的消失而立即消失的特點相混淆，顯然，這兩種情形的條件和前提均不同.

2 準確理解胡克定律及其適用范圍

實驗表明，彈簧彈力的大小與它的形變量（即伸長量或壓縮量）成正比，彈力的大小與形變量的比值稱為彈簧的勁度系數(shù).這就是胡克定律.胡克定律定量揭示了彈簧彈力大小的決定因素，是彈性力學的基礎.為了使學生掌握好該定律，在教學中應闡明：

（1）定律中所涉及的每一個量的確切含義.

一是定律涉及的力是所考察的對象——彈簧的彈力.在一般情形中，該力不是彈簧下懸掛物的重力.二是彈簧的形變量意指處于形變狀態(tài)下的彈簧的長度與它的自然長度之差.需強調的是，彈簧的自然長度（又稱原長）應是彈簧中的各點均不受彈力時（即彈簧處于自然狀態(tài)下）的長度.如將一根要計重量的彈簧自由懸掛處于靜止狀態(tài)時，其長度就不是該彈簧的自然長度.三是勁度系數(shù)是描述彈簧自身屬性（彈性）的物理量，由彈簧自身的因素（彈簧的自然長度，材料等）決定，與彈簧所處的狀態(tài)（形變程度及彈力大小）無關.對于給定的彈簧，其勁度系數(shù)是一定值.而不同的彈簧通常勁度系數(shù)不同，即它們的彈性不同.勁度系數(shù)越大的彈簧，同樣形變狀態(tài)下彈力越大，這種彈簧就越硬.可以證明：在其他因素均相同、僅自然長度不同的情形下，彈簧的勁度系數(shù)與它的自然長度成反比.

（2）定律和適用范圍.

物理規(guī)律是對實驗事實的總結，它是在某些特定的條件下，對物理事件的普遍必然聯(lián)系的反映，因此任何物理規(guī)律均有成立的前提條件或適用范圍.對于胡克定律的適用范圍應明確：

一是對于理想彈簧（即輕質彈簧）胡克定律成立.此時定律中的彈力大小既是所研究的彈簧上任一點的彈力大小（該點兩側相互作用的一對力中任一個力的大?。彩菑椈傻膬啥它c中的任一端所受到的外力大小或者兩端點中的任一端對外界所施加的作用力的大小.在高中階段的彈簧問題絕大多數(shù)屬于這種情形.

圖1

二是對處于二力平衡狀態(tài)下的質量不能忽略的彈簧，胡克定律也適用.這時彈簧彈力的大小同樣具有等值性，均等于彈簧的任一端所受到的外力大小.例如用圖1所示的實驗裝置來驗證胡克定律，就屬于這種情形.圖中實驗桌水平光滑，彈簧在二力（一個是彈簧左側的擋板對它的作用力，另一個是砝碼的重力通過理想定滑輪對彈簧的拉力）作用下處于平衡狀態(tài)，此時彈簧中各點的彈力大小均等于砝碼的重力大小.

圖2

圖3

整根彈簧的總伸長量x應為每一小段dl的伸長量dx的累加，積分有

對于圖4的情形，將質量為m0，勁度系數(shù)為k的彈簧豎起懸掛后再在其下端掛上質量為m的砝碼處于平衡狀態(tài).此時，彈簧上各點的彈力顯然也不同，胡克定理對整根彈簧也不成立.用上面的方法，同理可證明，此時彈簧的伸長量x為

圖4

（1）式表明：對整根彈簧而言，彈簧下端的彈力大?。ǖ扔陧来a重力mg）與彈簧的伸長量并不成正比，但兩者具有線性關系，且Δ（mg）/Δx＝k.這就是在高中物理實驗中依然采用圖4所示的裝置來驗證胡克定律的原因（實驗中所用的彈簧嚴格來說質量不能忽略）.但應明確的是，圖4的實驗直接驗證的是（1）式，并沒有驗證本義上的胡克定律.當然，若把彈簧的伸長量規(guī)定為，掛了砝碼時的彈簧長度與不掛砝碼時彈簧長度的差值x′，即規(guī)定x′＝xm0g/（2k），由（1）式可知，x′的確與彈簧下端的彈力成正比，即mg＝kx′，若實驗驗證了mg＝kx′，也就間接地驗證了胡克定律.

圖5

如圖5所示，質量不能忽略的彈簧其一端在恒定外力F（彈簧所受的唯一的外力）作用下做勻加速直線運動（運動方向沿彈簧軸線）.在這種情形中，根據牛頓第二定律，該彈簧上不同點的彈力顯然不同，即彈簧上的彈力也不具有等值性，故胡克定律同樣不成立.根據前面的思路同理可以證明，此時彈簧的伸長量為F/（2k）.該結論可以從對稱性和疊加思想加以解釋：在圖5中，若彈簧的左端再作用一個大小為F，方向向左的外力，如圖6（c）所示，此時，彈簧處于平衡狀態(tài)，其上各點的彈力大小均等于F，胡克定律成立，因此彈簧的伸長量為F/k.而圖6的情形可以視為圖6（a）和圖6（b）兩種情況的疊加；又因為對圖6（a）與圖6（b）兩種情形，外力對彈簧的作用是對稱的，彈簧有著相同的伸長量，因此，每一種情況（即圖5情形）的伸長量為F/（2k）.

圖6

概括以上3點，對于胡克定律適用范圍，準確的理解是：胡克定律只適用于彈簧上各點的彈力具有等值性的彈簧，換句話說，對于理想彈簧（無論處于何種運動狀態(tài)——平衡態(tài)以及非平衡態(tài)）胡克定律均成立；而對于要計及質量的非理想彈簧，胡克定律并不一定成立，此時需要具體問題具體分析.因此，在高中階段的實際教學中，考慮到學生的可接受性，涉及到的彈簧均應視為理想化的輕質彈簧，即胡克定律成立的彈簧.

3 準確把握彈簧彈力做功特點，全面深入理解彈簧的彈性勢能

圖7

理想彈簧可模型化為質點組，如圖7所示.圖中輕質彈簧（勁度系數(shù)為k）兩端連接有兩只剛性小球A、B，開始時，彈簧處于壓縮狀態(tài)（壓縮量為x）.一旦彈簧的狀態(tài)發(fā)生變化，其中的各個質點均有位移，且每個質點又受到彈力作用（來自于彈簧中的與其相鄰的其他質點），因此彈力將對每個質點做功.所謂彈簧彈力做的功（簡稱彈簧做功），其確切的含義是：將彈簧模型化為質點組后，彈力對質點組中的每一個質點所做功的代數(shù)和，而每個質點所受到的彈力則來自于與其相鄰的質點組中的另外的質點.可見，彈簧做功的實質是彈簧系統(tǒng)的內力（即相鄰質點間的彈力）做的總功.對于理想彈簧，彈力做功具有以下特點：

（1）彈簧彈力做的功等于彈簧系統(tǒng)中首、尾兩質點以彈力相互作用的一對內力的合功.

在圖7中，研究彈簧從圖示狀態(tài)變?yōu)樽匀粻顟B(tài)的過程，對該過程的任一元過程，彈簧系統(tǒng)中1、2、3…n－1、n各質點的元位移分別為dx1、dx2、dx3、…dxn－1、dxn，由于是理想彈簧，任意兩個相鄰的質點間相互作用的彈力的大小均相等，設為F，則該彈簧系統(tǒng)的內力對系統(tǒng)中所有n個質點做的總元功（即彈簧彈力做的元功）為

該式表明，彈簧系統(tǒng)中所有質點相互作用的內力做的總功（即彈簧彈力做的功）可等效為彈簧的首、尾兩質點之間存在著彈力相互作用，且等于這一對相互作用的彈力做的合功.

在圖7中，考慮到彈簧與剛性球A、B相連，由于A球的位移與質點1的位移相同，為dx1，B球的位移為dxn，且A、B兩球受到的彈簧作用力的大小均為F，故上述元過程中彈簧對A球做的功dWA＝dW1，對B球做的功dWB＝dWn，因此得到

此式進一步表明，彈簧彈力做的功（本義是彈簧系統(tǒng)內所有質點間相互作用的內力——彈力做的總功）等于彈簧對與之相連的外物施加的作用力對外物做的總功.

圖8

（2）彈簧彈力做的功僅取決于彈簧的初、末狀態(tài)，而與過程的細節(jié)無關.

如圖8所示，理想彈簧的一端固定在O點，另一端與小球P（視為質點）相連，小球P的初位置在A點，由于彈簧狀態(tài)的變化，它的末位置變到B點.在此過程中，彈簧彈力做的功等于彈簧對A球的作用力對A球做的功.設彈簧的自然長度為l0，勁度系數(shù)為k，對任一元過程r－r＋dr，彈力做的元功

式中F為該元過程中彈簧對小球的作用力，此力滿足胡克定律，r為該元過程小球相對于O點的初位矢，dr是小球的元位移，l是小球在元過程的初位矢的大小，即此時彈簧的長度，dl為小球元過程中位矢大小的變化量，即彈簧長度的變化量.

將上式對上球從A位置到B位置的全過程積分，即得整個過程中彈簧的彈簧做的功W，故有

式中xA、xB分別表示彈簧在初、末位置的形變量.

上式表明，彈簧彈力做的功取決于彈簧的自身屬性（勁度系數(shù)k）以及它的初、末狀態(tài)（初、末態(tài)彈簧的長度或形變量），而與它從初態(tài)變到末態(tài)過程的細節(jié)無關，換句話說，彈簧的彈力是保守力.

（3）彈簧彈力做的功與參考系的選擇無關.

圖9

在圖8的情形中，若彈簧的另一端并不固定，而是與另一只小球Q相連（見圖9），在這種情況下，當彈簧狀態(tài)發(fā)生變化的過程中，彈簧彈力所做的功將等于彈簧對P，Q兩球分別做功的代數(shù)和.由于彈簧對P的作用力與對Q的作用力具有等大反向共線的特點，這一對力做的合功只取決于相互作用力的特點及變化過程中兩球的相對位移.換句話說，這一對力做的合功與參考系的選取無關，無論選擇哪個參考系，這一對力的合功都是相同的.因此，在圖9的情況下，只要選小球Q為參考系，在此參考系中，求得彈簧對小球P做的功，即彈簧對P、Q兩球做的總功.顯然，以Q球為參考系，彈簧彈力做的功與圖8的情形完全相同，即

從該式也可明顯看出，彈簧彈力做的功取決于彈簧自身的屬性及其狀態(tài)的變化，而與參考系的選取無關.

從本質上來說，彈簧彈力做功其實是彈簧系統(tǒng)內部相互作用的內力做的總功，由于成對內力（相互作用的一對力）做功的絕對性（功與參考系的選取無關）必然可得出彈簧彈力做功也具有絕對性（與參考系選擇的無關性）.

在全面把握彈簧彈力做功特點的基礎上，根據勢能的普遍定義，建立了彈簧彈性勢能的概念.對于彈簧彈性勢能的理解，應明確以下幾點.

（1）彈簧彈性勢能符合勢能的普遍定義.

對某一個力學系統(tǒng)，若系統(tǒng)中相互作用的內力為保守力，即系統(tǒng)中成對的相互作用力做的總功與受力體的路徑無關，則可引入與該保守力相對應的勢能，且勢能的減量（增量的負值）定義為保守內力做的總功.設系統(tǒng)從狀態(tài)A變化到狀態(tài)A0，這兩個狀態(tài)的勢能分別為EpA、EpA0，則有EpA－EpA0＝WAA0.

根據保守力作用的特點及產生的原因的不同，有不同的保守力就對應著不同的勢能.若保守力是重力，對應的勢能即重力勢能；保守力是萬有引力，對應的勢能為引力勢能；保守力是分子力，對應的勢能為分子勢能；保守力是電荷間的相互作用力，對應的勢能就是電勢能等等.

理想彈簧系統(tǒng)的彈力做功也具有與路徑無關的特點，即彈簧的彈力也是保守力，因而可引入彈簧的彈性勢能.根據勢能的普遍定義，彈簧彈性勢能的減量定義為彈簧彈力做的功.從前面的分析可知，彈簧彈力做功的本義即彈簧系統(tǒng)中相互作用的內力——彈力做的總功，該功也等于彈簧的彈力對外界做的總功.根據上述定義，彈簧彈力做正功的過程就是彈簧的彈性勢能減少（或釋放）的過程，從能量轉化的觀點來看，也就是彈簧的彈性勢能轉化為其它能量的過程；反之，彈簧彈力做負功的過程，是彈簧的彈性勢能增加的過程，也就是其它形式的能量轉化為彈性勢能的過程.且彈簧彈力做功的數(shù)值是彈性勢能變化的量度.

就理想彈簧而言，由于它模型化為有彈力相互作用的質點系統(tǒng)，且忽略各質點的質量，因此該彈簧只有彈性勢能而沒有動能和重力勢能.從能量轉化的視角來看，當彈簧彈力做功改變彈性勢能時，彈性勢能的變化（增加或減少）只能來自于與彈簧相接觸的外界的其他能與之發(fā)生的相互轉化，此時的彈力做的功是外界的其它能量與彈簧的彈性勢能發(fā)生轉化的量度.在中學階段要進行定量研究的主要就是這種情形.

（2）彈簧彈性勢能的計算公式.

③彈簧彈性勢能的狀態(tài)性和與參考系無關的絕對性.作為彈簧彈性勢能的決定式，從（3）式可知，影響彈簧彈性勢能的因素有：彈簧自身的屬性（勁度系數(shù)）以及彈簧所處的狀態(tài)（所考察的狀態(tài)及參考狀態(tài)的形變量）兩個方面，而與其他因素一概無關.因此彈簧彈性勢能具有狀態(tài)性（取決于彈簧所處的狀態(tài)，而不是過程）和與參考系的選取無關的絕對性.狀態(tài)性是各種形式能量的普遍特征，而與參考系選擇無關的絕對性則不盡然，如動能就與參考系的選擇直接相關.是滿足胡克定律的彈簧彈力做的功，自然（3）式也只適用于計算遵守胡克定律的彈簧的彈性勢能，故在高中階段計算彈性勢能時，均要求是理想彈簧.

（3）彈簧彈性勢能的特點.

從彈簧彈性勢能的定義及其計算公式，可以看出，彈簧的彈性勢能具有如下特點.

① 彈性勢能是歸屬于彈簧系統(tǒng)自身的.誰擁有彈性勢能？是發(fā)生彈性形變的系統(tǒng)（即彈性體）自身；彈性勢能儲存在彈性形變的系統(tǒng)內部.對于不會發(fā)生形變的物體（如質點或剛體）就沒有彈性勢能.因此，彈簧的彈性勢能應是這根彈簧自身所具有的.

②彈性勢能的相對性，彈性勢能變化的絕對性.從（3）式可知，彈簧在某一狀態(tài)下的彈性勢能，由于常數(shù)C的取值不同，具有不確定性；只有當人為規(guī)定了彈簧在某一特定狀態(tài)（稱參考態(tài)）下的彈性勢能（通常規(guī)定為0），即C才有確定的數(shù)值后，其它狀態(tài)的彈性勢能才能隨之確定.因此，彈簧的彈性勢能是相對于參考態(tài)而言的，它將隨參考態(tài)選取的不同而不同，這就是彈性勢能的相對性.通常默認取彈簧的自然狀態(tài)為參考態(tài)，即x＝0時，規(guī)定Ep＝0，由（3）式得C＝0.在這種情況下，彈簧的彈性勢能具有最簡單的表達形式

④ 彈簧的彈性勢能是廣延量，具有累加性.彈簧在某一狀態(tài)的彈性勢能等于在該狀態(tài)下其中各個部分彈性勢能的累加，即總的彈性勢能等于各部分彈性勢能之和，茲證明如下.

圖10

如圖10所示，勁度系數(shù)為k的理想彈簧在某狀態(tài)下的形變量為x，設彈簧的原長為l0，則從l－l＋dl的任一小段彈簧的形變量

因此該一小段彈簧的彈性勢能為

將這根彈簧上每一小段的彈性勢能累加，積分得

可見，結果正好是整根彈簧的彈性勢能.因此彈性勢能具有累加性.

綜上所述，在高中階段彈簧知識的教學中，為了取得良好的教學效果，使學生深刻理解彈簧的相關知識并能正確解決彈簧問題，關鍵在于通過透徹的分析闡述，使學生明白：高中階段所研究的彈簧均是理想彈簧（彈簧的質量跟和它接觸的物體的質量相比可忽略的彈簧）.對于理想化的彈簧，其核心知識包括以下幾點.

（1）彈簧的彈力意指彈簧中任意相鄰的兩部分之間的相互作用力，理想彈簧的彈力具有等值性（其上各點彈力的大小相等）.

（2）理想彈簧彈力的大小遵守胡克定律，胡克定律求得的是彈簧上任一點的彈力大小，該大小指的是彈簧中任一點兩側相互作用的一對彈力中任意一個力的大小，且該定律與彈簧的運動狀態(tài)無關.

（3）理想彈簧彈力做的功意指彈簧系統(tǒng)內力對系統(tǒng)中各個質點做的總功，該功又等于彈簧對外界所做的功；彈簧彈力做的功具有跟路徑無關的保守性及參考系的選取無關的絕對性.彈性勢能是彈簧自身所具有的，它可以通過彈簧彈力做功與外界的其他能量發(fā)生轉化，且彈簧彈力做的功等于彈簧彈性勢能增量的負值；彈性勢能具有相對性（與參考態(tài)的選取有關），系統(tǒng)性（歸屬于彈簧系統(tǒng)自身），絕對性（與參考系的選取無關）以及累加性（總勢能等于各部分勢能之和）的特點.