趙順利，尹遜和，魏學業(yè)，張紅

（1.北京交通大學電子信息工程學院，北京100044；2.北京市市政專業(yè)設(shè)計院股份責任公司，北京100037）

類最小二乘調(diào)度與控制的耦合設(shè)計

趙順利1，尹遜和1，魏學業(yè)1，張紅2

（1.北京交通大學電子信息工程學院，北京100044；2.北京市市政專業(yè)設(shè)計院股份責任公司，北京100037）

首先，提出一種將優(yōu)先級調(diào)度與通信序列相結(jié)合的類最小二乘調(diào)度（LSLS）算法。在每個采樣周期內(nèi)，傳感器的測量值傳送給LSLS調(diào)度器，LSLS調(diào)度器將由調(diào)度序列確定的測量值與當前時刻調(diào)度器內(nèi)部的理想動態(tài)的狀態(tài)值進行比較，并計算其方差，方差比較大的狀態(tài)將獲得接入網(wǎng)絡(luò)的權(quán)限。其次，將具有媒質(zhì)接入約束和隨機短時延的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)建模為隨著調(diào)度信號進行切換的切換系統(tǒng)。借助Lyapunov穩(wěn)定性理論和線性矩陣不等式方法（LMI）進行了穩(wěn)定性分析以及控制與調(diào)度的耦合設(shè)計。最后，對LSLS與控制的耦合設(shè)計方法進行了仿真驗證，并與已有的最大誤差優(yōu)先-嘗試一次丟棄（MEF-TOD）調(diào)度與控制的耦合設(shè)計方法進行了比較。結(jié)果表明，LSLS與控制的耦合設(shè)計方法在控制性能上優(yōu)于MEF-TOD調(diào)度與控制的耦合設(shè)計方法。

網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)；類最小二乘調(diào)度；隨機短時延；Lyapunov穩(wěn)定性；線性矩陣不等式

0 引 言

網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)（networked control system，NCS）是一種基于網(wǎng)絡(luò)的分布式系統(tǒng)。在該類控制系統(tǒng)中，被控對象、傳感器、控制器和執(zhí)行器通過某種網(wǎng)絡(luò)彼此連結(jié)在一起［1］。與傳統(tǒng)的點到點控制系統(tǒng)相比，網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)具有成本低、布線方便、可靠性高、節(jié)點間信息共享方便等優(yōu)點，受到了科研工作者和企業(yè)的廣泛關(guān)注；然而，網(wǎng)絡(luò)的引入給控制系統(tǒng)帶來優(yōu)勢的同時，也給系統(tǒng)的分析和設(shè)計帶來了新的挑戰(zhàn)。在網(wǎng)絡(luò)中傳輸信號有可能會產(chǎn)生網(wǎng)絡(luò)誘導時延，比如傳輸時延、排隊等待時延等；同時，由于所使用的網(wǎng)絡(luò)并不是理想的通信網(wǎng)絡(luò)，它易受外界干擾的影響，從而出現(xiàn)了信號的衰減、數(shù)據(jù)的丟失和數(shù)據(jù)亂序等情況［2-3］。

在實際的NCS設(shè)計中，網(wǎng)絡(luò)的帶寬往往都是有限的。這些有限的帶寬對于節(jié)點和信息交換比較少的系統(tǒng)也許不會造成太大的影響，但當節(jié)點的數(shù)目達到成千上萬甚至更多的時候，即使每個節(jié)點傳輸少量的信息，整個系統(tǒng)的數(shù)據(jù)量也是非常大的。這時，有限的帶寬就成了提高系統(tǒng)性能的一大瓶頸。此時，整個NCS的性能不僅僅依賴于所設(shè)計的控制算法，同時也依賴于帶寬的合理利用。所以，在NCS中，如何在合理的安排節(jié)點接入網(wǎng)絡(luò)的同時還能保證系統(tǒng)的性能，已經(jīng)成了一大研究熱點［4-7］。解決網(wǎng)絡(luò)的媒質(zhì)接入約束（調(diào)度）問題（即，在同一個時刻只允許有限的節(jié)點接入網(wǎng)絡(luò)的情況下怎樣更好地保持NCS的控制性能）就是在此背景下提出來的，這是本文的研究重點。

媒質(zhì)接入約束的處理方法起初是借鑒CPU任務(wù)調(diào)度的思想［8］。CPU在進行任務(wù)分配的時候，具有高優(yōu)先級的任務(wù)可以搶占更多的CPU計算資源。當更高優(yōu)先級的任務(wù)請求CPU資源時，正在運行的任務(wù)將被掛起，待更高優(yōu)先級的任務(wù)完成以后，再根據(jù)任務(wù)棧中的任務(wù)優(yōu)先級重新分配CPU的計算資源。這種基于優(yōu)先級的調(diào)度方法有可能使得較低優(yōu)先級的任務(wù)一直得不到調(diào)度。如果將此方法不加修改的移植到NCS的調(diào)度上來，則會造成嚴重的后果。不同于CPU的任務(wù)調(diào)度，NCS調(diào)度服務(wù)的對象是控制系統(tǒng)中的信息，并且網(wǎng)絡(luò)的傳輸是非搶占的，即當一個網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)包在傳輸?shù)臅r候，其他的網(wǎng)絡(luò)節(jié)點是無法接入此網(wǎng)絡(luò)的，只有待此數(shù)據(jù)傳輸完成以后，其它的網(wǎng)絡(luò)節(jié)點才有機會接入此網(wǎng)絡(luò)。如果還是像CPU調(diào)度那樣采用固定的優(yōu)先級，這就會有可能導致低優(yōu)先級的控制子系統(tǒng)得到的信息很少，甚至長時間得不到信息；從而使這個子系統(tǒng)的控制性能降低，甚至導致不穩(wěn)定。因此，雖然在一定程度上可以借鑒CPU調(diào)度的思想，如果要切實地處理NCS的調(diào)度問題，需要提出專門針對NCS的調(diào)度算法。這是擺在廣大科研工作者及自動化工程師面前的問題，幸運的是，在這個問題上已經(jīng)得到了一些不錯的研究成果。

本文將控制與調(diào)度共同設(shè)計的方法分為兩類：控制與調(diào)度的聯(lián)合設(shè)計和控制與調(diào)度的耦合設(shè)計［9］。在控制與調(diào)度的聯(lián)合設(shè)計中，控制器和調(diào)度器是獨立設(shè)計的，相互之間沒有耦合關(guān)系，這在人們對控制與調(diào)度的認識還處于初步階段時多采用此方法，如文獻［10-11，26］。在控制與調(diào)度的聯(lián)合設(shè)計中，控制系統(tǒng)中雖然引入了調(diào)度策略，系統(tǒng)的性能在一定程度上也得到了改善，但通常認為所采用的調(diào)度策略能對控制算法的執(zhí)行時間、任務(wù)響應(yīng)時間等進行預(yù)測。由于網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中存在著不確定性因素，如隨機時延、丟包等，致使調(diào)度算法很難對任務(wù)的執(zhí)行時間做出準確的估計。因此，在設(shè)計控制器的過程中需要兼顧調(diào)度策略，控制與調(diào)度的耦合設(shè)計就是在此基礎(chǔ)上發(fā)展起來的?？刂婆c調(diào)度的耦合設(shè)計是一種同時考慮控制與調(diào)度之間的相互影響并最大限度地發(fā)掘各自的優(yōu)勢而進行設(shè)計的策略，如文獻［12-22］。本文所提出的方法屬于后者，在這類設(shè)計中，由于調(diào)度策略的設(shè)計考慮了控制系統(tǒng)的性能，控制器的設(shè)計又結(jié)合了調(diào)度策略，因此更能體現(xiàn)控制與調(diào)度之間的相關(guān)性，這樣設(shè)計出來的NCS運行起來比前者更有效率，從而對整個NCS性能的提高有所裨益。

在NCS中首先得到應(yīng)用的是非搶先的速率單調(diào)（ratemonotonic，RM）調(diào)度算法［10］，此算法是把實時任務(wù)周期與在穩(wěn)定前提下最差情況的傳輸周期相對應(yīng)，使得實時任務(wù)的計算時間與信息傳輸時間相對應(yīng)。后來，Branicky M S等人將RM調(diào)度算法應(yīng)用到多個控制子系統(tǒng)的調(diào)度上，并研究了RM調(diào)度與NCS穩(wěn)定性約束下的最優(yōu)調(diào)度問題［23］。在文獻［11］中，作者將預(yù)測控制和RM調(diào)度進行了聯(lián)合設(shè)計，并提出了一種擴展的RM調(diào)度算法，此調(diào)度算法的適用范圍更加廣泛。近來，Woo K S和Yang JM還將RM調(diào)度算法應(yīng)用于具有任意周期的多任務(wù)實時系統(tǒng)的檢測點部署問題［24］。為了描述系統(tǒng)的輸入和輸出之間的資源分配情況，Brockett R于1995年提出了通信序列（communication sequence）的概念。后來，很多研究者便基于此概念進行了控制與調(diào)度算法的耦合設(shè)計。Zhang L和Hristu-Varsakelis D研究了一種將控制和通信序列相結(jié)合的耦合設(shè)計方法，在此方法中，通信序列是周期性的并且沒有考慮時延帶來的影響［12-13］。在進一步的工作中，他們將時延的影響考慮進來并進行了控制與調(diào)度的耦合設(shè)計，只不過這里的時延是常時延［14］。Henrik R和Martin S研究了帶有有限帶寬的采樣數(shù)據(jù)系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題，通過優(yōu)化線性二次（linear quadratic，LQ）性能指標得到最優(yōu)的離線周期調(diào)度序列，并借助標準的LQ理論設(shè)計了與調(diào)度序列對應(yīng)的控制器［15］。由于周期的調(diào)度序列會給系統(tǒng)的分析和設(shè)計帶來保守性，Guo G等人基于切換系統(tǒng)理論對存在隨機時延、媒質(zhì)接入約束、丟包和量化的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)進行了分析和設(shè)計，提出了更加一般化的動態(tài)通信序列設(shè)計方法，減小了系統(tǒng)分析和設(shè)計的保守性［16］。在文獻［16］中，作者僅考慮網(wǎng)絡(luò)存在于前向通道（即控制器到執(zhí)行器）的情況，而在實際的NCS設(shè)計中，網(wǎng)絡(luò)不僅存在于前向通道，也存在于反向通道（即傳感器到控制器）中；此外，由于信道帶寬的限制，一個數(shù)據(jù)包的大小超過了網(wǎng)絡(luò)分配給此系統(tǒng)的帶寬時，單個數(shù)據(jù)包就需要拆分成多個數(shù)據(jù)包進行傳輸。文獻［17］就考慮了網(wǎng)絡(luò)既存在于前向通道又存在于反向通道且數(shù)據(jù)包進行多包傳輸?shù)那闆r；同時作者注意到若將［16］的方法直接推廣到多包傳輸?shù)那樾螘a(chǎn)生很多松弛變量，這就加大了系統(tǒng)設(shè)計的保守性。文獻［17］采用一種模型變換技術(shù)和改進的Lyapunov-Krasovskii泛函對存在時變時延、丟包、媒質(zhì)接入約束和多包傳輸?shù)腘CS進行了動態(tài)輸出反饋和調(diào)度的耦合設(shè)計，所得到的結(jié)果具有更小的保守性。為了克服周期調(diào)度序列帶來的保守性，文獻［18］提出了一種靜態(tài)調(diào)度與動態(tài)調(diào)度相結(jié)合的設(shè)計方法。在前向通道和反向通道皆存在網(wǎng)絡(luò)且網(wǎng)絡(luò)中存在時變時延的情況下，分別設(shè)計使系統(tǒng)能控、能觀的調(diào)度序列集和使系統(tǒng)可鎮(zhèn)定的輸出反饋控制器，然后通過最小化給定的性能指標在線地選取控制器與調(diào)度序列的組合，此方法提高了整個系統(tǒng)的性能和設(shè)計的靈活性。文獻［19］將研究擴展到了傳感器和執(zhí)行器采用Markov形式的隨機事件驅(qū)動方式的具有時延、網(wǎng)絡(luò)同時存在于前向通道和反饋通道的NCS中，作者采用了一個新的Lyapunov-Krasovskii泛函對被控對象中含有不確定性的NCS進行了穩(wěn)定性分析和控制器設(shè)計。文獻［20］將通信序列和保持設(shè)備（hold device）應(yīng)用于線性時不變的被控系統(tǒng)中，將其建模為具有更高階的omega-period系統(tǒng)，并進行了穩(wěn)定性分析。文獻［21］研究了NCS中的魯棒離線調(diào)度問題，利用快速隨機算法（fast stochastic algorithms）找到使其L-2增益范數(shù)最小的周期通信序列。在文獻［22］中，作者研究了靜態(tài)通信序列下隨機線性系統(tǒng)的可觀測性問題，并分析了使系統(tǒng)保持可觀測的通信序列的存在性。

在現(xiàn)有的網(wǎng)絡(luò)中，應(yīng)用層以下的調(diào)度協(xié)議都是固定的，用戶沒有權(quán)限對其進行修改。因此，一些學者就考慮在應(yīng)用層上進行調(diào)度算法的設(shè)計，基于優(yōu)先級的調(diào)度便是其中的一類。在文獻［25］中，作者提出了大誤差優(yōu)先（large error first，LEF）的調(diào)度策略，在每一個任務(wù)周期內(nèi)，調(diào)度器都將系統(tǒng)的輸出與期望值進行比較，誤差大的系統(tǒng)優(yōu)先獲得接入網(wǎng)絡(luò)的權(quán)限。Walsh G C和Hong Y將所提出的最大誤差優(yōu)先（maximum error first，MEF）調(diào)度算法與嘗試一次丟棄（try once discard，TOD）協(xié)議整合在一起，提出了最大誤差優(yōu)先-嘗試一次丟棄MEF-TOD調(diào)度算法［26］。此算法把系統(tǒng)的當前狀態(tài)與上一時刻的狀態(tài)進行比較，具有最大偏差的狀態(tài)獲得優(yōu)先調(diào)度，而那些沒有獲得調(diào)度的狀態(tài)將被當前的狀態(tài)所代替，即零階保持器（zero-order holder，ZOH）中保存的永遠都是系統(tǒng)最新的狀態(tài)值。文獻［27］將基于優(yōu)先級的調(diào)度與通信序列的方法相結(jié)合，提出了基于MEF-TOD和通信序列的控制與調(diào)度耦合設(shè)計算法。

本文在MEF-TOD及其通信序列概念的基礎(chǔ)上提出了LSLS算法。在每一個采樣周期內(nèi)，LSLS調(diào)度器都會將調(diào)度序列所確定的系統(tǒng)的當前狀態(tài)與理想動態(tài)的狀態(tài)進行比較，具有較大方差的狀態(tài)優(yōu)先獲得接入網(wǎng)絡(luò)的權(quán)限。本文的主要貢獻如下：將具有隨機短時延和媒質(zhì)接入約束的NCS建模為隨著調(diào)度信號進行切換的切換系統(tǒng)，詳細討論了調(diào)度器的結(jié)構(gòu)、工作原理和實現(xiàn)問題；然后利用所提出的LSLS算法并結(jié)合Lyapunov穩(wěn)定性理論和LMI方法進行了控制與調(diào)度的耦合設(shè)計，此方法的好處在于借助內(nèi)點法可以找到保證系統(tǒng)穩(wěn)定的全局最優(yōu)解。最后，將本文所提出的耦合設(shè)計算法與文獻［27］中的算法進行了仿真對比，并對仿真結(jié)果進行了分析。

1 具有隨機短時延和媒質(zhì)接入約束的系統(tǒng)模型

假定NCS中的被控對象可以用式（1）的線性時不變狀態(tài)方程描述為

其中：x（t）∈Rn，u（t）∈Rm分別表示系統(tǒng)的狀態(tài)和控制輸入。A，B為具有適當維數(shù)的定常矩陣。

圖1 具有媒質(zhì)接入約束的NCS示意Fig.1 Diagram of NCSw ith medium access constraint

一般情況下，具有媒質(zhì)接入約束的NCS的結(jié)構(gòu)如圖1所示。其中：x（k）=（x1（k），x2（k），…，xn（k））∈Rn表示 k時刻系統(tǒng)的狀態(tài)；（k）=（（k），…，（k））∈Rn表示k時刻經(jīng)網(wǎng)絡(luò)傳輸后系統(tǒng)的狀態(tài)，此狀態(tài)將會作為控制器的輸入值；u（k）=（u1（k），u2（k），…，um（k））∈Rm表示k時刻控制器的輸出；（k）=（（k），（k），…，（k））∈Rm表示k時刻執(zhí)行器的輸入值；δ（k）=（δ1（k），δ2（k），…，δn（k））∈Rn表示k時刻傳感器輸出端的調(diào)度向量，其中δi（k）∈{0，1}，（i=1，2…n）。（δi（k）=1表示在k時刻調(diào)度器允許第i個傳感器接入網(wǎng)絡(luò)，δi（k）=0表示在k時刻調(diào)度器不允許第i個傳感器接入網(wǎng)絡(luò)）。類似的，σ（k）=（σ1（k），σ2（k），…，σm（k））∈Rm表示k時刻控制器輸出端的調(diào)度向量，其中σj（k）∈{0，1}，（j=1，2，…，m）（σj（k）=1表示在k時刻調(diào)度器允許第j個控制信號可以通過網(wǎng)絡(luò)傳輸，σj（k）=0表示在k時刻調(diào)度器不允許第j個控制信號通過網(wǎng)絡(luò)傳輸）。表示k時刻傳感器到控制器的時延，表示k時刻控制器到執(zhí)行器的時延。

為了便于描述，作如下假設(shè)：

1）假定網(wǎng)絡(luò)只存在于傳感器與控制器之間，控制器與被控對象是集成在一起的。這種假設(shè)是合理的，例如，車載控制系統(tǒng)［28］，量化器設(shè)計［29］，無線NCS［30］等。

2）傳感器節(jié)點采用時間驅(qū)動方式，采樣周期為T，控制器和執(zhí)行器采用事件驅(qū)動方式。

3）網(wǎng)絡(luò)誘導時延τk=是時變不確定的且小于一個采樣周期，即：τk∈（0，T）。此假設(shè)是成立的，如在多機器人系統(tǒng)中，由于機器人之間傳輸?shù)男畔⒘可偾揖嚯x較短，其時延小于一個采樣周期［31-33］。

4）由于受到媒質(zhì)接入約束的限制，在每一個采樣周期內(nèi)至多有d（0＜d≤n）個狀態(tài)量可以接入網(wǎng)絡(luò)。

5）對于在k時刻沒有獲得接入權(quán)限的狀態(tài)量，控制器將會使用存儲于ZOH中的上一時刻的狀態(tài)量。

在完成了上述假設(shè)以后，圖1所示的具有媒質(zhì)接入約束的NCS可以簡化為圖2所示的系統(tǒng)。

圖2 具有媒質(zhì)接入約束的NCS的簡化示意Fig.2 Simplified diagram of NCSw ith medium access constraint

此時，系統(tǒng)的離散化狀態(tài)方程可以寫為

到目前為止，具有隨機短時延的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)（2）可以等效為具有不確定參數(shù)的離散時間模型：

為了更加精確地描述具有媒質(zhì)接入約束的NCS，需要將媒質(zhì)接入的實際情形在系統(tǒng)模型中予以體現(xiàn)；也就是說，要將調(diào)度矢量δ（k）融合到系統(tǒng)模型（3）中。在以狀態(tài)方程描述的系統(tǒng)模型中，系統(tǒng)的增益往往以矩陣的形式體現(xiàn)；為此，令Λ（k）= diag（δ（k）），其中，diag（·）是一個用于構(gòu)造對角矩陣的函數(shù)，它把自變量的值依次排列在對角線上，而非對角線上的元素則全部為零。那么，k時刻傳感器的測量值（系統(tǒng)狀態(tài)）在經(jīng)過調(diào)度矢量δ（k）調(diào)度后，控制器端的輸入值可以表示為k）=Λ（k）x（k）；沒有獲得調(diào)度的狀態(tài)值則使用ZOH中的值（上一時刻的值k-1））。因此，控制器的輸入可以表示為

調(diào)度矢量δ（k）∈Rn表示在第k個采樣周期內(nèi)哪些傳感器節(jié)點獲得接入網(wǎng)絡(luò)的權(quán)限。由于存在媒質(zhì)接入約束，在每一個采樣周期內(nèi)，只允許d個狀態(tài)量可以接入網(wǎng)絡(luò)；因此，δ（k）共有N==n!/［d!（n-d）!］種組合方式。很明顯，δ（k）是在具有N個元素的集合Ω中取值的向量。為了表示方便，定義一一映射：X：δ（k）∈Ω→ρ（k）∈Γ={1，2，…N}。在映射X中δ（k）與ρ（k）是一一對應(yīng)的；為了方便起見并且不引起混淆的情況下，后文中用ρ代替ρ（k）。每一個ρ都反應(yīng)了系統(tǒng)的一種形態(tài)，把這種形態(tài)稱之為模態(tài)。由于Λ（k）是由δ（k）轉(zhuǎn)化而來，因此δ（k）也將與Λ（k）一一對應(yīng)。又由于δ（k）與ρ之間的一一映射關(guān)系，所以Λ（k）與ρ一一對應(yīng)，于是可以將Λ（k）記為Λρ（k）。

至此，綜合式（3）、式（4），具有隨機短時延與媒質(zhì)接入約束的開環(huán)NCS可以用模型（5）描述：

再考慮如式（6）的離散狀態(tài)反饋控制器：

綜合式（5）、式（6），具有隨機短時延與媒質(zhì)接入約束的閉環(huán)NCS可以用廣義離散模型（7）加以描述：

選取增廣向量z（k）=［xT（k）k-1）］T，式（7）可以用增廣離散時間模型（8）表示：

其中，

由式（9）可知，具有隨機短時延與媒質(zhì)接入約束的閉環(huán)NCS可以建模為以ρ為切換信號的切換系統(tǒng)。此系統(tǒng)的穩(wěn)定性不僅與控制增益矩陣Kρ有關(guān)，還取決于切換信號ρ，而切換信號ρ又由調(diào)度矢量δ（k）決定。因此，需要進行控制與調(diào)度的耦合設(shè)計以確保系統(tǒng)（9）的穩(wěn)定性。

2 類最小二乘調(diào)度

第1部分中已經(jīng)假定在每個采樣周期內(nèi)共有d個狀態(tài)量可以接入網(wǎng)絡(luò)，那么如何確定系統(tǒng)的n個狀態(tài)量中哪些狀態(tài)（d個）可以接入網(wǎng)絡(luò)呢？這種確定狀態(tài)量接入網(wǎng)絡(luò)的準則就是本節(jié)介紹的調(diào)度策略。

2.1 調(diào)度器結(jié)構(gòu)及工作原理

所提出的LSLS調(diào)度器的基本思想是：將不受媒質(zhì)接入約束的系統(tǒng)動態(tài)稱之為理想動態(tài)，在此動態(tài)下，用某種控制器設(shè)計方法計算出控制增益矩陣；在每一個采樣周期內(nèi)，理想動態(tài)會根據(jù)所計算出的控制命令進行一步更新；傳感器端采集的狀態(tài)值先傳給調(diào)度器，調(diào)度器會把每一個δ（k）作用下的狀態(tài)與理想模型的狀態(tài)進行方差計算，選擇方差較大的狀態(tài)調(diào)度矢量δopt（k）作為此周期內(nèi)的狀態(tài)調(diào)度命令。帶有LSLS的NCS結(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖3 LSLS結(jié)構(gòu)Fig.3 Structure of LSLS

下面對LSLS調(diào)度器的工作原理進行進一步闡釋：具有隨機短時延而沒有媒質(zhì)接入約束的NCS模型如式（2）所示，根據(jù)本節(jié)第一段的描述，式（2）就是所定義的理想動態(tài)。假定此模型下的控制增益矩陣為Kopt∈Rn×m；在第k個采樣周期內(nèi)，理想動態(tài)（2）的狀態(tài)量為xopt（k）∈Rn；使用式（6）形式的離散狀態(tài)控制器，那么，此周期內(nèi)的控制命令為uopt（k）=Kopt·xopt（k）∈Rm，uopt（k）將作用于式（2）的系統(tǒng)方程以得到第k+1時刻的系統(tǒng)狀態(tài)量xopt（k+1）。在得到了理想動態(tài)的狀態(tài)和控制命令以后，接下來就要開始確定調(diào)度策略了。

在第k個采樣周期內(nèi)，假定被控對象的實際狀態(tài)量為xr（k）∈Rn，在不同的狀態(tài)調(diào)度矢量δ（k）下的狀態(tài)可以表示為Λρxr（k）∈Θ，把Θ稱之為調(diào)度狀態(tài)候選集，而把它的元素稱之為調(diào)度狀態(tài)。LSLS的目的就是在狀態(tài)候選集合Θ中選取使得系統(tǒng)性能最優(yōu)的那個，即確定ρ的值。LSLS調(diào)度器S可以用下式描述：

其中，arg（·）表示索引函數(shù)。從式（10）可知，ρopt的值即是使得此方差最大的ρ。在確定了調(diào)度向量以后，最優(yōu)狀態(tài)Λρoptxr（k）將通過網(wǎng)絡(luò)傳送給控制器。至此，調(diào)度器S完成了在第k個采樣周期中的工作。

從調(diào)度器的設(shè)計過程來看，調(diào)度算法的設(shè)計與控制系統(tǒng)的性能是息息相關(guān)的。LSLS調(diào)度算法用公式（10）描述，由公式（10）可知調(diào)度策略取決于實際被調(diào)度狀態(tài)與理想狀態(tài)之間的方差，方差最大者獲得接入網(wǎng)絡(luò)的權(quán)限。在控制系統(tǒng)中，若實際系統(tǒng)狀態(tài)與理想狀態(tài)的方差越大，則越需要進行控制；否則，這些狀態(tài)會由于沒有得到及時控制而使系統(tǒng)性能變差，甚至導致系統(tǒng)不穩(wěn)定。

2.2 調(diào)度器實現(xiàn)

在實際應(yīng)用中，通常需要考慮兩個比較重要的問題：調(diào)度器的拓撲與觸發(fā)方式。所提出的LSLS調(diào)度器被放置在傳感器與網(wǎng)絡(luò)之間，采用一個中心調(diào)度器調(diào)度整個網(wǎng)絡(luò)中的傳感器節(jié)點的信息。所有傳感器節(jié)點采集的數(shù)據(jù)都要先發(fā)送給調(diào)度器，然后由調(diào)度器決定哪些傳感器可以接入網(wǎng)絡(luò)。那些沒有被傳輸?shù)膫鞲衅鞯臏y量值被保存于調(diào)度器的ZOH（寄存器）中，如果下一個時刻此傳感器還是沒有獲得接入網(wǎng)絡(luò)的權(quán)限，ZOH中的值將會被離這個時刻最近的前面的測量值所代替；這樣，ZOH中保存的永遠都是最新的測量值。這么做是很有意義的，因為最新的系統(tǒng)測量值才最能體現(xiàn)系統(tǒng)當前的運行狀況。

通常調(diào)度器的觸發(fā)方式有時間觸發(fā)和事件觸發(fā)兩種方式。時間觸發(fā)方式設(shè)計起來較為簡單，但資源利用率不高；事件觸發(fā)方式設(shè)計起來較為復(fù)雜，對硬件的要求較高，當然效率也會更高一些。為了簡單起見，采用的調(diào)度器采用時間觸發(fā)的方式。既然是時間觸發(fā)，那么必然要考慮觸發(fā)時間的選擇問題，觸發(fā)時間的選擇應(yīng)該既不會浪費太多的內(nèi)存資源，又要考慮整個系統(tǒng)的效率。文中考慮的傳感器節(jié)點皆采用時間驅(qū)動方式且是同步采樣的，因此本調(diào)度器的觸發(fā)周期選擇為T；這樣，調(diào)度器就可以與傳感器節(jié)點同步起來。此外，調(diào)度器也可以選擇為事件觸發(fā)方式，待所有的傳感器測量值到達調(diào)度器以后，調(diào)度器便開始工作。顯然后一種方式更有效率，不像時間觸發(fā)方式那樣需要等待周期時鐘的觸發(fā)。

3 控制與調(diào)度的耦合設(shè)計

3.1 穩(wěn)定性分析

為了進行穩(wěn)定性分析，首先給出如下兩個引理。

引理1（Schur補引理）［35］對于給定的對稱矩陣X，并且可以寫為分塊矩陣形式為

其中，A和C是對稱非正定的方陣，那么以下的3個條件是等價的：①X是負半定的；②C≤0，ABCX-1BT≤0；③A≤0，C-BTA-1B≤0。

引理2［36］設(shè)W、M、N和F（k）為具有適當維數(shù)的實矩陣，其中F（k）滿足FT（k）F（k）≤I，W為對稱陣。則

當且僅當存在常數(shù)ε＞0，使得接下來對具有隨機時延和媒質(zhì)接入約束的NCS進行穩(wěn)定性分析。

定理1對于系統(tǒng)（8），在狀態(tài)調(diào)度矢量δ（k）的作用下，若存在對稱正定矩陣P使得不等式（11）

成立，則閉環(huán)NCS是漸近穩(wěn)定的。

證明選取離散Lyapunov函數(shù)V（z（k））= zT（k）Pz（k），那么

由Lyapunov穩(wěn)定性理論可知，若使系統(tǒng)（8）漸近穩(wěn)定，需滿足ΔV（z（k））＜0，也即-P＜0。由引理1條件③，-P＜0與（11）等價。證畢。

3.2 含有調(diào)度序列的控制器設(shè)計

由于式（11）中的Φρ含有不確定項F（τk'），因此定理1的結(jié)論很難直接應(yīng)用于控制器的設(shè)計，需要把此不確定項做進一步的處理（見定理2）。

定理2對于系統(tǒng)（8），在狀態(tài)調(diào)度矢量δ（k）的作用下，若存在對稱正定矩陣X，狀態(tài)反饋增益矩陣Kρ，以及一組標量ερ＞0，ρ∈Γ，使得矩陣不等式（12）：

成立，則閉環(huán)NCS（8）是漸近穩(wěn)定的，其中“*”表示對稱矩陣塊。

證明將式（9）代入式式（11），經(jīng)變換得式（13）：

由引理2，式（13）可轉(zhuǎn)換為式（14）

由引理1條件③，對式（14）作兩次變換后可得式（15）：

令X=P-1，將上式分別左乘、右乘diag（I X I），則得式（12）。證畢。

由于式（12）是關(guān)于Kρ與X的雙線性矩陣不等式，現(xiàn)有的方法無法對其直接進行求解。令Yρ= KρΔρX，式（12）就變成了線性矩陣不等式。在將式（12）轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式以后，就可以采用內(nèi)點法求得其全局最優(yōu)解。由于目前Matlab中的LMI工具箱多采用內(nèi)點法求取線性矩陣不等式，因此借助此工具箱可以很方便地求得可行解Yρ與X。因為Yρ=KρΔρX，所以Kρ=YρX-1（Δρ）+，其中（Δρ）+表示廣義逆，可以用Matlab函數(shù)pinv（）進行求解。這樣，便得到了控制增益矩陣Kρ。

控制增益Kρ的值與切換信號ρ的值是一一對應(yīng)的，而切換信號ρ又由調(diào)度矢量δ（k）決定。因此，Kρ與δ（k）是一一對應(yīng)的。也就是說，Kρ的計算離不開δ（k）。由于ρ∈Γ={1，2，…，N}，所以，可以得到N個Kρ。在每個采樣周期內(nèi)，ρ的值由所提出的調(diào)度算法決定，即式（10）。又由于Kρ的值與切換信號ρ的值是一一對應(yīng)的，所以，此采樣周期內(nèi)所要使用的控制增益Kρ也被確定了下來。至此，完成了控制與LSLS調(diào)度的耦合設(shè)計。

需要說明的是，在定理2的式（12）中，P矩陣是固定的，這是由所采用的公共Lyapunov函數(shù)的方法決定的，但P矩陣的求取則與調(diào)度ρ有關(guān)。具體來講，P矩陣的求取依賴于增廣矩陣Δρ，Δρ則依賴于矩陣Λρ，并且Λρ由調(diào)度矢量δ（k）經(jīng)對角化所得，而δ（k）則與調(diào)度ρ是一一對應(yīng)的，因而矩陣P就與調(diào)度ρ建立了聯(lián)系。在進行控制與調(diào)度的耦合設(shè)計中，矩陣P起到了橋梁的作用，一旦調(diào)度ρ確定，由公共Lyapunov函數(shù)法可知（文中選擇V（z（k））= zT（k）Pz（k）為Lyapunov函數(shù)），公共Lyapunov函數(shù)的矩陣P也確定了。例如，在有5種切換模態(tài)的系統(tǒng)中，即ρ={1，2，3，4，5}。對于每一個模態(tài)，都可以建立如式（12）形式的LMI，一共可以建立5個LMI，通過聯(lián)合求解這5個LMI，得到矩陣P。最終目的是建立控制器與調(diào)度策略之間的關(guān)系，在求得公共Lyapunov函數(shù)的矩陣P以后，通過公式Kρ= YρX-1（Δρ）+便可以得到控制器的增益Kρ?？刂破髟鲆鍷ρ的計算與增廣矩陣Δρ有關(guān)，而Δρ與調(diào)度ρ一一對應(yīng)，因而控制器增益Kρ與調(diào)度ρ一一對應(yīng)。例如，在有5種切換模態(tài)的系統(tǒng)中，ρ=1對應(yīng)K1、ρ =2對應(yīng)K2…ρ=5對應(yīng)K5，而調(diào)度ρ的選取則由具體的調(diào)度策略決定，文中調(diào)度ρ是由LSLS確定的。所以，控制器增益Kρ便與調(diào)度序列建立了一一對應(yīng)關(guān)系?？傊刂破鞯脑O(shè)計離不開公共Lyapunov函數(shù)的矩陣P，它架起了控制與調(diào)度耦合設(shè)計的橋梁。

在2.1節(jié)中，LSLS調(diào)度器是在考慮了系統(tǒng)性能的基礎(chǔ)上進行設(shè)計的，而從3.2節(jié)控制器的設(shè)計過程可以看出，控制器的設(shè)計又依賴于所選擇的調(diào)度算法。因此，所設(shè)計的控制與調(diào)度是耦合在一起的。

4 仿真示例

為了從原理上驗證本文所提出的LSLS算法與控制的耦合設(shè)計的有效性，此部分僅選取一個簡單的二維系統(tǒng)的例子進行仿真驗證。假定NCS中被控對象的狀態(tài)方程為

設(shè)傳感器的采樣周期T=0.2 s，根據(jù)第1部分的假設(shè)條件3）可知，系統(tǒng)時延應(yīng)滿足τk∈［0，0.2］，且是時變不確定的。對系統(tǒng)（16）進行離散化，可得到形如式（3）的離散時間狀態(tài)方程，其中：

由于存在媒質(zhì)接入約束，在每個采樣周期內(nèi)只有部分傳感器可以接入網(wǎng)絡(luò)。假定在每個采樣周期內(nèi)只允許一個傳感器可以接入網(wǎng)絡(luò)，即第1部分假設(shè)4）中的d=1。因此，系統(tǒng)共有N=2種模態(tài)，進而得知δ（k）={［1 0］，［0 1］}，ρ={1，2}。在調(diào)度策略確定以后，根據(jù)系統(tǒng)增廣模型（8）和定理2，就可以得到對應(yīng)ρ=1和ρ=2的公共Lyapunov函數(shù)矩陣P為

利用Kρ=YρX-1（Δρ）+，可得每種模態(tài)下的控制增益為：當ρ=1時，K1=［-4.279 8 0.807 5］；當ρ=2時，K2=［-0.098 5 -1.658 7］。至此，控制器的增益與調(diào)度序列就建立了一一對應(yīng)關(guān)系。當調(diào)度序列選為ρ=1時，控制器切換到增益K1；當調(diào)度序列選為ρ=2時，控制器切換到增益K2，而如何選擇調(diào)度序列則由所提出的LSLS算法決定。由于LSLS算法需要理想動態(tài)（2）的狀態(tài)量xopt（k），因此必須得到Kopt。令δ（k）=［1 1］，根據(jù)定理2即可得到Kopt=［-1.437 6 -0.843 1］。假定初始狀態(tài)為x（0）=［-1 1］T，系統(tǒng)的隨機時延如圖4所示，狀態(tài)響應(yīng)如圖5所示。

圖4 系統(tǒng)隨機時延Fig.4 Random delay of NCS

圖5 系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)Fig.5 State response of NCS

從圖5可以看出，所提出的LSLS與控制的耦合設(shè)計算法在控制性能上超過了文獻［27］中的MEF -TOD調(diào)度與控制的耦合設(shè)計算法。在LSLS調(diào)度下，x1和x2大約需要15 s收斂到平衡點。而在MET-TOD調(diào)度下，x1和x2則大約需要38 s才收斂到平衡點。因此，不管是使用MEF-TOD調(diào)度與控制的耦合設(shè)計算法還是LSLS與控制的耦合設(shè)計算法都能使系統(tǒng)穩(wěn)定，但后者的控制性能在很大程度上優(yōu)于前者。

造成以上結(jié)果的最主要原因是兩種調(diào)度算法的設(shè)計思想不同。具體來講，MEF-TOD調(diào)度算法關(guān)注的是相鄰時刻狀態(tài)的變化，即當前時刻的狀態(tài)與上一時刻的狀態(tài)之間的偏差。最終，偏差較大的狀態(tài)獲得接入網(wǎng)絡(luò)的權(quán)限。而LSLS算法則關(guān)注的是當前時刻的狀態(tài)與最優(yōu)狀態(tài)之間的關(guān)系，即當前時刻的狀態(tài)與理想動態(tài)的狀態(tài)之間的偏差，方差最大者獲得接入網(wǎng)絡(luò)的權(quán)限。也就是說，LSLS調(diào)度算法在設(shè)計上已經(jīng)考慮了系統(tǒng)的最優(yōu)性能，并且每次獲得調(diào)度的狀態(tài)都是與理想動態(tài)的狀態(tài)的方差較大者。因此，其性能才會優(yōu)于MEF-TOD調(diào)度算法。

MET-TOD調(diào)度序列如圖6所示，LSLS調(diào)度序列如圖7所示，其中縱坐標的1，2表示采用的切換序列，即ρ=1和ρ=2。注意，這里的1和2不是指幅度值，而是指系統(tǒng)的模態(tài)。從以上兩個調(diào)度序列圖中可以看出，采用LSLS算法的調(diào)度器的切換頻率大于采用MET-TOD調(diào)度算法的調(diào)度器的切換頻率。因此，可以認為LSLS算法相較于METTOD調(diào)度算法會增加切換設(shè)備的負擔。

圖6 M ET-TOD調(diào)度序列Fig.6 Scheduling sequence of MEF-TOD

圖7 LSLS調(diào)度序列Fig.7 Scheduling sequence of LSLS

綜上所述，所提出的LSLS調(diào)度與控制的耦合設(shè)計在控制性能上優(yōu)于MEF-TOD調(diào)度與控制的耦合設(shè)計方法，但LSLS調(diào)度算法卻會消耗更多的系統(tǒng)資源。任何算法都不是十全十美的，評價一個算法的好壞要將其放到特定的環(huán)境中。有些算法在某些條件下會表現(xiàn)出比較好的性能，而在某些條件下，其性能則有可能會比較差。正如所提出的LSLS算法所表現(xiàn)的那樣，雖然其控制性能好于MEF-TOD調(diào)度算法，卻是以增加切換設(shè)備的負擔為代價的。

5 結(jié) 論

在具有網(wǎng)絡(luò)隨機誘導時延和媒質(zhì)接入約束的NCS中，為了合理地調(diào)度網(wǎng)絡(luò)節(jié)點以保證系統(tǒng)達到穩(wěn)定，本文提出了一種新的調(diào)度算法——LSLS算法，并且在此基礎(chǔ)上進行了LSLS與控制的耦合設(shè)計。文中不僅詳細地分析了LSLS調(diào)度器的結(jié)構(gòu)和工作原理，還討論了其實現(xiàn)問題。然后，將具有網(wǎng)絡(luò)隨機誘導時延和媒質(zhì)接入約束的NCS建模為按照調(diào)度信號進行切換的切換系統(tǒng)，利用Lyapunov穩(wěn)定性理論和LMI方法進行了穩(wěn)定性分析和控制器設(shè)計，得到了控制器的增益與調(diào)度序列的一一對應(yīng)關(guān)系；此方法的好處在于借助內(nèi)點法可以找到保證系統(tǒng)穩(wěn)定的全局最優(yōu)解。最后，將LSLS與控制的耦合設(shè)計算法與MEF-TOD調(diào)度與控制的耦合設(shè)計算法進行了仿真比較，并對仿真結(jié)果的差異及其原因進行了分析。結(jié)果表明，本文所提出的LSLS與控制的耦合設(shè)計方法的控制性能優(yōu)于MEF-TOD調(diào)度與控制的耦合設(shè)計方法。

值得一提的是，由于網(wǎng)絡(luò)誘導時延的隨機性，理想動態(tài)（2）中的時延很難與實際系統(tǒng)中的隨機時延相一致，這在一定的程度上增大了此算法的保守性。這將是我們的后續(xù)工作所要考慮的問題。

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（編輯：劉素菊）

Coup ling design of least-square-like scheduling and control

ZHAO Shun-li1，YIN Xun-he1，WEIXue-ye1，ZHANG Hong2

（1.School of Electronic and Information Engineering，Beijing Jiaotong University，Beijing 100044，China 2.Beijing Municipal Engineering Professional Design Institute Co.Ltd，Beijing 100037，China）

First，a new scheduling scheme called least-square-like scheduling（LSLS）scheme，which combines priority-based scheduling with communication sequence（or scheduling sequence），was proposed.Measurements from sensors were sent to LSLS scheduler in each sampling period，and then the scheduler was compared with themeasurements determined by the scheduling sequence of LSLSwith the states of the ideal dynamics which are determined by the same sequence.The variances between actual states and ideal stateswere hence calculated.In this context，the states corresponding to the scheduling sequence of bigger variance gained the access to network.Second，the networked control system withmedium access constraint and short random delay wasmodeled as a switched system that switches according to the scheduling sequence.The stability was analyzed and the coupling design of control and scheduling was completed by Lyapunov stability theory and linear matrix inequalities（LMI）method.Finally，the control performance of the proposed coupling design of LSLSand control is demonstrated by simulation.It is shown that the control performance of the proposed coupling design algorithm is better than the one of the coupling design ofmaximum error firstwith try once discard（MEF-TOD）scheduling and control.

networked control systems；least-square-like scheduling；short random delay；lyapunov stability；linearmatrix inequalities

10.15938/j.emc.2015.10.016

TP 272

A

1007-449X（2015）10-0107-10

2015-01-14

國家自然科學基金（61172022）

趙順利（1984—），男，博士研究生，研究方向為網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)；尹遜和（1966—），男，教授，研究方向為智能電網(wǎng)中的通信與控制、網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)理論與應(yīng)用、控制理論在網(wǎng)絡(luò)通信中的應(yīng)用；魏學業(yè)（1963—），男，教授，博士生導師，研究方向為再生能源技術(shù)，測量與過程控制，智能控制理論與技術(shù)，物聯(lián)網(wǎng)技術(shù)及其應(yīng)用；張 紅（1968—），女，經(jīng)濟師，研究方向為基于網(wǎng)絡(luò)的工程檔案管理、網(wǎng)絡(luò)經(jīng)濟。

尹遜和