周衛(wèi)東，鄭蘭，廖成毅

（1.哈爾濱工程大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，黑龍江哈爾濱150001；2.中國(guó)船舶工業(yè)集團(tuán)公司第七0八研究所，上海200011）

一類模型不確定非線性系統(tǒng)的反演預(yù)測(cè)控制

周衛(wèi)東1，鄭蘭1，廖成毅2

（1.哈爾濱工程大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，黑龍江哈爾濱150001；2.中國(guó)船舶工業(yè)集團(tuán)公司第七0八研究所，上海200011）

針對(duì)一類模型不確定的單輸入單輸出仿射非線性系統(tǒng)，設(shè)計(jì)一種使得閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定且滾動(dòng)時(shí)域性能指標(biāo)在線最小化的預(yù)測(cè)控制器。運(yùn)用反演（Backstepping）設(shè)計(jì)思想獲得具有待定參數(shù)的控制器表達(dá)式，其誤差導(dǎo)數(shù)中的未知函數(shù)采用模糊邏輯系統(tǒng)來(lái)逼近，通過(guò)直接估計(jì)模糊系統(tǒng)最優(yōu)參數(shù)向量的范數(shù)上界來(lái)設(shè)計(jì)控制器和自適應(yīng)律，大大降低了在線計(jì)算量。理論證明該方法設(shè)計(jì)的控制器保證了閉環(huán)系統(tǒng)所有信號(hào)是半全局有界的，并且跟蹤誤差收斂于零的某一部域。仿真算例驗(yàn)證了所提出算法的有效性。

模型不確定；滾動(dòng)時(shí)域；模糊邏輯系統(tǒng)；反演設(shè)計(jì)；預(yù)測(cè)控制

0 引 言

在復(fù)雜工業(yè)過(guò)程中，不確定性是普遍存在的，且有可能使系統(tǒng)性能變差甚至導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。因而，含有不確定的非線性系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)問(wèn)題引起了學(xué)者的極大關(guān)注。由于Backstepping設(shè)計(jì)方法在處理具有嚴(yán)格反饋形式的不確定系統(tǒng)時(shí)所特有的優(yōu)越性，已成為設(shè)計(jì)非線性系統(tǒng)控制器的主流工具［1-7］。但反步設(shè)計(jì)法對(duì)可調(diào)整的性能指標(biāo)缺乏“自適應(yīng)”能力。相反，預(yù)測(cè)控制在最優(yōu)控制的框架內(nèi)可以顯示地處理系統(tǒng)的控制目標(biāo)，這使得預(yù)測(cè)控制無(wú)論在理論上還是在實(shí)際應(yīng)用中都取得了令人矚目的發(fā)展。

模型預(yù)測(cè)控制或滾動(dòng)時(shí)域控制是一類處理不確定問(wèn)題的一種常用的方法。它通過(guò)在線優(yōu)化給定的目標(biāo)函數(shù)來(lái)設(shè)計(jì)控制器。由于其對(duì)模型要求低、魯棒性強(qiáng)，非常適用于實(shí)際工程控制。針對(duì)不確定系統(tǒng)的魯棒預(yù)測(cè)控制研究目前仍是一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題［8-15］。文獻(xiàn)［8］利用固定的狀態(tài)觀測(cè)器和動(dòng)態(tài)輸出反饋方法研究了一類既有模型不確定又有外界擾動(dòng)系統(tǒng)的輸出反饋控制器設(shè)計(jì)；文獻(xiàn)［9］基于多面體描述系統(tǒng)研究了一類具有不確定性和有界擾動(dòng)的線性變參數(shù)（LPV）系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)輸出反饋魯棒模型預(yù)測(cè)控制；文獻(xiàn)［10］采用控制不變集方法討論了一類具有結(jié)構(gòu)不確定性時(shí)滯系統(tǒng)的閉環(huán)魯棒預(yù)測(cè)控制算法，該算法增加了控制設(shè)計(jì)的自由度；文獻(xiàn)［11］基于次優(yōu)解討論了非線性模型預(yù)測(cè)控制的魯棒性；文獻(xiàn)［12］針對(duì)一類模型不確定的離散時(shí)間非線性系統(tǒng)，提出一種基于多面體描述的魯棒非線性預(yù)測(cè)控制策略；文獻(xiàn)［13］針對(duì)一類同時(shí)具有狀態(tài)和輸入時(shí)滯的不確定廣義系統(tǒng)通過(guò)近似求解無(wú)窮時(shí)域二次性能指標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，提出了魯棒預(yù)測(cè)控制器的設(shè)計(jì)方法；文獻(xiàn)［14］提出一種基于反步法的欠驅(qū)動(dòng)UUV空間目標(biāo)跟蹤非線性控制方法研究；文獻(xiàn)［15］針對(duì)模型不確定的非線性系統(tǒng)將預(yù)測(cè)控制與反步設(shè)計(jì)方法相結(jié)合，研究了一種預(yù)測(cè)控制器，該方法比傳統(tǒng)的預(yù)測(cè)控制算法更容易使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，且具有良好的動(dòng)態(tài)特性。但該方法是在假設(shè)系統(tǒng)的不確定性是有界且為已知的有界光滑函數(shù)的前提下研究的，使用范圍很有限。因此，針對(duì)更一般的系統(tǒng)設(shè)計(jì)相應(yīng)的控制器是需要進(jìn)一步解決的問(wèn)題。

本文在文獻(xiàn)［15］的基礎(chǔ)上直接針對(duì)一類模型不確定的嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng)設(shè)計(jì)基于反步法的自適應(yīng)模糊控制器。通過(guò)每一步對(duì)Lyapunov函數(shù)的構(gòu)造以及對(duì)模糊邏輯系統(tǒng)的使用，最終得到實(shí)際的控制律和自適應(yīng)律，與此同時(shí)系統(tǒng)的不確定性也得以解決。與以往所設(shè)計(jì)的控制器相比，本文所設(shè)計(jì)的控制器結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，從而大大降低了在線計(jì)算量，減少了計(jì)算時(shí)間。仿真結(jié)果驗(yàn)證了該算法的有效性。

1 問(wèn)題描述

考慮一類單輸入單輸出非線性系統(tǒng)：

其中，x=［x1，x2，…，xn］T∈Rn表示系統(tǒng)狀態(tài)向量，=［x1，x2，…，xi］T，（i=1，2，…，n-1），u∈Rn是控制輸入（i=1，2，…，n-1）用來(lái)描述系統(tǒng)的未知非線性連續(xù)函數(shù)，fn（x），g（x）≠0是未知的光滑非線性函數(shù)，且g（x）分別為正常數(shù)）y∈R為系統(tǒng)輸出。控制目標(biāo)是設(shè)計(jì)一個(gè)穩(wěn)定的自適應(yīng)控制器，使系統(tǒng)（1）所有的信號(hào)半全局有界。

在自適應(yīng)模糊控制設(shè)計(jì)中，先引入誤差向量e1=x1-yd，ei=xi-xi d，i=2，…，n。其中：yd表示期望輸出；且假設(shè)yd的各階導(dǎo)數(shù)，…，有界；xi d是期望虛擬控制信號(hào)，將在第i+1步中給出。對(duì)于i=1，2，…，n-1）中的未知函數(shù)Hi（Zi）采用下列模糊邏輯系統(tǒng)來(lái)逼近：

其中：Zi為模糊系統(tǒng)輸入；Φi（Zi）表示模糊系統(tǒng)基函數(shù)向量；為滿足=arg［sup｜Hi（Zi）-）｜］的最優(yōu)參數(shù)向量，為了進(jìn)行理論證明引入mθ的值，這里，由最優(yōu)參數(shù)向量的定義以及模糊逼近特性可知存在未知常數(shù)λi＞0，＞0，使得成立。引入≥0作為λi的估計(jì)量，估計(jì)誤差-λi，且采用如下形式的自適應(yīng)律：

2 控制器設(shè)計(jì)

本節(jié)具體設(shè)計(jì)控制器，控制器設(shè)計(jì)分為n步，在每一步中將設(shè)計(jì)虛擬控制律xid，i=2，…，n。最后，在第n步時(shí)將會(huì)得到系統(tǒng)的控制律u。

第1步：引入誤差e1=x1-yd，對(duì)e1求導(dǎo)有

其中H1（Z1）=f1（x1）-，Z1=［x1，］T。因?yàn)镠1（Z1）中的f1（x1）為未知函數(shù)，采用下列模糊系統(tǒng)來(lái)逼近

引入誤差變量e2=x2-x2d，并取虛擬控制

針對(duì)系統(tǒng)（1）的第一個(gè)子系統(tǒng)，考慮如下的Lyapunov候選函數(shù)

將式（3）、式（7）和式（8）代入式（10），整理可得

其中

在上述證明過(guò)程中用到不等式

引理2.1對(duì)于i（i=1，2，…，n），如果采用式（3）作為自適應(yīng)律，且初始條件滿足0）＜mθ，

第k步（2≤k≤n-1），利用類似的推導(dǎo)過(guò)程并選擇Lyapunov候選函數(shù)為

經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單整理可得

定義

其中

第n步：定義en=xn-xnd，則

其中

設(shè)計(jì)期望控制律為

其中udc是誤差反饋控制項(xiàng)；uad用來(lái)消除未知函數(shù)Δ（X，u），uro是魯棒控制項(xiàng)，用來(lái)補(bǔ)償逼近誤差和外界干擾。

其中

選擇udc，uro具有下列形式

針對(duì)系統(tǒng)（1），選取如下Lyapunov候選函數(shù)

則由上面的推導(dǎo)同理可得

其中

3 控制器參數(shù)在線優(yōu)化

提出一種非線性預(yù)測(cè)控制算法，利用在線滾動(dòng)優(yōu)化確定控制器參數(shù)。在以前的Backstepping設(shè)計(jì)中控制器參數(shù)c1，c2，…，cn'＞0為時(shí)變的，在滾動(dòng)優(yōu)化過(guò)程中通過(guò)在線調(diào)整參數(shù)c1，c2，…，cn'，使得預(yù)測(cè)控制的目標(biāo)函數(shù)最小。

用差分的方法把系統(tǒng)（1）（6）（14）（29）離散化，采樣時(shí)間為T：

考慮取目標(biāo)函數(shù)為

其中：Δu為輸入量的變化量；Q，S為正定矩陣；R為正實(shí)數(shù)；P為預(yù)測(cè)時(shí)域?；贐ackstepping設(shè)計(jì)思想的非線性預(yù)測(cè)控制算法為

其中f1（x1，k），…，fn（x，k），g（x，k）為在第k步預(yù)測(cè)時(shí)f1，…，fn，g的近似函數(shù)，定義為

可以通過(guò)在線求解有約束非線性規(guī)劃的方法，得到使目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)的控制器參數(shù)矩陣C，進(jìn)而得到基于Backstepping設(shè)計(jì)思想的非線性預(yù)測(cè)控制器。在這里我們采用序列二次規(guī)劃的方法求解［16-17］。

4 仿真研究

考慮如下非線性系統(tǒng)：

期望跟蹤信號(hào)yd定義為yd=sin t+cos（0.5t）。初始狀態(tài)為x0=［x10，x20］=［1，-0.5］，設(shè)定的期望平衡點(diǎn)為：x=［x1，x2］=［0，0］。通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的控制器的跟蹤特性。

圖1 系統(tǒng)輸出與期望信號(hào)曲線軌跡Fig.1 System output and the desired signal curve

圖2 跟蹤誤差曲線Fig.2 Tracking error curve

圖3 控制輸入曲線Fig.3 Conrol input curve

由圖1、圖2可以看出系統(tǒng)輸出能跟蹤給定的期望信號(hào)，跟蹤誤差收斂于零的某一鄰域，圖3表示本算例控制輸入，由圖可知控制輸入有界。圖4為系統(tǒng)性能指標(biāo)，由圖可知在所設(shè)計(jì)的控制器的作用下，模型不確定非線性系統(tǒng)滾動(dòng)時(shí)域預(yù)測(cè)性能指標(biāo)在線最小化。

圖4 性能指標(biāo)曲線Fig.4 Performance curve

5 結(jié) 論

針對(duì)模型的不確定性，本文研究了一類嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng)的自適應(yīng)模糊反步預(yù)測(cè)控制算法。用微分幾何方法雖然也可以解決此類系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)問(wèn)題，但本文反步設(shè)計(jì)方法與模糊系統(tǒng)的引入既解決了模型的不確定性，又降低了控制器的設(shè)計(jì)難度。考慮萬(wàn)能逼近特性，本文所設(shè)計(jì)的控制器結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，且有效降低了預(yù)測(cè)控制在線優(yōu)化的計(jì)算量。仿真算例驗(yàn)證了所提出控制器設(shè)計(jì)方法的有效性。

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（編輯：劉素菊）

Backstepping predictive control for one type of nonlinear system s w ith model uncertainty

ZHOUWei-dong1，ZHENG Lan1，LIAO Cheng-yi2

（1.College of Automation，Harbin Engineering University，Harbin 150001，China；2.China 708 Institute of China State Shipbuilding Corporation，Shanghai200011，China）

Aiming at a class of uncertain SISO affine nonlinear system，a predictive controller which can make the system stable and can minimize an on-line receding horizon guaranteed cost was designed.By using backstepping technique the controller expression with undetermined parameterswas acquired.Within the design procedure，the fuzzy logic system（FLS）was utilized to approximate the unknown function in error derivative.By directly estimating the norm bound of the FLSoptimal parameter vector the controller and the adaptive lawswere obtained，then the online computation complexity was reduced and the calculation was overcome.Theoretically，applying the controller proposed can guarantee that all signals in closed-loop system are semi-globally bounded and the tracking error converges to a neighbourhood of origin.Finally，the simulation results demonstrate the effectiveness of the proposed control scheme.

model uncertain；receding horizon；fuzzy logic system；backstepping design；prediction control

10.15938/j.emc.2015.10.013

TP 273

A

1007-449X（2015）10-0087-06

2013-10-28

國(guó)家自然科學(xué)基金（61102107；61374208）

周衛(wèi)東（1966—），男，博士，教授，研究方向?yàn)榕灤C合導(dǎo)航技術(shù)及非線性系統(tǒng)控制；鄭 蘭（1982—），女，博士研究生，研究方向?yàn)榉蔷€性系統(tǒng)預(yù)測(cè)控制；廖成毅（1986—），男，博士，研究方向?yàn)榉蔷€性系統(tǒng)控制。

鄭 蘭